книги / Электроника электрофизические основы, микросхемотехника, приборы и устройства

Глава 2

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

2.1. Сигналы и их описание

Работа электронных устройств сопровождается преобразованием электрических сигналов одного вида в другой. В элементах применяются сигналы различной формы в широком диапазоне интенсивностей. Класси­ фикация и параметры электронных приборов во многом определяются ви­ дом входных и выходных воздействий (напряжений и токов). Методы ана­ лиза и синтеза электронных цепей зависят от представления (моделей) подлежащих обработке сигналов.

По отношению к передаваемому сообщению сигналы делят на по­ лезные (желательные) и мешающие (помехи). Те и другие могут иметь случайный характер изменения или быть полностью определенными во времени (регулярными). Д е т е р м и н и р о в а н н ы е сигналы описы­ ваются регулярной функцией времени, значения которой можно точно вы­ числить для любого момента времени. Для с л у ч а й н ы х (нерегуляр­ ных) сигналов их значения можно лишь предсказать с некоторой вероят­ ностью. Детерминированный сигнал заранее известен с полной достовер­ ностью и не содержит информации, но служит удобной моделью при ис­ следовании систем.

По характеру изменения во времени выделяют сигналы:

• н е п р е р ы в н ы е , характеризуемые конечной интенсивностью на всем бесконечном интервале времени,

• и м п у л ь с н ы е , имеющие отличную от нуля интенсивность толь­ ко в пределах конечного (обычно, короткого) отрезка времени. Непрерывные во времени сигналы, интенсивность которых может

принимать любые значения, называют а н а л о г о в ы м и К дискретным во времени сигналам относят импульсные последова­

тельности. Последовательность импульсов представляет собой совокуп­ ность отдельных импульсов на бесконечном (или достаточно большом) интервале времени. П е р и о д и ч е с к и м и называют последователь­ ности импульсов u(t) - u(t vkT), повторяющихся через равные промежутки времени Г. Амплитуда импульсов может принимать непрерывные или дис­ кретные значения с заданным шагом т. е. быть квантованными по уров­ ню. Дискретные импульсные последовательности, в которых уровни коди­ рованы числами, называют ц и ф р о в ы м и сигналами (числовыми им­ пульсными последовательностями).

При анализе электронных систем используется представление слож­ ных сигналов в форме совокупности простых (элементарных) составляю­ щих во временной или частотной областях.

Произвольный апериодический (непериодический) сигнал u{t) на ин­ тервале исследования аппроксимируется ступенчатой функцией, имеющей постоянные значения на промежутках т (рис.2.1,а).

Рис. 2.1. Сигнал (а) и аппроксимирующие функции: ступенчатая (б), импульс

единичной площади (в), 8-функция Дирака (г)

Аппроксимирующую функцию можно заменить суммой единичных ступенчатых функций 1(f) (рис.2.1,6) или прямоугольных импульсов еди­ ничной площади e(t) (рис.2Л,в). При уменьшении интервала дискретиза­ ции т—>0 несложно записать точное выражение сигнала с использованием ступенчатых функций

“(0 = и 0 • 1(0 + ]H'(T) I(/ - т )* .

о

Очевидно, что предельный переход т—»0 переводит импульс единич­ ной площади e(t) в 8-функцию Дирака 8(f), имеющую бесконечно большую амплитуду при нулевой длительности, т. е. 8(f)=оо при f=0, 8(f) = 0 при f*О

(рис.2.1,г). Площадь 8-импульса сохраняет единичное значение +00

]б(0<* = 1.

Заданный сигнал u{t) можно представить с использованием 8-функций:

/

u(t) = jw(x)8(f - x)dx.

о

Испытательные импульсная 8(f) и единичная 1(f) функции взаимосвяза­ ны: b{t) = d\{t)!dt. Приведенные в виде функций времени модели сигналов применяют преимущественно для анализа искажений формы сигналов при их прохождении через электронные устройства.

В частотной области сложный сигнал представляют в форме суммы (интеграла) синусоидальных составляющих кратных частот. Выбор в качестве базиса для представления сигналов синусоидальной

с помощью которого несложно получить спектр амплитуд (рис.2.2,б) 5и(о) = U0x [sin(сот/2)/(сот /2)] и начальных фаз \j/(co)=—сот/2 (рис. 2.2,в).

Параметром апериодического сигнала, характеризующим его инте­ гральное воздействие, служит среднее значение (площадь импульса), кото­ рое в частотной области отображается постоянной составляющей ампли­ тудного спектра Su(0).

Преобразование сигналов сопряжено с изменением их формы и, сле­ довательно, спектров. При анализе систем требуется на основе свойств сигналов и их спектров определить изменение спектров при линейных и нелинейных преобразованиях (усилении, фильтрации, модуляции, дискре­ тизации) и оценить вариации формы сигналов при искажении их спектров.

В практике проектирования устройств необходимо учитывать соот­ ношение между длительностью сигнала и шириной его частотного спектра Если импульс u(t) конечной длительности имеет спектр то растян> тый во времени импульс u(at) обладает более узким спектром SJjw/a) И этого следует вывод о бесконечно широком спектре имеющего нулевую длительность ô-импульса. Этот результат несложно получить, рассмотрев изменение амплитудного спектра при уменьшении длительности т прямоугольного импульса. Первый (основной) лепесток в спектре буде расширяться, и в пределе при х —> 0 получим, что амплитудный спектр S -импульса имеет постоянное значение Ss(со) = 1 во всем частотном диа­ пазоне. Очевидно, что конечный во времени сигнал обладает неограни­ ченным по частоте спектром, а сигнал с финитным (конечным) спектром существует на бесконечном интервале времени.

В силу теоретической неограниченности спектра сигнала конечной длительности для практики необходимо иметь приближенную оценку егэ ширины, т. е. диапазона частот от сон до шп, вне которого можно считать SJU(Ù) = 0. Обычно используют энергетический критерий, при котором под шириной спектра понимают полосу частот, в которой заключена основная часть (например, 90%) полной энергии импульса. Энергию, выделяемую импульсом напряжения u(t) в единичном сопротивлении, можно вычис лить во временной или частотной областях, используя соотношение

интегрирования в конечных пределах несложно вычислить долю энергии, выделяемую импульсом за интервал времени или в диапазоне частот. Например, для прямоугольного импульса в диапазоне частот от сон = 0 до о в=2л/т (первого нуля спектра) содержится 90% всей энергии. Известно,

Спектр модулированной последовательности содержит составляющие на частотах o)i = 2кп/Т, служащие опорными точками повторяющихся спектров сообщения (рис.2.4,в).

Для амплитудно-модулированных последовательностей, содержа­ щих короткие импульсы (их длительность существенно меньше периода повторения), удобно использовать упрощенное описание спектра. При анализе дискретных цепей под воздействием импульсных последователь­ ностей реальные короткие импульсы заменяют 5 -импульсами с изменяе­ мой площадью в соответствии со значениями модулирующего сигнала. Действительно, спектральную плотность Sç(co) импульса Ç(t) малой дли­ тельности т « Т вне зависимости от его формы можно считать неизмен­ ной и равной площади А(кТ). Это можно получить непосредственно из преобразования Фурье, если принять eJCÜt -1 при t < т. Полученная последо­ вательность модулированных по площади 8 -импульсов (рис.2.5,а) называ­ ется р е ш е т ч а т о й ф у н к ц и е й . Ее можно представить в аналитиче­ ской форме:

u ( k T ) = x ( t ) £ b ( t - k T ) .

Рис.2,5. Решетчатая функция взятия выборок (а) и ее спектр (б)

Спектр решетчатой функции (рис.2.5,б) состоит из совокупности спектров модулирующего сигнала Sx(jcо), сдвинутых на интервал, равный частоте дискретизации

s.(j«>)= T s AÂ<*-kv>T)l

А=-оо

Д и с к р е т и з а ц и е й , или взятием выборок, называется преобра­ зование аналогового сигнала в последовательность импульсов с ампли­ тудной модуляцией. Одной из проблем взятия выборок аналогового сиг­ нала является определение периода дискретизации, при котором возмож­ но неискаженное восстановление сообщения по его дискретным отсчетам. Если аналоговый сигнал обладает ограниченным спектром в полосе час­ тот (0 со*,), то при выборе частоты дискретизации (£>т>2сот или соответ­ ственно периода повторения импульсов Т«х)пг/п не происходит наложения частичных спектров и спектр модулирующего аналогового сигнал можно восстановить без искажений с помощью идеального фильтра низкой часто­ ты (ФНЧ) с полосой пропускания со„/2> со> со^.

Частотная характеристика реального ФНЧ имеет конечный наклон, и, кроме того, частотный спектр входного сигнала конечной длительности

Для удобства вычислений вводят обозначение (множитель е~р1 описывает задержку импульсов на время одного тактового интервала Т и входит во все выражения). Полученную функцию

U‘(z) =^ \ k T ) z k

называютz-nр е о б р а з о в а н и е м решетчатой функции.

Физическим носителем данных (числовой последовательности) на входах и выходах цифровых преобразователей служит совокупность им­ пульсов напряжения, уровни которых эквивалентны единичному и нуле­ вому уровням двоичного кода (рис.2.6,6). Такие последовательности им­ пульсов единичного и нулевого уровней напряжения характеризуют рабо ту логических элементов и используются для анализа протекающих в ни процессов. Для описания совместной работы аналоговых и дискретных систем представление сигналов в виде двоичной последовательности им пульсов напряжения весьма сложно и нерационально.

2.2. Методы анализа резистивных цепей

Анализ электронных цепей содержит ряд аспектов (расчет режима по постоянному току, построение статических и динамических характери­ стик, определение чувствительности к изменению параметров), большая часть которых выполняется с помощью численных методов, реализован­ ных в типовых программных средствах.

Важным этапом анализа электронных цепей служат оценочные рас четы для выбора априорных моделей и пределов изменения характери­ зующих величин. При этом на основании представления сигналов приме няют упрощенные методы для различных уровней сигналов, частотных диапазонов и интервалов времени (постоянные и переменные составляю­ щие, переходные и установившиеся режимы). Математическое описание процессов в электронных цепях базируется на уравнениях Кирхгофа и дифференциальных соотношениях токов и напряжений элементов.

Наиболее простые выражения получаются при неизменных во вре­ мени токах (напряжениях) с резистивными моделями элементов. Следует иметь в виду, что модель элемента в виде резистора справедлива только при постоянных значениях токов и изменение режима требует учета емко­ стных и индуктивных элементов.

В обшем случае эквивалентная схема резистивной цепи содержит сопротивления, независимые источники постоянного напряжения и тока, а также все типы управляемых источников. Схема описывается системой ал­ гебраических уравнений.

Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока выполняют с помощью графических методов, использующих реальные характеристи­ ки элементов. Рассмотрим пример анализа графическим способом процес­ сов в параметрическом стабилизаторе напряжения (рис.2.7,о).

Рис.2.7. Схема стабилизатора («), преобразованная схема (б), характеристика стабили­ трона (в) и линеаризованная модель стабилитрона (г)

Стабильность уровня выходного напряжения при вариации входного напряжения основана на небольших изменениях напряжения на стабили­ троне Д при значительном изменении его тока. Различие входного и вы­ ходного напряжений компенсируется падением на балластном сопротив­ лении R\. Основным подлежащим вычислению параметром стабилизатора является коэффициент стабилизации, численно равный отношению изме­ нения входного напряжения Д[/,/£/, к выходному à U 2/U 2.

Уравнения схемы имеют вид:

Л = /e+ /2; U2=R2I2.

Исключение токов Л, /2 приводит к соотношению £/э - R J а - Uа(1а), где

С/э=С/Л/(Л, + /?2) и R, = R}R2/(Rl+ R2) - эквивалентные параметры ли­ нейной части (рис.2.7,б). Пересечение характеристики стабилитрона £/д(/д) с прямой, отражающей внешнюю характеристику линейной части, дает решение для тока /2 (рис.2.7,в). Изменение входного напряжения ДСД вы­ зывает пропорциональное изменение Д£/э, которое приводит к незначи­ тельной вариации àU2.

Достоинство графического способа расчета нелинейных резистив­ ных схем заключается в наглядности результатов, а его ограничения связа­ ны с громоздкостью построений при изменении номиналов элементов.

Для упрощения расчета на рабочем участке стабилизации /д > Imin не­ линейную характеристику аппроксимируют линейной зависимостью С/д = Uс + г/д, где г - дифференциальное сопротивление. Замена стабили­

трона эквивалентной линейной схемой (рис.2.7,г) позволяет записать вы­ ражения для приращений Д7д =(Д(/ - £ / с)/(Лэ +г) и вычислить требуе­

мые параметры.

Для расчета сложных цепей используют кусочно-линейную аппрок­ симацию характеристик нелинейных элементов. Основное преимущество такого представления заключается в сведении нелинейной задачи к расче­ ту множества линейных схем на участках. Для упрощения расчета актив­ ный двухполюсник (рис.2.8,а \ т. е. линейную часть с парой зажимов, мож­ но заменить эквивалентными схемами. В последовательной схеме (рис.2.8,б) напряжение источника Up численно равно разности потенциа­ лов между разомкнутыми зажимами ненагруженного двухполюсника при

0; Лвт - входное сопротивление двухполюсника без источников.

Рис. 2.8. Активный двухполюсник (а) и его эквивалентные схемы: последовательная (б,

ипараллельная(в)

Впараллельной схеме (рис.2.8,в) /к - это ток через замкнутые зажи­ мы, причем /к= £/р/ RBT и GBT= 1/ RBJ. При вычислении входного сопротив­ ления схемы применяют эквивалентные преобразования участков с после­ довательным и параллельным соединениями резисторов, взаимную замен\ «треугольника» сопротивлений «звездой».

Метод кусочно-линейной аппроксимации позволяет достаточно про сто рассчитать режим по постоянному току транзисторных усилительных каскадов. Электропитание каскада на биполярном транзисторе (БТ) п( схеме ОЭ осуществляют от одного источника постоянного напряжения, и положение рабочей точки на характеристиках транзистора обычно задает ся с помощью делителя напряжений в базовой цепи (рис.2.9,а).

Рис. 2.9. Каскад на БТ (а) и эквивалентная схема (б)

Нагрузкой каскада служит резистор RK9а цепь источника сигнала нс показана, поскольку при подключении через разделительный конденсатор он не влияет на постоянные составляющие токов.

Для кусочно-линейного представления характеристик целесообразно использовать паспортные данные транзистора: коэффициент передачи тока базы р, напряжение отпирания U , сопротивления переходов г3, г6, гк. Входную характеристику заменяют двумя отрезками прямых линий: /б = О при UQ< U и UQ= (U + r j 3) при /б > 0 (это означает замену эмиттерноп:» диода в прямом направлении источником напряжения i f с внутренним со­ противлением гэ). Выходные характеристики можно представить совокуп­ ностью прямых, параллельных оси абсцисс, что моделируется управляе­ мым источником тока /к = р /6 в коллекторной цепи.

Преобразование входного делителя Ru R2с источником V к последо­ вательной схеме с Vl2 = VR2/{Ry+ R2) и Ri2 = RlR2/{Ri + R2) с учетом ма­ лости объемных сопротивлений полупроводника по сравнению с номина­ лами внешних сопротивлений приводит к упрощенной эквивалентной схе