10305

1y y v ln u v u1 u

и отсюда

y uv (v ln u v u1 u ) uv ln u v vuv 1u .

Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,

применим также для упрощения нахождения производных. Например,

19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования.

Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

19.6. Производные высших порядков. Выше речь шла о понятии про-

изводной или первой производной функции. Производные высших порядков определяются по индукции.

явно F x, y 0 , то для отыскания её n -ой производной нужно соответству-

ющее число раз продифференцировать определяющее ее уравнение, помня, что y и все её производные есть функции независимой переменной x .

Например,

Вслучае параметрического задания функции

x x(t) , t

y y(t)

141

продифференцируем это равенство по x , имея в виду, что t есть функция

Аналогично можно найти производные более высоких порядков.

Лекция 20. Вектор-функция

142

20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)

Суть в том, что координаты радиус-вектора r (t) есть некоторые функции

переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-функ-

ции: если каждому значению вещественного переменного t из некото-

рого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,

то будем говорить, что в промежутке t задана вектор-функция r (t) .

Вектор r (t) будем считать выходящим из начала координат, т.е. это радиус-вектор. При этом конец вектора M (x(t), y(t), z(t)) будет описывать

некоторую линию L(годограф), параметрические уравнения которой даются формулами

x x(t),

y y(t), t

z z(t),

Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название –

143

годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.

20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции. По-

нятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если

соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой точке функции x(t), y(t), z(t) . При этом полагают

нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:

Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M 0 M . Направление движения точки соответствующее возрастанию пара-

метра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два случая, когда значение аргумента t0 получает как положительное, так и отри-

цательное приращение t . Вектор r r (t0 t) r (t0 ) – это хорда (греч.– струна). В случае положительного приращения t 0 он направлен по секущей в сторону, соответствующую возрастанию аргумента t0 , а

коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметра t . Поскольку секущая при t 0 примет положение касательной к годографу, то вектор

будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.

Рис. 20.2

Пример. Годограф вектор-функции

r (t) (t sin t) i (1 cost) j

это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2 секунд. Тогда вектор-функция

r (t) (t sin t) i (1 cost) j

задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.

На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2 /10 сек. построены векторы скорости точки

r (t) (1 cost) i sin t j .

145

Рис. 20.4

У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в канонической форме

X x0 Y x0 Z x0 . x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )

Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид

x (t0 )(u x0 ) y (t0 )(v x0 ) z (t0 )(w x0 ) 0

Пример. Написать уравнения касательной к кривой

Точке M 0 соответствует значение параметра t0 / 2. Для вектор-функ- ции

r (t) cost i sin t j 2t k

r (t0 ) r ( / 2) 1, 0, 0.5

Записываем уравнения касательной в канонической форме

2x z 0

Уравнение нормальной плоскости

1(x 0) 0( y 1) 0.5(z / 4) 0

или 8x 4z 0 (см. рис. 20.5)

Рис. 20.5

148

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент

v0 12 км час 103 м сек .

Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:

1)если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь

S v0 t 100 м;

2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние

S 100 м;

3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние

S 100 м.

Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)

S v0 t S (t0 ) t ,

причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t . Например, за время t 3cek. велосипедист проедет расстояниеS 10м, и эта величина «почти» точная, даже если велосипедист созна-

тельно начнёт менять скорость своего движения.

Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая функция y f (x) , и мы умеем вычислять её значение в точке x0 , т.е. f (x0 )

x0 x ) нам недоступна. Например, нужно найти arctg1.02 , зная значение

найти, хотя бы приближённо, приращение функции y . Оказывается, это

149