otchet_6

Казанский Национальный Исследовательский

Технологический Университет

Кафедра химической кибернетики

Отчеты

по

ЧИСЛЕНННЫМ МЕТОДАМ

Выполнил:

гр. 4111-71

Сулейманова Д.И.

Проверила: доцент каф. хим.

кибернетики Кошкина Л.Ю.

Казань, 2012

Содержание

Метод наименьших квадратов

Постановка задачи:

x	y
1	4
2	3,2
3	2,56
4	2,05
5	1,64
6	1,31

Необходимо выбрать вид зависимости и определить параметры a, b.

Решение:

В таблице Excel:

1. На Листе 3 ввела исходные данные. Построить график (Вставка - Диаграмма- Тип точечный)

В ячейках A11:B16 рассчитать координаты средних точек (xk и yk) и нанесли на график, по точке наиболее приближенной к экспериментальной кривой выбрать зависимость)

2. В ячейках D8:G8 рассчитать S1, S2, S3, S4

3. В ячейках E10 ввели формулу расчета параметра a.

4. В ячейку E11 ввели формулу расчета параметра b.

5. В ячейку С2 ввели полученную расчетную формулу, скопировали ее в ячейки С3:С7

6. По данным, находящимся в ячейках A1: С7, построили график.

В редакторе Visual Basic:

Переходим в редактор Visual Basic (Сервис – Макрос – Редактор Visual Basic, Вставка – Модуль) и набираем программу.

Листинг программы

Sub MNK()

n = Val(InputBox("6"))

Dim x(1 To 6), y(1 To 6) As Variant

i1 = 2: j1 = 1

For i = 1 To n

x(i) = Worksheets("Лист3").Cells(i1, 1).Value

y(i) = Worksheets("Лист3").Cells(i1, 2).Value

i1 = i1 + 1

Next i

s1 = 0: s2 = 0: s3 = 0: s4 = 0

For i = 1 To n

s1 = s1 + 1 / x(i)

s2 = s2 + y(i)

s3 = s3 + (1 / x(i)) ^ 2

s4 = s4 + y(i) / x(i)

Next i

a = (s2 * s3 - s1 * s4) / (n * s3 - s1 * s1)

b = (n * s4 - s1 * s2) / (n * s3 - s1 * s1)

Worksheets("лист3").Cells(20, j1 + 1).Value = a

Worksheets("лист3").Cells(21, j1 + 1).Value = b

For i = 1 To n

y1 = a + b / x(i)

s = s + (y(i) - y1) ^ 2

Worksheets("лист3").Cells(i1 + 16, 1).Value = x(i)

Worksheets("лист3").Cells(i1 + 16, 2).Value = y(i)

Worksheets("лист3").Cells(i1 + 16, 3).Value = y1

i1 = i1 + 1

Next i

Worksheets("лист3").Cells(32, j1).Value = s

End Sub

Результаты

X	y	yr	s1		s2		s3		s4				s
1	4	4,249762	1		4		1		4				0,062381
2	3,2	2,737287	0,5		3,2		0,25		1,6				0,214103
3	2,56	2,233129	0,333333		2,56		0,111111		0,853333				0,106845
4	2,05	1,98105	0,25		2,05		0,0625		0,5125				0,004754
5	1,64	1,829802	0,2		1,64		0,04		0,328				0,036025
6	1,31	1,72897	0,166667		1,31		0,027778		0,218333				0,175536
			2,45		14,76		1,491389		7,512167				0,599644
Координаты средних точек
Xk	yk		a=		1,224812
2,645751	2,304344		b=		3,02495
3,5	2,304344
3,5	1,753296
2,645751	2,655
1,142857	2,655
1,142857	1,753296

Вывод

Решение задачи моделирования состоит из следующих этапов:

1. проведение эксперимента

2. выбор вида эмпирической зависимости

3. нахождение параметров выбранной зависимости

4. исследование модели и выводы.

При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение данного условия затруднительно или невозможно. Например, при большом количестве узлов получается высокая степень многочлена в случае глобальной интерполяции. Кроме того, данные могли быть получены из эксперимента путем измерений и содержать ошибки. Построение интерполяционного многочлена в этом случае означало бы повторение допущенных при измерениях ошибок.

В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки, а близко от них. Одним из таких методов является среднеквадратичное приближение функций с помощью многочлена

φ(x)=

При этом m<n . При m=n получаем интерполяцию.

На практике стараются подбирать многочлен, как можно меньшей степени m=1,2.3.

Мерой отклонения многочлена φ(x) от заданной функции f(x) на множестве точек при среднем квадратичном приближении является стремится к min.

Коэффициенты многочлена нужно подобрать таким образом, чтобы величина S была минимальной. В этом состоит метод наименьших квадратов

1. Выбрана эмпирическая зависимость у=a+b/x

2. Посчитаны параметры a, b.

3. Окончательная зависимость y=1,23+3,03/x

4. Посчитана адекватность модели S, которая стремится к min.

Список литературы

1. Лекции по численным методам доцента кафедры химической кибернетики КНИТУ Кошкиной Л.Ю.

2. Кошкина Л.Ю. и др. Вычислительная математика в среде Excel: Методические указания. Часть 2. / Казан. гос. технол. ун-т; Казань, 2003, с. 72

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.-256 с:ил.

4. Рено Н.Н. Численные методы. Учебное пособие / Казан. гос. технол. университет; Казань,2007, 112 с.