10290

21.1. Дифференциал.Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент

v0 12 км час 103 м сек .

Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:

1)если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь

S v0 t 100 м;

2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние

S 100 м;

3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние

S 100 м.

Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)

S v0 t S (t0 ) t ,

причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t .

сознательно начнёт менять скорость своего движения.

Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая функция y f (x) , и мы умеем вычислять её значение в точке x0 , т.е. f (x0 )

x0 x ) нам недоступна. Например, нужно найти arctg1.02 , зная значение

найти, хотя бы приближённо, приращение функции y . Оказывается, это можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0 . Действительно, в этом случае в точке (x0 , f (x0 )) существует касательная к

150

21.1)

y dy f (x0 ) x

Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и

обозначают символом

dy f (x0 ) x .

Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.

Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .

Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка,

151

Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях

y y0 f (x0 )(x x0 ) .

Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x , мы заменяем кривую в окрестности точки x0

её касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её

линейной функцией.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен еёприращению, т.е.

d x x .

независимая переменная. Тогда по определению dy f (u)du .

В случае же, когда u (x) , используя формулу производной сложной функции, получим

dy f (u) (x)dx f (u)du .

Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.

Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n 1) -го порядка

d n x d (d n 1x) .

153

Для n 2 имеем

21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) математик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.

Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения

Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда

непрерывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,

могут быть приведены к указанным выше.

Например,

Найдем предел логарифма этого выражения

Следовательно, искомый предел равен

156

Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков

В аналитическомвыражении, которым чаще всего бывает задана функция, содержится вся информация о её свойствах. График функции делает эти свойства легко обозримыми. Поэтому нужно уметь строить график функции по формуле, которой она задана. Самый простейший приём

– это построение «по точкам». Однако он требует большого объёма вычислений и при этом могут быть потеряны характерные особенности исследуемой функции. Приёмы исследования, основанные на дифференциальном исчислении, позволяют именно эти особенности и уловить. Так, например, один факт существования производной функции в точке x0 даёт возможность линеаризовать функцию в окрестности этой

точки. Дифференцируемость функции, как мы выяснили ранее, равносильна представлению её приращения в виде

y f (x0 ) x ( x) ,

где ( x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x . Заменяя

мы заменяем в окрестности точки x0 кривую y f (x) касательной к ней в

этой точке. Нельзя ли это приближённое равенство превратить в точное? Такое равенство, выражающее приращение дифференцируемой функции через приращение её аргумента, было получено Лагранжем (1736-1813гг).

22.1. Формула Лагранжа имеет вид

За знак равенства в ней мы «заплатили» тем, что не знаем точного положения точки . Эту формулу называют также формулой конечных

приращений.

Из (22.1) следует, что на интервале (x0 , x) существует точка , в которой

f ( ) f (x) f (x0 ) tg , x x0

157

перемещением прямой AB параллельно себе. Формулу конечных приращений или формулу Лагранжа (22.1) мы будем неоднократно применять в дальнейшем.

Рис. 22.1

22.2.Признак монотонности функции. Применим формулу Лагранжа

кисследованию поведения функции на некотором промежутке (a,b) .

Напомним, что функция называется возрастающей в этом промежутке,

Геометрически эти признаки означают, что в точках возрастания функции касательная к кривой составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а в точках убывания – тупой. В качестве примера найдем промежутки возрастания и убывания функции

158

Рис. 22.2

Следовательно, в промежутке ( ,0) эта функция возрастает, а в промежутке (0, ) – убывает.

22.3. Экстремумы. Под экстремумом функции в точкепонимают её максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности этой точки. Говорят, что точка x0 – точка максимума (минимума), если в

Как находить экстремумы, зная аналитическое выражение функции? Заметим, что точки экстремумов разделяют интервалы возрастания и убывания функции (точки максимумов) и наоборот (точки минимумов). Исходя из приведенных выше условий монотонности функции, естественно предположить, что в точках экстремумов производная функции обращается в ноль или не существует. Для дифференцируемых функций имеет место следующее.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция имеет конечную производную в (a,b) и x0 – точка максимума (для определенности). Тогда

производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 , т.е. касательная в точке

экстремума горизонтальна (такие точки иногда называют стационарными). Действительно, по определению производной

159