- •Введение
- •Понятие модели
- •Лекция 2 Математическое моделирование однофазных потоков
- •Лекция 3 Математическое моделирование теплообменных процессов
- •Температурное поле
- •Основы теплового расчета
- •Проектный расчет теплообменного аппарата
- •Проверочный расчет теплообменного аппарата
- •Математические модели теплообменников
- •Теплообменник типа «перемешивание-перемешивание»
- •Теплообменник типа «перемешивание-вытеснение»
- •Теплообменник типа «вытеснение-вытеснение»
- •Постановка задачи
- •Для прямотока
- •Для противотока
- •Тепловой баланс теплообменника: для прямотока
- •Для противотока
- •Варианты заданий для расчета теплообменника
- •Лекция 4 Моделирование кинетики химических и ферментативных реакций
- •Постановка задачи
- •Обратная задача кинетики
- •5.2. Методические указания по практической части.
- •3.4.1. Ингибирование ферментативных реакций
- •Математическое моделирование биОлогической очистки сточных вод в аэротенке
- •Аэротенк
- •Лекция 6 Автоматизированная оценка степени загрязнения окружающей среды от газовых выбросов
Постановка задачи
Рассмотрим методику решения прямой задачи кинетики на примере системы реакций первого порядка
Заданы следующие исходные данные: k1= 1,5 [1/c];k2 = 0,5 [1/c];k3= 0,1 [1/c];Ca0= 100 [моль/л];Cb0=Cc0= 0. Для решения этой задачи потребуется математическая модель, в качестве которой могут служить дифференциальные уравнения, описывающие динамику процесса, т.е. изменения концентраций реагирующих веществ во времени.
В указанной реакции во взаимодействие вступают три вещества с текущими концентрациями Ca,Cb,Cc. Изменение концентраций этих веществ во времени записываем в виде дифференциаловdCa/dt,dCa/dt,dCc/dt, которые используем в качестве левых частей дифференциальных уравнений. Правыми частями уравнений кинетики будут соотношения, записанные на основании закона действующих масс.
Рассмотрим вещество A, участвующее в двух реакциях. В первойконцентрация веществаAубывает вследствие процесса превращения его в В. Скорость этого элементарного процесса согласно закону действующих масс представим зависимостью, т.е. скорость пропорциональна концентрации реагирующих веществ. Знак минус показывает, что веществоAубывает.
Во второй реакции веществоAпребывает в результате обратного процесса превращения веществаBв веществоAс константойk3. Скорость этой стадии, т.е. реагирующим веществом является веществоB. Знак плюс свидетельствует о том, что веществоAв реакции пребывает. Суммарная скорость по веществуA:
Учитывая, что dCa/dt=Wa, получим новое дифференциальное уравнение кинетики по веществу А:
.
По аналогии выводим следующее дифференциальное уравнение, физический смысл которого есть изменение концентрации вещества Bпо времени. ВеществоBучаствует в трех реакциях:
(получается изA);
(тратится на получениеA);
(тратится на 1получениеC).
Суммарная скорость реакции по веществу B:, где,,. Дифференциальное уравнение кинетики по веществу.
Наконец, рассмотрим скорость реакции по веществу С, которое принимает участие в одной реакции: . Скорость этой стадии:, т.е. вещество С получается из В. Дифференциальное уравнение кинетики по веществу С:
.
В итоге, математической моделью кинетики данной системы реакций будет являться система дифференциальных уравнений
с начальными условиями при t= 0,Ca0= 100 [моль/л],Cb0=Cc0= 0.
Таким образом, прямая задача кинетики (получения кривых изменения концентрации компонентов реакции во времени: Ca(t),Cb(t),Cc(t) – кинетических кривых) сводится к задаче решения системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Для решения этой системы на ЭВМ используя различные численные методы, например, метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.
Воспользуемся в данном случае наиболее простым методом численного решения дифференциальных уравнений – методом Эйлера. Если имеется дифференциальное уравнение вида с начальным условием, то его решение – первообразнуюy=y(x) – можно получить в виде дискретных точекXk,Yk, где- число узлов интегрирования из рекуррентных формул.
Параметр hназывается шагом интегрирования, чем меньше шаг интегрирования, тем выше точность расчетов.
Предположим, что нам нужно получить кинетические кривые Ca(t),Cb(t),Cc(t) на временном отрезке от 0 доtконца.. Возьмем шаг интегрированияh= 0,1 с, а время выдачи значений концентрацийCa,Cb,Ccна экран дисплея равным 1с (это значение принято называтьшагом печати), аtкон.Равным 20 с.
Составим блок – схему программы получения кинетических кривых (см. рис.4.1). Присвоим переменным Ca,Cb,Ccдля удобства имена А, В, С. Обозначим правые части дифференциальных уравнений: первое черезF1, второго черезF2, третийF3.
Рассмотрим более сложную реакцию, протекающую по схеме
Здесь необходимо связать концентрации веществ A,B,C,D,Eсо степенями полноты, используя формулу (4.14).
Для данной системы реакций составляем матрицу, в который число столбов равно числу компонентов, а число строк – количеству реакций в системе. Элементами этой матрицы являются стехиометрические коэффициенты ij компонентов в реакции
Рассмотрим первую строку матрицы , 1=(-2,-1,1,0,0), которая показывает, что в первой реакции тратятся 2 моля веществаA? 1 моль веществаB, а веществаDиEне принимают участия в реакции (т.е. для продуктов реакцииj> 0, для реагентовj < 0).
Вторая строка матрицы 2 =(-1 0 –1 1 1) свидетельствует о том, что во второй реакции тратятся 1 моль веществаA, 1 моль веществаCи получается по одному молю веществDиE.
Вводим степени полноты первой реакции x1и второй реакцииx2, тогда по уравнению (4.14) имеем
Таким образом, связь между концентрациями веществ и степенями полноты найдена в виде линейных соотношений (4.14).
Теперь переходим непосредственно к решению прямой задачи кинетики. Скорость химической реакции по определению
Подставляя в это соотношение вместо Cjего выражение, получаем
или.
Записываем для рассматриваемой системы реакций дифференциальные уравнения кинетики. Левыми частями их будут производные по степеням полноты реакции: dx1/dtиdx2/dt, правые же части записываем на основании закона действующих масс.
Для реакции
со степенью полноты x1дифференциальное уравнение запишется в виде
Здесь скорость реакции пропорциональна концентрации реагентовAиBв степени их стехиометрических коэффициентов, аkjявляется коэффициентом пропорциональности (константа скорости первой реакции).
Для второй реакции
со степенью полноты x2дифференциальное уравнение запишется в виде
Подставляя в уравнения для степеней полноты соотношения, связывающие концентрации веществ и степеней полноты соотношения, связывающие концентрации веществ и степени полноты, получаем математическую модель кинетики неэлементарной системы реакции
с начальными условиями: t= 0,x1= 0,x2= 0.
Решив систему дифференциальных уравнений кинетики каким – либо численным методом, получим кривые x1(t),x2(t). Используя связь между концентрациями компонентов и степенями полноты, можно рассчитать кинетические кривыеCa(t),Cb(t),Cc(t),Cd(t),Ce(t).