13

композиционного материала считается, что он окружен "эффективной средой", диэлектрическая проницаемость которой тождественна искомой. Предполагается, что среднее поле из за этого включения не изменяется. Усредняя по всему образцу рассчитанное при таких предположениях поле, его приравнивают к заданному макроскопическому полю и получают уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости. В зависимости от морфологии среды используются две разные расчетные схемы. Первая из них представляет собой симметричную модель и используется для смесей с двумя непрерывными фазами, т.е. когда нет явного деления компонентов на матрицу и наполнитель. В этом случае микроскопическим элементом по которым проводится усреднение является участок пространства, заполненный материалом либо первого, либо второго компонента композита. Вторая схема модели эффективной среды представляет собой асимметричный подход, применимый для смесей в которых один компонент может быть назван матрицей, а второй наполнителем. В этом случае микроскопический элемент, по которому проводится усреднение, является двухфазным и представляет собой ядро из материала наполнителя, окруженное слоем материала матрицы. Как теория протекания, так и модель эффективной среды имеют свои ограничения.

Анизотропная перколяция

Известно, что выше порога протекания pc гетерогенный материал, состоящий из смеси изолятора и проводника имеет степенную зависимость электропроводности σ от концентрации p проводящей фазы: σ ~ (p − pc)t , где так называемый критический индекс t зависит от размерности системы: t = 1,2 ± 0,1 для двух и t = 1,7 ± 0,1 для трех измерений.

Существуют некоторые обобщения этой проблемы, позволяющие ввести в систему анизотропию, в результате чего проводимость становится тензорной величиной :

1)проводящая фаза может состоять из случайно ориентированных анизометрических частиц (волокна, цилиндры); проводимость такого материала всегда изотропна;

2)проводящая фаза может состоять из ориентированных частиц с анизотропной собственной проводимостью. Эта задача детально проанализирована Шкловским, который показал, что такой материал всегда анизотропен, кроме небольшой области вблизи порога протекания, причем анизотропия падает вблизи порога по скейлинговому

закону

σ / σ = 1 + (p − pc)λ,

где λ − новый критический индекс.

Проблему анизотропии можно также рассматривать с помощью решеточной модели

врамках задачи связей:

3)связи в различных направлениях имеют различную вероятность образования, но одинаковые сопротивления; в этом случае проводимость анизотропна, кроме области вблизи порога протекания;

4)все связи имеют одинаковые вероятности образования, но их сопротивления различны в различных направлениях. В этом случае проводимость также анизотропна при всех p, кроме изотропной области вблизи порога протекания.

Решеточные резисторные модели рассматриваются также с точки зрения

14

ренормализационной группы; результаты близки к данным, полученным численным моделированием и с помощью модели эффективной среды.

Электрические свойства композиционных материалов с анизотропными сферами или изотропными вытянутыми частицами подробно исследованы Шкловским. Оба случая эквивалентны при преобразовании координат, переводящем сферу в эллипсоид с тем же объемом.

Если σ и σ − макроскопические проводимости вдоль осей z и x системы эллипсоидов, ориентированных вдоль оси z, а σ ′ и σ ′ −макроскопические проводимости системы анизотропных сфер вдоль и поперек оси z′, то они связаны соотношениями:

σ|| = (l / d )4 / 3 σ||′ , σ = (d / l)2 / 3 σ′

где l/d − отношение большой и малой осей эллипсоида.

Система анизотропных сфер может быть смоделирована анизотропною задачей связей. Тогда критическое поведение коэффициента анизотропии для системы ориентированных изотропных эллипсоидов имеет вид:

σ|| / σ = (l / d )2 1 + A(p − pc )λ

Величина критического индекса λ составляет ~0,4 по результатам численного расчета, метода ренормгруппы, а также моделирования с помощью дерева Кейли (решетка связей и четырехполюсников). Величина анизотропии на пороге составляет ~(l/d)2.

Общее поведение макроскопической проводимости и коэффициента анизотропии в функции объемной концентрации частиц p для случая конечной проводимости матрицы

σ|| σ

(σm, для анизотропной матрицы − m и m ) изображено на рисунке:

Общий вид зависимостей электропроводности (а, b) и анизотропии электропроводности (a′, b′) композиционного материала от объемной концентрации наполнителя. (а, a′) − анизотропные сферы в анизотропной матрице; (b, b′) − удлиненные изотропные частицы в матрице с изотропной конечной проводимостью

При анализе экспериментальных данных и численном моделировании необходимо принимать во внимание конечные размеры системы, поскольку в них велики статистические флуктуации проводимости, увеличивающиеся с приближением к порогу протекания и могущие затруднить интерпретацию результатов. Согласно Стрейли