10305

34.1.Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u(x)

иv(x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в промежутке [ a,b] . Тогда функция F (x) u(x) v(x) является первообразной для

своей производной

Это и есть формула интегрирования по частям в определённом инте-

грале. Как и в случае неопределённого интеграла, её целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y ln x ,

осью абсцисс и прямой x e . Искомая площадь (см. рис. 34.1) выражается

e

интегралом S ln x d x

1

Рис. 34.1

240

Формула Ньютона – Лейбница даёт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычис-

лить интеграл

b

f (x)d x ,

a

со своей производной (t) в некотором промежутке [ , ]; 2) сложная функция f ( (t)) должна быть определена в этом промежутке (для этого достаточно, например, потребовать, чтобы (t) была монотонна); 3) концам промежутка [ , ] соответствуют концы промежутка [ a,b] , т.е. ( ) a,( ) b или ( ) b , ( ) a (см. рис. 34.2).

Рис. 34.2

При этих условиях имеют место формулы

Приведём доказательство первой из них. Пусть F (x) – одна из перво-

Применяя формулу Ньютона – Лейбница к обоим интегралам в первом из

b

равенств (34.1), получим, с одной стороны, f (x)d x F (b) F (a) , а с дру-

a

гой

f ( (t)) (t)d t F ( (t) F ( ( )) F ( ( )) F (b) F (a) .

Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределённом интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведёт к упрощению: какую замену переменной следует применять –это мо-

жет подсказать лишь опыт.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным

Опыт вычисления неопределённых интегралов «подсказывает» замену переменной x(t) a sin t . Она удовлетворяет перечисленным выше условиям:

34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Аналогом криволинейной трапеции в полярной системе координат будет

Рис. 34.3

Предполагается, что функция ( ) непрерывна в промежутке, . Будем сначала решать задачу вычисления площади криволинейного сектора OAB приближённо. Для этого разобьём отрезок , на n частей

1 2 n n 1 .

Тогда «большой» криволинейный сектор разобьётся на n «узеньких» секторов. Обозначим k k 1 k . Заменим каждый «узенький» криволи-

нейный сектор круговым сектором, радиус которого примем равным( k ) , k [ k , k 1] . Площадь кругового сектора радиуса R и с центральным углом равна

Sсект. 12 R2 .

Поэтому площадь сектора OAB приближённо выражается интегральной суммой

S1 n 2 ( k ) k .

2 k 1

Переходя к пределу при n , причём так, что длина максимального из

частичных отрезков max( k ) стремится к нулю, получаем

k

243

Пример 1. Вычислить площадь круга, граница которого задана уравнением x2 y2 R2 . Ясно, что достаточно найти площадь четверти круга

(см. рис. 34.4).

Рис. 34.4

Если вычисления проводить в декартовой системе координат, то получается «плохой» интеграл

Перейдём к полярным координатам по формулам: x cos , y sin . Уравнение четвёртой части окружности x2 y2 R2 в полярных координа-

рали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярной системе координат её уравнение имеет вид a ,

244

a 0, a const . Один виток спирали получается при повороте луча на угол2 . Искомая площадь выражается интегралом

Рис. 34.5

34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, за-

данными параметрически. Интерпретируя определённый интеграл площадью криволинейной трапеции, мы предполагали, что кривая y f (x) за-

дана в явном виде. А как быть, если границы фигуры заданы параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде – это частный случай её параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :

В выборе параметра мы располагаем большой свободой. Например, при вычислении площади эллипса мы представляли его уравнение в параметрическом виде следующим образом:

Таким образом, замена переменной в определённом интеграле – это, по сути, переход к другой параметризации кривой y f (x) . Поэтому, если

часть кривой, площадь под которой нас интересует, задана параметрически, то применяется формула

Пример 3. Найти площадь, ограниченную астроидой, заданной уравнениями

Астроиду можно рассматривать как траекторию фиксированной точки окружности, катящейся изнутри по окружности радиуса a и имеющей радиус a / 4 (см. рис. 34.6). В силу симметрии фигуры, вычисляем четвёртую часть её площади

Y t=pi/2

Рис. 34.6

После применения формул понижения степени тригонометрических функций получим

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

246

В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.

35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a,b] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей и

через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.

«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен

сумме объёмов таких цилиндров

n

V S (xk ) xk

k 1

Точное значение объёма получим, увеличивая число n точек деления от-

резка [ a,b] . При этом длина наибольшего из отрезков max( xk ) должна

k

стремиться к нулю, т.е. находим предел интегральной суммы

247

Рис. 35.2

Через фиксированную точку x 0, R проводим плоскость, перпендику-

лярно оси Ox . Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого

оси Ox . Найдём объём полученного тела вращения.

Рис. 35.3

Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого

248

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вращая относительно оси Ox окружность x2 ( y a)2 r2

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при враще-