8531

О к о н ч а н и е т а б л и ц ы 2

Графическое описание проекта, представленного в табл. 2, имеет вид

(рис. 15). Здесь помимо работ, указанных в таблице 2, представлены две фиктивные работы (3, 4) и (5, 6). На рис. 15 они изображены пунктиром.

Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом представлении проекта только для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязи между работами.

Рис. 15. Сетевой граф проекта

Получив графическое представление проекта, можно приступать к

21

для любого справедливо ;

для любого справедливо .

Чтобы использовать метод CPM для нахождения критического пути необходимо для каждой работы определить величины:

1)наиболее раннее время начала работы;

2)наиболее раннее время окончания работы;

3)наиболее позднее время начала работы;

4)наиболее позднее время окончания работы.

Метод CPM состоит в применении соотношений:

1. для любой работы , выходящей из стартовой

вершины проекта.

2. , наиболее раннее время окончания любой работы превышает наиболее раннее время ее начала

(время наступления предшествующего события ) на время ее выполнения.

22

3., наиболее раннее время начала

работы равно наибольшему значению наиболее раннего времени окончания непосредственно предшествующих ей работ.

4., длина критического пути равна наиболее

раннему времени завершения проекта.

5., наиболее позднее время окончания любой работы,

завершающей проект, равно длине критического пути.

6. , наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой работы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения.

7., наиболее позднее время окончания

работы равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ.

8. ,

полный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее окончания.

9. ,

свободный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания данной работы.

Из приведенных соотношений следует:

1.Длина критического пути равна .

2.Если , то работа лежит на критическом пути;

если , то работа не лежит на критическом пути.

23

3. Если время начала работы , не лежащей на критическом пути, отложить на срок, меньший чем , то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится.

4. Если время начала работы , не лежащей на критическом пути, отложить на срок, меньший, чем , то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

1.4.Метод оценки и пересмотра проектов (метод PERT)

Вметоде критического пути предполагалось, что время выполнения работ проекта было известно точно. На практике же эти сроки, как правило, неопределенны. Можно только строить некоторые предположения о времени выполнения каждой работы, но нельзя предусмотреть все возможные трудности или задержки выполнения. Для управления проектами с неопределенным временем выполнения работ наиболее применим на практике метод оценки и пересмотра проектов.

Метод оценки и пересмотра проектов (Program Evaluation and Review Technique – PERT) предназначен для контроля сроков выполнения проекта и ориентирован на анализ проектов, для которых продолжительность выполнения всех или нескольких работ невозможно определить точно. Например, он может быть применим при проектировании новых систем, в тех проектах, где работы не имеют аналогов, в результате чего может возникнуть неопределенность в сроках их выполнения, а также проекта в целом.

Применение метода PERT позволяет получить ответы на вопросы:

1.Чему равно ожидаемое время выполнения работы?

2.Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3.Чему равно стандартное отклонение времени завершения

проекта?

24

4. С какой вероятностью проект может быть выполнен в указанное время?

Для того чтобы применить метод PERT, для каждой работы проекта необходимо получить три вероятностные оценки времени ее выполнения:

1)оптимистическое время – время выполнения работы в

наиболее благоприятных условиях (наименьшее возможное время выполнения работы );

2)пессимистическое время - время выполнения работы в

неблагоприятных условиях (наибольшее возможное время выполнения работы );

каждой работы , пользуясь формулой:

.

Если время выполнения работы известно точно и равно , то

.

Используя указанные временные оценки выполнения каждой работы,

найдем общепринятую статистическую меру неопределенности – дисперсию времени выполнения работы по формуле:

.

Если время выполнения работы известно точно, то .

Используя полученные , находят критический путь сетевого графика, применяя метод CPM.

25

Пусть - время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то время является случайной величиной с нормальным распределением.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени выполнения проекта равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ, лежащих на критическом пути. Дисперсия общего времени,

необходимого для завершения проекта, в предположении о независимости времен выполнения работ, равна сумме дисперсий времени выполнения работ критического пути. Если же две или более работ взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о дисперсии времени выполнения проекта.

Теперь мы можем рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок по формуле:

,

находятся по таблице нормального распределения (см. приложение).

Функция Лапласа является нечетной: .

Таким образом, применение метода PERT аналогично анализу сетевого графа с фиксированными значениями продолжительности операций и может быть представлено в виде алгоритма:

1)составить список всех работ проекта с указанием их предшественников, наиболее оптимистического, наиболее пессимистического и наиболее вероятного времени выполнения;

2)построить сетевой граф (лучше вершинный);

3)предполагая, что время выполнения каждой операции аппроксимируется β-распределением, вычислить для нее ожидаемое время выполнения и его дисперсию;

26

4)используя ожидаемые значения сроков выполнения операций,

найти продолжительность проекта в целом;

5)определить критические операции, указать критический путь,

среднее время проекта и дисперсию (сумма значений операций, входящих

вкритический путь);

6)с помощью значений дисперсий для критических операций оценить дисперсию ожидаемой продолжительности всего проекта.;

7)рассчитать вероятность завершения проекта в указанный срок.

Учесть, что если значение вероятности менее 0,3, то велика опасность срыва данного проекта, он нуждается в дополнительных мерах по пересмотру состава или последовательности работ. Если вероятность больше или равна 0,8, то можно уверенно прогнозировать завершение проекта в установленный срок.

1.5. Анализ затрат на реализацию проекта

Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения каждой работы, от любых переменных или постоянных расходов. Поскольку существует необходимость завершить все работы проекта, независимо от того, являются ли они критическими или нет, общая стоимость произведенных работ представляет собой арифметическую сумму отдельных значений стоимости каждой работы.

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает, мы хотели бы его уменьшить. Сокращение времени выполнения проекта, как правило, связано с использованием дополнительных ресурсов (увеличением количества рабочих, работой во внеурочное время). Поэтому сокращение сроков проекта автоматически повлечет за собой увеличение затрат на его реализацию. Однако, если мы снижаем продолжительность критической задачи, то эта экономия может привести к экономии времени выполнения проекта в целом, а

27

следовательно к экономии общей стоимости проекта. Наименьший возможный срок, до которого можно сократить операцию, получил название критического срока. В некоторых случаях завершить операцию можно только к стандартному или только к критическому сроку их выполнения, но не между ними. А иногда напротив, существует возможность постепенно уменьшать время выполнения работы до того момента, пока не будет достигнут критический срок ее выполнения.

В результате требуется найти компромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией затрат на проект.

Снижение стоимости проекта может произойти вследствие постановки одной из двух целей: 1) минимизация общего времени выполнения проекта; 2) минимизация общей стоимости выполнения проекта.

Для расчета минимальных затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта, может быть использована модель линейного программирования.

В задачах расчета снижения затрат на реализацию проекта, как правило приводятся стандартные значения времени и стоимости каждой работы и критические значения ее времени и стоимости. При определении оптимальной стоимости проекта оказывается, что для некоторых операций вместо критического значения времени можно поставить стандартное значение времени, не увеличивая при этом продолжительность проекта,

найденную при критическом значении времени работ проекта. Это может означать, что для данных операций нет необходимости сокращать их продолжительность, влекущую дополнительные ресурсные затраты, а

следовательно можно использовать их стандартную стоимость. Разница в стоимости данных задач будет представлять экономию затрат на выполнение проекта.

Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля может быть использован метод анализа затрат

28

PERT/COST. Конечная цель его применения состоит в том, чтобы затраты на реализуемый проект соответствовали принятой смете. Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно предполагает выявление всех затрат на проект, а затем распределение этих затрат во времени. На этапах выполнения проекта фактические затраты можно сравнивать с планируемыми. Если фактические затраты превышают планируемые, то могут быть предприняты необходимые действия, направленные на то,

чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом [1].

Применение метода оптимизации затрат и метода PERT/COST дает ответ на вопросы:

1.При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?

2.На сколько следует сократить продолжительность выполнения каждой работы проекта?

3.Соответствуют ли фактические затраты на выполнение проекта сметным затратам?

4.Соответствуют ли фактические затраты запланированному сроку реализации проекта?

Рассмотрим суть метода минимизации затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта.

Введем обозначения: – работа проекта;

– нормальная продолжительность работы

(продолжительность работы при детерминированном подходе – метод

CPM или ожидаемое время выполнения работы при стохастическом подходе – метод PERT);

29

Предположим, что любая дополнительная доля сокращаемого времени на выполнение работы потребует постоянной, неизменной во времени, доли дополнительных затрат. При таком предположении для решения проблемы минимизации затрат на сокращение времени

- номер начального события для сети, описывающей проект;

- номер конечного события для сети, описывающей проект.

30