Глава X. ПОДГОТОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

1.Планирование эксперимента

Косновным этапам любого экспериментального исследования можно отвести планирование эксперимента, проведение испытаний и обра­ ботку полученных данных.

При планировании эксперимента определяется объем исследований и методы проведения испытаний, перечень силового оборудования и средств измерений, необходимых для реализации задач исследо­ вания.

Определение количества опытов при планировании— одна из наиболее ответственных я сложных проблем. Так, если число экспери­ ментальных данных будет недостаточным, можно не раскрыть иссле­ дуемых закономерностей и не обеспечить требуемой точности резуль­ татов. В то же время получение избыточной информации связано с увеличением продолжительности испытаний, а следовательно, и с их удорожанием. Поэтому должен быть выбран такой план, который обе­ спечивал бы возможность получения необходимых данных с заданной точностью при оптимальном объеме выполненных исследований.

Независимо от степени сложности эксперимента при его плани­ ровании устанавливается количество исследуемых факторов, об­ ласть их определения, а также число уровней и интервалы изменения факторов [47]. Напомним, что факторами называются независимые переменные величины, изменением которых можно управлять в процессе эксперимента. Каждый фактор в опытах может принимать различные значения, и каждое такое возможное значение фактора принято называть его уровнем. Обязательным условием проведения управляемого эксперимента является возможность установления для исследуемых факторов любого произвольного уровня, интере­ сующего экспериментатора. В таком случае объект исследования также является управляемым по отношению к соответствующему фактору

На ход эксперимента могут оказывать влияние также и внешние переменные, которые изменяются случайным образом и не поддаются управлению.

При постановке и проведении корректного экспериментального исследования обязательно соблюдение следующих основных прин­

ципов. Во-первых, эксперимент должен осуществляться в контро­ лируемых и управляемых условиях. Поэтому в процессе его про­ ведения влияние внешних переменных необходимо исключать. Во-вторых, для упрощения эксперимента и сокращения его про­ должительности целесообразно по возможности уменьшать число независимых переменных, изменяемых исследователем в процессе испытаний, т. е. уменьшить количество варьируемых в эксперименте факторов, что, как будет показаво, приводит к резкому сокращению объема испытаний и к пропорциональному повышению их экономич­ ности. В-третьих, в рамках замкнутого экспериментального иссле­ дования необходимо использовать приборы одинаковой точности, соответствующей заданной точности определяемых величин. Кроме того, в современном экспериментальном исследовании для увели­ чения производительности испытаний и расширения их возможностей необходимо использовать автоматизированные системы с замкнутым контуром регулирования.

Все виды экспериментов по числу исследуемых факторов можно разделить на два класса — однофакторные и многофакторные. К простейшим относятся однофакторные эксперименты, при про­ ведении которых исследуется влияние одной какой-либо независи­ мой переменной (фактора) на зависимую переменную (результат). Во многих экспериментальных исследованиях рассматривается вли­ яние на результат двух или большего количества независимых пе­ ременных. Такие эксперименты называются двухфакторными, трех­ факторными или в общем случае многофакторными.

При планировании однофакторного эксперимента используются планы одного из двух типов: последовательного и случайного [47]. Осуществление последовательного плана связано с таким выбором уровней независимой переменной величины и интервалов между ними, при котором переход от одного предельного значения фактора

кдругому (в пределах области его существования) производится последовательно и дискретно через определенные интервалы с на­ растанием или с убыванием. Если переход от одного уровня фактора

кдругому осуществлять случайным образом, задавая то большее, то меньшее значение, то такой порядок эксперимента соответствует случайному (рандомизированному) плану.

При составлении плана однофакторного эксперимента прежде всего определяется область исследуемых значений независимой переменной величины, а затем устанавливаются интервалы ее из­ менения и соответствующие им уровни.

Предельные значения фактора чаще всего могут быть определены до начала испытаний, однако иногда их необходимо уточнять в процессе эксперимента, особенно для новых материалов и недостаточно изученных режимов нагружения.

Интервалы между уровнями исследуемого фактора устанавли­ ваются таким обраэом, чтобы в любой области экспериментальной кривой получать результаты с одинаковой точностью. Во многих случаях получаемые данные имеют неодинаковую точность на различных участках исследуемых значений. Если на каком-то

участке точность определения исследуемой величины ниже, чем па других в границах рассматриваемой области, то для такого уча­ стка необходимо получить большее количество экспериментальных точек на каждом уровне наряду с уменьшением интервалов между уровнями.

Величина интервалов и количество задаваемых уровней фактора в области его исследования также существенно зависят от характера функции, описывающей связь между независимой переменной и изучаемой величиной. Если такая функция является линейной, то интервалы можно выбирать равными. При нелинейном характере зависимости между исследуемыми переменными протяженность интервала следует увеличивать с увеличением крутизны функции. При этом, если в области существования функция имеет экстремумы, испытания необходимо проводить при соответствующих экстремумам уровнях факторов, и, кроме того, в близкой к экстремумам области интервалы между уровнями должны задаваться минимальными.

Отметим, что рандомизированный план применяется преиму­ щественно для воспроизводимых экспериментов, т. е. для таких, которые после завершения могут быть повторены на одном и том же объекте исследования. Большинство экспериментов, связанных с испытаниями материалов, являются невоспроизводимыми, поэто­ му их проведение основано на использовании последовательного плана.

Б многофакторных экспериментах применяются классический и факторный планы. Классический план практически не имеет огра­ ничений по характеру исследуемых явлений и позволяет осуществлять планирование объема и порядка проведения любых испытаний. Этот тип плана в настоящее время является наиболее распространен­ ным, несмотря на громоздкость и большую стоимость выполняемых на его основе исследований. Если, например, вадана зависимая пе­ ременная и, которая является функцией трех переменных х, у, z, то в соответствии с классическим планом порядок проведения трех­ факторного эксперимента заключается в следующем [47]. Все не­

ная величина изменяется во всем интервале значений. Интервалы между уровнями переменной х в данном случае выбираются таким же образом, как и при однофакторном эксперименте. Затем в качестве исследуемого фактора рассматривается вторая переменная у и про­ водится второй этап эксперимента при ее варьировании и постоянстве двух других независимых переменных. И па третьем этапе в качестве изменяющейся величины принимается переменная г. Таким образом, классический многофакторный эксперимент представляет собой про­ стую последовательность однофакторных экспериментов, число ко­ торых соответствует количеству факторов. Если для трехфакторного эксперимента каждый фактор исследовать на одинаковом количестве уровней, обозначенном через N, то общее количество опытов п в этом случае будет равно 3N — 1, а для к факторов — п — Nk — 1. План двухфакторного эксперимента, в котором каждый фактор бе­

рется на пяти уровнях, схематически можно представить в следующем виде:

Уровни переменной х

1. 2 J U 5

X

X

Звездочки на плане соответствуют комбинациям условий, при которых должен проводиться эксперимент. Такой многофактор­ ный эксперимент называется частичным и для него, как показано выше, число опытов n = Nk — 1, или 9. При полном двухфакторном эксперименте каждому уровню переменной х на классическом пла­ не должен соответствовать каждый уровень переменной у, и в этом случае количество опытов будет равно n — Nhили 25. План полного двухфакторного эксперимента имеет такой вид:

Уровни переменной х

Характер классического эксперимента определяется степенью сложности функций, описывающих зависимость между переменными. Для более простых функций (типа и = Ауш+ Вхр, и — Аутхр, и = АуВсх) используется частичный план, а для сложных (типа

и = Ах sin — , и = А + ВхРут + Сх°у°, и = АхЬу) — полный план [471.

Рассмотренный классический двухфакторный эксперимент яв­ ляется сбалансированным, так как в нем число уровней для обоих факторов выбрано одинаковым. Приведенные выше соотношения для определения п справедливы только для сбалансированного экс­ перимента. В общем случае влияние различных факторов на резуль­ тат исследования может существенно отличаться и поэтому чаще всего при многофакторном классическом эксперименте количество уровней для каждого фактора выбирается различным. Такой экспе­ римент называют несбалансированным.

Применение факторного плана позволяет значительно сократить объем испытаний и повысить их точность. Однако этот план имеет существенное ограничение по сравнению с классическим, которое накладывается на структуру соотношений, описывающих зависи­ мость между исследуемой величиной (результатом) и независимыми переменными. Факторный план можно использовать только в тех

случаях, когда результаты эксперимента описываются соотношени­ ями определенного вида; причем еще до проведения испытаний и обработки данных необходимо энать, к какому виду они относятся, иначе результаты испытаний использовать нельзя. К первому виду относятся соотношения; в которых зависимая переменная является суммой функций от независимых переменных. Этот случай (например, для трехфакторного эксперимента) может быть выражен такой фор­ мулой:

где / 1? / 2 и /з — функции любой сложности.

Соотношение (Х.1) описывает такой результат многофакторного эксперимента, который не зависит от взаимного влияния исследуемых факторов.

Соотношение второго вида, допускающее применение факторного планирования, представляет собой произведение отдельных функций

Выражение (Х.2) может рассматриваться как частный случай выражения (Х .1)' к которому оно преобразуется путем логарифми­ рования. Для сбалансированного трехфакторного эксперимента используются различные типы факторного плана, в частности план, называемый латинским квадратом [47], имеет вид:

В данном случае для каждой независимой переменной выбрано по три уровня и общее количество опытов равно 9. Для эквивалент­ ного классического полного эксперимента необходимо провести 27 опытов. Следовательно, факторный план по сравнению с классическим позволяет существенно уменьшить объем испытаний, что особенно важно при увеличении числа уровней и количества исследуемых факторов. Кроме того, применение факторного планирования поз­ воляет повысить точность получаемых результатов и практически не требует выполнения повторных опытов при одинаковой комби­ нации факторов (каждой точке на экспериментальной кривой соот­ ветствует одно испытание). Таким образом, основным преимуществом факторных экспериментов по сравнению с классическими является наряду с уменьшением трудозатрат повышение точности результатов. Это связано с тем, что для каждой кривой при факторном эксперименте используется вся совокупность данных и поэтому получается макси­ мальная точность определения исследуемых величин.

2. Обработка и анализ результатов

Этап математической обработки результатов эксперимента является обязательной составной частью любого исследования. Первичные данные, полученные непосредственно в процессе испытаний, не всег­ да могут быть использованы для оценки напряжений и деформаций, возникающих в объекте исследования при внешнем пагружении, и поэтому на завершающей стадии необходимо их преобразовывать к виду, удобному для анализа. Порядок такого преобразования, необходимый математический аппарат, перечень используемых для анализа характристик и соотношений, а также общие принципы обработки определяются непосредственно исследователем с учетом целей и задач эксперимента.

Прогресс, достигнутый в области вычислительной техники, по­ зволяет включать в состав экспериментальных комплексов с замкну­ тым контуром регулирования системы обработки первичных дан­ ных, осповапные на использовании ЭВМ. Эти системы по заданному алгоритму могут обрабатывать первичные данные, выполнять их анализ и представлять полученную информацию в виде графиков или таблиц на соответствующих устройствах индикации. Однако в данном случае система обработки с ЭВМ только выполняет заданный исследователем набор операций, которые приводят к нужному ре­ зультату только в том случае, если программа обработки и анализа базируется на правильных предпосылках. Как и во всех других ситуациях, в данном случае вычислительная техника позволяет расширить возможности исследователя и ускорить процесс обработки и первичного анализа полученных экспериментальных данных, но она не способна вырабатывать идеологию научного эксперимента в целом и идеологию обработки и анализа его результатов в частности. Поэтому очевидно, что методы обработки и. анализа экспеиментальных данных должны быть хорошо и в деталях освоены экспериментато­ рами и использоваться ими в повседневной практике, независимо от степени оснащенности средств эксперимента вычислительной тех­ никой.

В данном разделе рассматриваются только некоторые общие вопросы обработки и анализа результатов экспериментальных исследований.

Следует отметить, что для получения достоверных данных еще па этапе проведения испытаний необходимо исключить возможные ошибки измерений, которые при определенных условиях могут весьма существенно искажать результаты эксперимента и приво­ дить к неправильным выводам. Известно, что даже при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений могут отличаться друг от друга и, следовательно, содер­ жать ошибки. Ошибкой, или абсолютной погрешностью измерения, называется разность х — а между результатом измерения х п ис­ тинным значением а измеряемой величины [34].

Обычно ошибка измерения неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой ьеличины! Для вычисления приближенного

значения а с возможно меньшей погрешностью необходимо знать основные виды ошибок и уметь их учитывать при обработке резуль­ татов. При проведении экспериментов встречаются три вида ошибок — грубые (или промахи), систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают при нарушении основных условий эксперимента или в результате недосмотра исследователя; содержа­ щие такие ошибки данные не должны рассматриваться. Внешним признаком проявления грубой ошибки является резкое отличие полученного результата от результатов других измерений.

Систематические ошибки наблюдаются в тех* случаях, когда среднее значение последовательных отсчетов отклоняется от из­ вестного значения. Эти ошибки могут быть выявлены, например, при повторной калибровке системы измерений, и после определения их значения они устраняются путем введения соответсвующих поправок в результаты измерений. Принято считать, что оставленные для математической обработки результаты измерений не содержат грубых и систематических ошибок.

К случайным относятся ошибки, которые в отдельных измерениях могут принимать случайные, заранее неизвестные значения. Слу­ чайные ошибки вызываются большим количеством таких, факторов, каждый из которых в отдельности дает незначительный эффект, не поддающийся самостоятельному учету. Эти ошибки являются не­ устранимыми и их нельзя исключить в каждом отдельном измерении. Установить абсолютную величину случайной ошибки также нельзя, произведя единственное измерение, так как ошибки этого вида имеют статистическую природу. Их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины можно установить только на основе исполь­ зования методов математической статистики и теории вероятностей. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным ве­ роятностным законом их распределения. В теоретических работах по математической статистике изучается большое количество раз­ личить распределений, однако в качестве основного при анализе ошибок измерения чаще всего принимается нормальный закон рас­ пределения, называемый ^ако1шм_Гау£.са,—

Для оценки точности измерительной системы (с известным нормальным законом распределения случайных ошибок) используют­ ся показатели точности измерения. Б качестве основных показателей точности, характеризующих точность измерения прибором требуемой величины, применяются два показателя: средняя квадратическая ошибка измерения и вероятная ошибка. Средняя квадратическая ошибка, численно равная связанному с кривой распределения Гаусса параметру о, называется стандартной ошибкой или стандартом; квадрат ее величины называется дисперсией ошибки (о2). Показатели точности и ошибки измерений связаны с такими основными характе­ ристиками точности измерительных приборов, как класс точности, мера точности, чувствительность, порог чувствительности и разрешающая способность. Класс точности прибора определяется значением допус­

измеряемой величины). Мерой точности h называется величина,

связанная со среднеквадратической ошибкой измерения: h = — ~ аУ2

Чувствительность прибора S характеризуется отношением ве­ личины отклонения индикаторов прибора АЪ к вызвавшему это отклонение изменению измеряемой величины Да:

S

Аb

Да

Порогом чувствительности называется наименьшее значение из­ меряемой величины, способное вызвать заметное отклонения ин­ дикатора прибора, а разрешающей способностью — ее минимальное изменение, которое может быть зафиксировано аппаратурно или оператором.

одинаковой для всех элементов измерительной цепи). Расчет ревультирующей погрешности измерения необходимо производить с учетом всех источников погрешностей. В полную погрешность определения полученного результата, кроме результирующей погрешности из­ мерения, также входят погрешности округления и погрешности метода аппроксимации, возникающие на стадии математической обработки полученных данных и представления результатов в чис­ ленном виде. Определение погрешности является важным этапом в процедуре анализа экспериментальных результатов, за которым обычно следуют этапы, имеющие непосредственное отношение к ма­ тематической обработке, такие, как определение средних значений, подбор эмпирических формул и отыскание их параметров, прове­ дение корреляционного анализа и некоторые другие.

При определении средних значений измеряемой величины пред­ полагается, что результаты измерений свободны от грубых и систе­ матических ошибок. Если все п измерений величины произведены с одинаковой точностью, то для оценки ее истинного значения при­

Если результаты измерений не являются равноточными, но из­ вестны рх, р2,...,рл — веса измерений хх, #2,..., хь, то в качестве оцен­ ки истинного значения а измеряемой величины применяют ее

При большом числе измерений среди их результатов могут встре­ чаться одинаковые по величине; в этом случае соответствующие сла­ гаемые в формулах (Х.З) — (Х.6) следует объединять.

При экспериментальном изучении функциональной зависимости одной величины у от другой х производят ряд их взаимных изме­ рений и результаты представляют в табличном виде или графически. После этого необходимо подобрать эмпирические формулы, описы­ вающие результаты эксперимента. Они выбираются из формул оп­ ределенного типа. Например, при линейной аппроксимации полу­ ченных данных используются формулы типа у = ах 4- Ь\ если эти данные описываются степенной функцией или показательной, то формулы соответственно имеют вид у = а0хь°, у — а0еь°х и т4д. Вид формулы может быть известен заранее из каких-либо теоретических соображений, выбран из соображений простоты аналитического представления эмпирического материала или в результате анализа полученных графиков. Так, для выбора между степенной или по­ казательной функциями экспериментальные точки необходимо на­ нести на график в логарифмических или полулогарифмических ко­ ординатах. Если точки хорошо ложаться на прямую в двойных ло­ гарифмических координатах, это значит, что зависимость между у и х описывается степенной функцией; если получаем прямую ли­ нию в полулогарифмических координатах, необходимо использо­ вать для описания зависимости между у и х показательную функцию. После установления вида эмпирической формулы задача сводится к определению входящих в нее параметров а0, Ъ0, ... и т. д.

где а0, ап — подлежащие определению параметры. Значение этих параметров нельзя точно определить по эмпирическим значениям ■функции уи у2,..., уь, так как последние содержат случайные ошибки. Наличие случайных ошибок измерения практически исключает возможность подбора такой формулы (Х .7), которая точно описы­ вала бы все опытные значения, и делает его нецелесообразным.

График искомой функции не должен проходить через все экспе­ риментальные точки, оп должен занимать какое-то оптимальное' положение. Основным методом, который используется для сглажи­ вания разброса экспериментальных результатов и определения па­ раметров а0, ап выбранной функциональной зависимости.

является метод наименьших квадратов. Основная идея этого метода заключается в том, что значения параметров в расчетной зависимости (Х.7) должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений yk от рассчитанных по зависимости (Х.7):

была бы минимальной.

В представленном виде соотношение (Х.8) справедливо, если измерения являются равноточными; для неравноточных измерений необходимо учитывать так же, как и в соотношениях (Х.5) и (Х.6), веса измерений.

Метод наименьших квадратов может использоваться только в том случае, если измерения значений функции ylf у2,..., yjy выполнены независимо друг от друга и если ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.

Методику применения метода наименьших квадратов рассмотрим на простейшем примере определения параметров линейной функции [34], которая графически изображается прямой линией. Такая ли­

ния в рассматриваемом случае всегда проходит через точку (х, у), координаты которой являются средними значениями координат данных точек, вычисляемых в общем случае по формулам, анало­ гичным (Х .5). Уравнение прямой линии при этом будет иметь вид

Если измерения производятся с одинаковой точностью, то все веса измерений ри = 1 и формулы (Х.10) и (Х.11) существенно упростятся.

Для функций другого вида процедура использования метода наименьших квадратов, как правило, усложняется. Если парамет­ ры входят в эмпирическую формулу нелинейно, то определение их методом наименьших квадратов обычно связало с громоздкими вычислениями. В таких случаях задачу стараются свести к линейному варианту эа счет преобразования эмпирических формул или путем введения поправок к приближенным значениям параметров, для чего применяются различные упрощенные методы [34].

В заключение отметим, что в данной главе рассмотрены лишь наиболее общие вопросы, связанные с планированием эксперимента, анализом и обработкой его результатов, т. е. вопросы, учет которых весьма важен в общей проблеме использования экспериментальных методов в механике деформируемого твердого тела.