10290

где (a,0,0) , (0,b,0) и (0,0,c) – точки пересечения плоскости с координатными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax By Cz D и

далее, предполагая, что D 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на D , получим

уравнение (11.3), в котором a DA , b DB и c CD величины отрезков,

которые плоскость «отрезает» от осей координат (см. рис. 11.6).

z

c

b

y

x a

Рис. 11.6

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные

M2

M

M3

Рис. 11.7

Тогда три вектора M1M , M1M 2 , M1M 3 будут компланарными и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его к линейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).

11.2. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями(см. рис. 11.8).

A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 .

Рис. 11.8

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов.

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностидвух плоскостейимеют вид

П1 П2 A1 A2 B1B2 С1С2 0 ;

81

П1 П2 A1 B1 С1 . A2 B2 С2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие

пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей.В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

( A1x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 . (11.5)

Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 ,

обращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние отточки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .

Рис. 11.9

82

Пусть M1 (x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 наданную плоскость(см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B,C :

z

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

Отсюда находим M1 ( 1.5,1,0.5) .

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой

прямой и S {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый

направляющим вектором этой прямой

84

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые

параметрические уравнения прямой в пространстве

уравнения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим

проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором S {m, n} , имеет вид

85

x x0 y y0 .(12.4) m n

Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них(12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой

точки прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией

прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).

86

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2 не параллельны. Пусть, например,

Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как

87

канонические уравнения этой прямой. В частности, точка ( , ,0) лежит на

этой прямой, а S { , ,1} – её направляющий вектор.

Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 ,

заданных уравнениями (12.5)

а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z 0 ).

Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Очевидно, что направляющим

12.2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

88

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

d | M1M0 M1M2 | | M1M0 M1M0 , S S | . | S |2

Пример. Вычислить расстояние точки M 0 (2, 1,3) до прямой

89