Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6762

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

874.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

										20
	7. Решить уравнения
	7.1. cos2 2x =1+ sin 22x ;							7.2. 4cos2 x = 3;
	7.3. 2cos2 x =1+ 2sin 2x;
	7.3. 2cos2 x =1+ 2sin 2x;									7.4. 2			2	cos2 x =1+							2 .
	8. Решить уравнения
	8.1. (1+ cosx)(3 − 2cosx)= 0;									8.2. (1− cosx)(4 + 3cos2x)= 0;
	8.3. (1+ 2cosx)(1− 3cosx)= 0;									8.4. (1− 2cosx)(2 + 3cosx)= 0.
	9. Решить уравнения
	9.1. arccos (2x − 3)= π ;								9.2. arccos		x +1					=		2π	.
	9.1. arccos (2x − 3)= π ;								9.2. arccos							=			.
					3							3					3
Ответы. 1.1.π ; 1.2. 0; 1.3. π ; 1.4. π ; 1.5.															5π			. 1.6.		3π		2.1. π ; 2.2.				2π ;
Ответы. 1.1.π ; 1.2. 0; 1.3. π ; 1.4. π ; 1.5.																		. 1.6.				2.1. π ; 2.2.				2π ;
2						4				3		6					4
2.3.π ; 2.4. 8π . 3.1.					x = ±π + 2πk ,					k Z;		3.2.						x = ± π + 2πn ,							n Z;	3.3.
						4											3
x = ±	5π	+ 2πk, k Z; 3.4. x = ±					3π		+ 2πn , n Z. 4.1. x = ±arccos														1	+ 2πk , k Z;
																							1

6						4															3
4.2. x = ±arccos			3	+ 2πk ,		k Z;		4.3.		x = ±(π − arccos0,3)+ 2πk ,															k Z;	4.4.
4.2. x = ±arccos				+ 2πk ,		k Z;		4.3.		x = ±(π − arccos0,3)+ 2πk ,															k Z;	4.4.
4
x = ±(π − arccos0,2)+ 2πk ,						k Z. 5.1. x = πk ,						k Z; 5.2. x = π +πn , n Z; 5.3.
										2											2
x = ±3π + 8πk , k Z;					5.4.	x = ±π + 6πn , n Z; 5.5. x = π + πk ,																			k Z;	5.6.
						2											6

x =

3π

+ πn ,

n Z. 6.1. x = π + πk , k Z; 6.2. x = π +πn , n Z.

7.1. x = πk ,

k Z;

7.2. x = ± π + 2πn ,

x = ±

5π

+ 2πn ,

n Z;

7.3.

x = ± π + πk ,

k Z;

7.4.

x = ± π + πn ,

n Z. 8.1.

x =π + 2πk,

k Z;

8.2.

x = 2πn ,

n Z;

8.3.

= ±

2π

+ 2πk ,

k Z;

= ±arccos

+ 2πn ,

n Z; 8.4.

x = ± π + 2πn ,

n Z;

+ 2πk , k Z. 9.1. x =

x = ±arccos −

; 9.2. x = −2,5 .

4.2. Уравнение sinx = a

Уравнение

sinx = a, если

≤1, имеет решения

x = (−1)k arcsina + kπ ,

k Z,

где

arcsina

–

арксинус числа

а. Арксинусом

числа

(arcsina),

где

≤1, называется

угол α такой, что 1)

;

и 2) синус которого

α −

равен а: sinα = a (arcsina =α , если sinα = a).

= π ,

sin π =

− π ≤ π ≤ π ;

Например,

arcsin

так

как

arcsin

−

= −

, так как sin

−

= −

и −

≤

−

≤

3 2

Тождества

sin(arcsina)= a , если

≤1; arcsin(sin x)= x , если

;

x −

;

arcsin(− a)= −arcsina .

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1 .

Решение. sin x – ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки P(1;0) вокруг начала координат на угол x (рисунок 4.2).

Ординату равную	1	имеют две точки окружности M1 и M2 (рисунок 4.2,

2

слева). Так как 1 = sin π , то точка M1 получается из точки P(1;0) поворотом

на угол	x	1	= π	, а также на углы	x = π + 2πk , где k Z. Точка	M	2
		1	6		6		2
			6		6

получается из точки P(1;0)				поворотом на угол	x		=	5π	, а также на углы
получается из точки P(1;0)				поворотом на угол	x	2	=		, а также на углы
						2	6
							6
x =	5π	+ 2πk , т.е. на углы x = π − π + 2πk , где			k Z. Таким образом, все
x =		+ 2πk , т.е. на углы x = π − π + 2πk , где			k Z. Таким образом, все
6				6
корни уравнения sinx =			1	можно найти по			формулам x = π + 2πk ,
корни уравнения sinx =				можно найти по			формулам x = π + 2πk ,
2									6

x = π − π + 2πk , k Z. Эти формулы объединяются в одну x = (−1)k π + nπ , 6 6

n Z.

Рисунок 4.2. Тригонометрическая окружность с ординатами

точек M1 и M2

В самом деле, если n − чётное число, т.е. n = 2k , то x = π + 2πk , если 6

нечётное число, т.е. n = 2k +1, то x = π − π + 2πk , то есть x = 5π + 2πk. 6 6

Ответ.x = (−1)k π + nπ , n Z. 6

Задача 2. Решить уравнение sinx = − 1 .

Решение. Ординату равную −	1	имеют две точки окружности M		и
			1
2

n −

(рисунок 4.2, справа),		где x		= −π	, x		= −	5π	. Следовательно, все корни
			1			2
				6			6

уравнения sinx = −	1	можно найти					по формулам x = −π + 2πk и

2									6

					23
x = −	5π	+ 2πk ,			k Z. Эти формулы объединяются в одну
x = −		+ 2πk ,			k Z. Эти формулы объединяются в одну
6
	n		−	π	+ πn, n Z.
x = (−1)			−		+ πn, n Z.
				6

В самом деле, если n − чётное число, т.е. n = 2k , то x = −π + 2πk , k Z, 6

если n − нечётное число, т.е. n = 2k +1, то x = − 5π + 2πk , k Z. 6

Ответ. x = (−1)n+1 π + πn, n Z. 6

Итак, каждое из уравнений

sinx =

и sinx = −

имеет бесконечное

множество корней. На интервале

− π ≤ x ≤ π каждое из этих уравнений

имеет только один корень: x

= π

− корень уравнения sinx =

и x

= −π −

корень уравнения

sinx = −

. Число

называют арксинусом числа

записывают arcsin

= π ; число

− π

называют

арксинусом числа

−

= −

пишут arcsin

Задача 3. Решить уравнение sin x =

Решение. Так

как

[−1;1],

то

уравнение

sin x =

имеет решения

x = (−1)n arcsin 2 + πn , n Z. 3

Ответ. x = (−1)n arcsin 2 + πn , n Z. 3

	24
Частные случаи

sinx = 0,	x =πn, n Z.

sin x =1,	x = π + 2πn, n Z.
	2

sinx = −1,	x = −π + 2πn , n Z.
	2

Задача 3. Решить уравнение sin2 x =1.

Решение. 2x = π + 2πn , x = π + πn , n Z.

Ответ. x = π

Упражнения

1. Вычислить 1.1. arcsin 0;

1.4. arcsin 1 ; 2

+ πn , n Z.

1.2. arcsin 1;				1.3. arcsin		3	;
1.2. arcsin 1;				1.3. arcsin	2		;
					2

		2						3
1.5. arcsin	−		;	1.6. arcsin		−			.
1.5. arcsin	−		;	1.6. arcsin		−			.
		2						2
		2						2

2. Вычислить

2.1. arcsin 1− arcsin (−1);							1			1
					2.3.	arcsin		+ arcsin	−			;
					2.3.	arcsin		+ arcsin	−			;
							2				2

							3			1
	1		3				3			1
2.2. arcsin		+ arcsin		;	2.4.	arcsin		+ arcsin	−		.


	2		2				2			2

3. Решить уравнения

3.1. sin x =	3	;	3.2. sin x =	2	;

2			2

													25
3.3. sin x = −								1				;	3.4. sinx = −					1		.

								2
								2											2
4. Решить уравнения
4.1.	sinx =				3				;				4.2. sinx =			2	;
4.1.	sinx =								;				4.2. sinx =				;
				4									7
							1
4.3. sinx = −							1			;			4.4. sin x =						5		.
																			5

								4					3
5. Решить уравнения
5.1. sin3x =1;													5.2. sin2x = −1;
				x		= −1;							5.4. 2sin	x	=
5.3.		2	sin	x										x					3;
5.3.		2	sin																3;
				3									2
								3π											π
5.5.	sin x			+							= 0		5.6. sin 2x +									= 0.
5.5.	sin x			+							= 0		5.6. sin 2x +									= 0.
								4											2

6. Решить уравнения

6.1.sin4 x cos 2x = cos4x sin2x ;

6.2.cos 2x sin3x = sin2x cos3x .

7. Решить уравнения

7.1.

1− 4sin xcosx = 0;

7.2.

+ 4sin xcos x = 0 ;

7.3.

1+ 6sin

cos

= 0;

7.4. 1− 8sin

cos

= 0 .

8. Решить уравнения

8.1.1+ cos 5x sin4 x = cos4x sin5x ;

8.2.1− sin x cos2x = cos x sin2x .

	26
9. Решить уравнения
9.1. (sin x −1)(3sin x +1)= 0;	9.2. (4sin x − 3)(2sin x +1)= 0;
9.3. (2sin2x −1)(sin4x +1)= 0 ;	9.4. (4sin3x −1)(2sin x + 3)= 0.

10. Решить уравнения

	x				π		10.2. arcsin (3 − 2x)= −	π
10.1.	arcsin		− 3	=		;		.
10.1.	arcsin		− 3	=		;		.
		2			6			4

1.2. π ; 1.3. π ; 1.4.

π ; 1.5. −

; 1.6. − π . 2.1. π ; 2.2. 0;

Ответы. 1.1. 0;

2.3. π ;

2.4.

− π . 3.1. x = (−1)k π + πk, k Z;

3.2.

x = (−1)n π + πn ,

n Z; 3.3.

x = (−1)k+1 π + πk, k Z;

3.4.

x = (−1)n π + πn ,

n Z. 4.1.

x = (−1)n arcsin

+ πn ,

n Z; 4.2. x = (−1)n arcsin

+ πn ,

n Z; 4.3. x = (−1)n+1 arcsin

+ πn,

n Z; 4.4.

n Z. 5.1. x = π +

2πk

, k Z; 5.2. x = −π + πn ,

x = (−1)n arcsin

+ πn ,

n Z;

5.3. x = (−1)n+1

3π

+ 3πn ,

n Z; 5.4. x = (−1)n

2π

+ 2πn , n Z; 5.5. x = −

3π

+ πn ,

n Z; 5.6.

x = −π + πn ,

n Z.

6.1. x = πn ,

n Z;

6.2.

x =πn,

n Z.

7.1.

n π

πn

n+1 π

πn

x = (−1)

7.2.

x = (−1)

n Z;

7.3.

x = (−1)n+1 2arcsin

+ 2πn ,

n Z;

7.4.

x = (−1)n

arcsin

3πn

n Z.

8.1.

x = π + πn ,

n Z;

8.2.

x = π +

2πn

n Z. 9.1.

x = (−1)n π + πn ,

n Z;

x = (−1)k+1 arcsin

+ πk ,

k Z;

9.2.

x = (−1)n+1 π + πn,

n Z;

							27
x = (−1)k arcsin			3	+ πk ,		k Z; 9.3.	x = (−1)n	π	+ πn , n Z;		x =		3π	+ πn , n Z.
x = (−1)k arcsin				+ πk ,		k Z; 9.3.	x = (−1)n		+ πn , n Z;		x =			+ πn , n Z.
4							12		2		8			2
						+ πn , n Z. 10.1. x = 7; 10.2. x =				6 +
9.4. x = (−1)n	1	arcsin			1					6 +	2	.
9.4. x = (−1)n		arcsin										.
3				4		3			4

4.3. Уравнение tgx = a

Уравнение tgx = a , a R , имеет решения x = arctga + kπ , k Z, где arctga – арктангенс числа а.

Арктангенсом числа (arctga), где a R , называется угол α такой, что

1)α − π ;π ,

2 2

2)tgα = a (arctga = α , если tgα = a ).

Например, arctg1=

, так как

=1 и

−

; arctg

−

= −

, так

−

< −

как tg −

= −

Тождества

−

;

; arctg(− x)= arctgx.

tg(arctga)= a ; arctg(tgx)= x , если x

Например, arctg(− 3)= −arctg3 = −π ; arctg(−1)= −arctg1= −π .

3			4

Задача 1. Решить уравнение tgx =	3	.

Решение. Построим углы, тангенсы которых равны			3 . Для этого

проведём через точку Р (рисунок 4.3.) прямую, перпендикулярную РО (ось тангенсов), и отложим отрезок PM = 3 , через точки М и О проведём прямую. Эта прямая пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках M1 и M2 . Из прямоугольного треугольника РОМ находим

	PM	=		3	=							, откуда x		= π	. Таким образом, точка M
	PM			3			3	= tgx			1		1							1	получается из
							3	= tgx													получается из
	PO		1											3
	PO		1											3
точки P(1;0)							поворотом вокруг начала координат на угол π , а также на углы
															3
	x = π + 2πk, где k Z.
3
			Точка			M			2	получается поворотом точки P(1;0) на угол x								2	= π + π , а также
									2									2			3
																					3
на углы x = π + π + 2πk , где k Z.
						3
			Итак, корни уравнения tgx =														можно найти по формулам x = π + 2πk,
			Итак, корни уравнения tgx =													3	можно найти по формулам x = π + 2πk,
																					3

x = π + π (2k +1), k Z. Эти формулы объединяются в одну: x = π + πn , n Z. 3 3

Ответ. x = π + πn , n Z. 3

Рисунок 4.3. Тригонометрическая окружность с отмеченными на ней углами, тангенсы которых равны 3 (слева)

и − 3 (справа)

Задача 2. Решить уравнение tgx = −3 .

Решение. Углы, тангенсы которых равны (− 3 ), указаны на рисунке 4.3, где PM PO, PM = 3 . Из прямоугольного треугольника РОМ находим

POM =	π , т.е. x	1	= −π . Таким образом, точка M				1	получается из точки P(1;0)
	3	1	3				1
	3		3
поворотом вокруг			начала	координат		на угол		− π , а также на углы
								3
x = −π + 2πk , где k Z.				Точка M	2	получается поворотом точки P(1;0) на
3					2
3