6762

10

2.

Вычислить cosα , если sinα =

3

, π <α <π .

5

2

3.

Вычислить tgα , если sinα = −

5

, π <α <

3π

.

13

2

5. Вычислить sin(α + β ), если sinα =

4

и 0 <α < π ; cosβ =

5

и 0 < β < π .

5

2

13

2

7.1. sin

−

9π

;

7.2. cos

5π

;

7.3. tg

11π

;

4

4

3

7.4. ctg

7π

;

7.5. cos

−

13π

;

7.2. sin

19π

.

4

6

4

8. Вычислить

8.1. sin 4050 − cos3150 ;

8.2. cos6900

− sin7800 ;

8.3. sin

11π

+ cos

5π

;

8.4. sin

7π

+ cos

7π

.

6

3

4

4

9. Упростить выражения

9.1.

sin(− α )+ cos(π + α )

;

π

1+ 2cos

− α cos(− α )

2

π

+ sin(2π + α )

sin

+ α

9.2.

2

.

2cos(−

α )sin(− α )+1

11

10. Упростить выражения

sin 2α

sin2α

sinα − tgα

10.1.

;

10.2.

;

10.3.

;

1− cos2 α

1− sin2 α

cosα −1

10.4.

cosα − ctgα

;

2sin2 α −1

cos2 2α

10.5.

;

10.6.

.

sinα −1

sin2 α − cos2 α

1+ cos4α

11. Доказать тождества

11.1. 1+ ctg2α +

1

sin2 α cos2 α =1;

cos2 α

11.2. 1+ tg2α +

1

sin2 α cos2 α =1;

sin2 α

11.3.

cos β

+

sin β

sin 2α = 2cos(α − β );

sinα

cosα

cosα

−

sinα

sin2β = −2sin(α − β ).

11.4.

cosβ

sin

β

1− cos2

α

+ tgα ctgα

=

1

14.2.

;

1− sin2

α

cos2

α

14.3.

cosα + sinα

=

1

+ tgα

;

− tgα

cosα − sinα

1

12

15. Вычислить

15.1. sin5750 cos8450

− cos14050 sin16750 − tg2150 tg6850 − tg2 350 ;

15.2. sin

8π

ctg

11π

+ cos

29π

tg

4π

+

1

+ 7;

29π

11π

3

6

6

3

cos

sin

6

6

7

7

7

16. Упростить выражения

π

3π

ctg

−α

− tg(π

+ α )+ sin

−α

16.1.

2

2

;

cos(π + α )

π

− ctg(π

− α )

sin(π −α )+ cos

+ α

16.2.

2

.

3π

tg

−α

2

19π

+ cos(7π + α )

sin

− α

5π

2

, при α =

17.1.

;

11π

6

+ α

− sin(α − π )

cos

2

17.2.

tg(π + α )− tg(4π − β )

, при α = π , β =

π

.

5π

4

12

1+ ctg

+ α

tgβ

2

18. Упростить выражения

cosα − 2sinα

−

2 − cos2 α

18.1.

;

sinα + cosα

cos2α

18.2.

2cosα + sinα

−

2 − 3sin2 α

.

cos(−α )+ sinα

π

+ 2α

sin

2

13

19. Доказать тождества

19.1.

2cos

2 π

+

α

=1− sinα ;

4

2

19.2.

2sin

2

π

+

α

=1+ sinα ;

4

2

19.3.

1− cos2α

ctgα =1;

sin2α

19.4.

sin2α

= tgα .

1+ cos2α

20. Доказать тождества

20.1. sinα sin(β −α )+ sin

2

β

= sin

2

β

;

−α

2

2

ctg

2

α +

π

2

π

cos

α −

21.1.

2

2

;

ctg

2

α −

π

2

π

cos

α +

2

2

ctg(2700 − α )

ctg2 (3600 − α )−1

21.2.

.

1 − tg2 (α −1800 )

ctg(1800

+ α )

4

4

5

12

56

Ответы. 1.

−

. 2. −

. 3.

. 4.

. 5.

. 6.

−

3

. 7.1.−

2

; 7.2. −

2

;

5

5

12

5

65

2

2

2

7.3.

−

;

7.4.

−1; 7.5.

3

;

7.6.

2

.8.1. 0;

8.2. 0; 8.3.

0; 8.4. 0.

9.1.

3

1

1

−

; 9.2.

. 10.1.

2ctgα ; 10.2.

2tgα ; 10.3. tgα ; 10.4.

sinα + cosα

sinα − cosα

14

1

; 17.2.

. 18.1. −

3

tg2α ; 18.2. −

tg2α

. 21.1. 1;

. 16.1. 1; 16.2. −1. 17.1.

3

3

8

3

2

2

21.2. 1.

Задача 4. Упростить выражение

π

π

π

sin α +

+ sin α −

sin

.

12

12

12

Решение

π

π

π

sin α +

+ sin α

−

sin

=

12

12

12

= 2sinα cos

π

sin

π

= sinα sin π =

1

sinα.

12

12

6

2

750

+150

750

−150

sin750 + cos750 = sin750 + sin150

=

2sin

cos

=

2

2

= 2sin 450 cos300 = 2

2

3

=

6

.

2

2

2

22.1.

π

π

22.2.

π

π

sin

+ α

+ sin

− α ;

cos

− β

− cos

+ β ;

3

3

4

4

22.3.

sin

2

π

+ α

− sin

2

π

22.4.

cos

2

−

π

− cos

2

π

− α ;

α

α +

.

4

4

4

4

23. Вычислить значения выражений

23.1. cos1050 + cos750 ;

23.2. sin1050

− sin750 ;

23.3. cos

11π

+ cos

5π

;

23.4. cos

11π

− cos

5π

.

12

12

12

12

23.5. sin

7π

− sin

π

;

23.6. sin1050

+ sin1650 .

24.1.

sinα + sin3α

= tg2α ;

24.2.

sin2α + sin4α

= сtgα .

cosα + cos3α

cos2α − cos4α

25. Упростить выражения

2(cosα + cos3α )

1+ sinα − cos2α − sin3α

25.1.

;

25.2.

.

2sin2α + sin4α

2sin2 α + sinα −1

23.2. 0; 23.3. −

2

; 23.4. −

6

; 23.5.

2

; 23.6.

6

. 25.1.

ctg2α

; 25.2.

cosα

2

2

2

2

Уравнение

cosx = a,

если

a

≤1,

имеет

решения

x = ±arccosa + 2kπ , k Z, где arccosa

– арккосинус числа а. Арккосинусом

числа а (arccosa), где

a

≤1, называется угол α такой, что 1)

α [0;π ] и 2)

cosα = a (arccosa = α , если cosα = a ).

= π ,

cosπ =

0 ≤ π ≤ π ;

Например,

arccos

3

так

как

3

и

2

6

6

2

6

5π

5π

5π

3

3

arccos −

=

, так как cos

= −

и 0

≤

≤ π .

2

6

6

2

6

Решение. Абсциссу равную

−

1

имеют две

точки окружности

M

и

1

2

M

(рисунок 4.2). Так как

−

1

= cos

2π

,

то x

=

2π

,

x

= −

2π

.

2

1

2

2

3

3

3

Следовательно, все корни уравнения cosx = −

1

можно найти по формуле

2

Итак, каждое из уравнений

cosx =

1

и

cosx = −

1

имеет бесконечное

2

2

множество корней. На интервале

0 ≤ x ≤π

каждое из этих уравнений имеет

только один корень: x

= π − корень уравнения

cosx =

1

и x

=

2π

− корень

1

1

3

2

3

уравнения

cosx = −

1

.

Число

π

называют

арккосинусом числа

1

и

3

2

2

записывают

arccos

1

= π ; Число

2π

называют

арккосинусом числа

−

1

и

2

3

3

2

1

2π

записывают arccos −

=

.

2

3

Задача 3. Решить уравнение cosx = −