Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Д. В. КЛЕТЕНИК

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Под редакцией проф. Н. В. ЕФИМОВА

ИЗДАНИЕ ОДИННАДЦАТОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего

специального образования СССР

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М О С К В А 1972

517.3

К48

УДК 516.0(076.1)

От издательства

Настоящее (одиннадцатое) издание книги не отли чается от предыдущего (1969 г ).

Давид Викторович Клетеник

Сборник задач но аналитической геометрии

М., 1972 г., 240 стр, с илл.

Редакторы Ф. И. Кизнер, В. В. Донненко

Техи. редактор В. Я. Кондакова

Корректоры Т. С. Плетнева, Я. Д. Дорохова

Сдано в иабор 18/XI 1971 г. Подписано к печати 28/IV 1972 г. Бумага 8-lXM*W.

тип. Л** 2. Фнз. псч. л. 7,5. Услови.	печ. л. 12.6.	Уч.-нлд. i. 14.7Д. ти,»ы<
200 000 зкз. Т-0679Э. Цепа	книга 51 коп.	Заказ Ла IД7.4.

Издательство «Наука» Главная редакция физико математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени

Ленинградская типография Kt 2 имени Евгении Соколовой Глапполнграфпром i Комитета по печати прн Совете Министров СССР,

Измайловский проспект, 29,

2-2-3

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Г л а в а 1. Простейшие задачи аналитической геометрии	на
плоскости .............................................................................	5

§ 1, Ось и отрезки оси. Координаты но прямой (5). § 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости (7). $ 3. Полярные координаты

(0). § 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками <12), § 5. Деление отрезка в данном отношении (16). $ 6. Плошадь треугольника (20). 47. Преобразование координат (21).

Г л а в а	2.	Уравнение линии	а	,	...............................25
4 8. Функция двух переменных (25). §			9. Понятие		уравнения	липни.
Задание .пиши при помощи уравнения (27). $ 10. Вывод уравнений зара
нее данных линий (29). § 11. Параметрические				уравнения линии		(33).
Г л а в а	3.	Линии первого порядка	. . . . .		а . .	. . .	35

4 12, Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэф фициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пер пендикулярности двух прямых (35). § 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках» (43). § 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой (47). 4 15. Уравнение пучка прямых (53). 4 16. Полярное уравнение прямой (56).

Г л а в а		4. Геометрические	свойства		линий	второго порядка 58
4	17.	Окружность (58). 4	18.	Эллипс	(64). 4	19.	Гипербола	(75).
4 20.	Парабола (85). § 21. Полярное			уравнение эллипса,			гиперболы	н па
раболы		(90). 4 22. Диаметры линий		второго	порядка	( 92) .

Г л а в а

Упрощение

общего

уравнения

линии

второго

по

рядка. Уравнения некоторых кривых, встречаю

щихся

в математике

ее

приложениях . . . .

4 23.

Центр

линии

второго порядка

(96).

24.

Приведение к

про

стейшему

виду

уравнения

центральной

линии

второго

порядка

(9S),

4 25. Приведение к простейшему виду параболического

уравнения

(103).

4 26. Уравнения

некоторых

кривых, встречающихся

математике

ее

приложениях

(105).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

ПРОСТРАНСТВЕ

Г л а в а

Некоторые

простейшие

задачи

аналитической

гео

метрии в пространстве

....................................................

112

§ 27. Декартовы

прямоугольные

координаты

пространстве

(112).

§ 23. Расстояние между двумя точками. Деление

отрезка в данном

от

ношении

(113).

Г л а в а

Векторная

а л г еб р а .........................................................

116

§ 29. Понятие вектора. Проекции

вектора (116). § 30. Линейные

опера

ции над векторами (118). § 31. Скалярное произведение векторов (124).

§32. Векторное

произведение

векторов (123). §

33.

Смешанное

прои)веде-

ние трех векторов (131). § 34. Двойное векторное произведение

(13?).

Г л а в а

Уравнение

поверхности

и уравнения

линии .

. 135

§ 35. Уравнение

поверхности

(133).

36.

Уравнения

линии. Задача

о пересечении

трех

поверхностей

(138). §

37.

Уравнение

цилиндрической

поверхности

образующими,

параллельными

одной

из

координатных

осей (139).

Г л а в а

Уравнение

плоскости.

Уравнения

прямой. Уравне

ния

поверхностей

второго

п орядк а

.........................

14!

§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор (141). § 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках» (145). § 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до пло скости (147). § 41. Уравнения прямой (151). § 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой (154), § 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению пло скости и уравнениям прямой (159). § 44. Сфера (165). § 45. Уравнения пло скости, прямой и сферы в векторной символике (170). § 46. Поверхности второго порядка (174).

П р и л о ж е н и е . Элементы теории	определителей.....................185
§ 1. Определители второго порядка и	система двух уравнений первой

степени с двумя неизвестными (185). § 2. Однородная система двух урав

нений первой степени	с тремя неизвестными (187).	§ 3. Определители
третьего порядка (188). § 4. Свойства определителей		(190). § 5.	Решение
и исследование системы трех уравнений первой степени е тремя			неизвест
ными (194). § 6. Определители четвертого порядка (196).
Ответы и указания	к задачам .		198

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Г Л А В А 1

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, на зывается осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок

с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к кон цу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному на

правлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом \АВ\. Если точки А и В совпадают, то, опре деляемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом слу чае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отре зок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) *) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем са мым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной систе ме координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:

х = ОМ.

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х.

Если Mt(xi) и М-2 (х2) — две	произвольные точки прямой а, то
формула	х2 — х\
MtM2 =	х2 — х\
выражает величину отрезка MtMs, формула
\MiM21 =	\Х2 — Х{\
выражает его длину.

*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным назначается направление слева направо.

1. Построить точки Л(3), 5(5), С(—1), D (~),

Е (—%■),

F { V 2),

H ( - V б).

2. Построить точки, координаты которых удовлетво

ряют уравнениям: I)

Jл'| =

2; 2)

|-v— И —3;3)

|1 — х |=

2; 4)

|2 + х|

— 2.

3. Охарактеризовать геометрически расположение то

чек,

координаты которых

удовлетворяют

неравенствам:

х > 2 ;

2) х — 3sC0;

12 — * <

0; 4)

2х — 3 ^ 0 ;

5) Зх — 5 > 0; 6) 1 < х < 3; 7) - 2 < х

3 ; 8 ) >

Ц Е т

> х'

10)

Т = Т < 0 ’

,! )

12)

X2 — 8х +

1 5 ^ 0 ;

13)

х2

— 8х +

15 >

14) х2 - f

х — 12 > 0 :

15) х2 -}- х — 12 <

\АВ\

отрезка,

Определить величину

АВ

длину

заданного точками: 1) /1(3) и 5(11);

-4(5)

и 5(2);

Л ( - 1 )

и 5(3);

А (—5)

5 ( - 3 ) ;

5) Л ( - 1) и

5 ( —3);

6) Л ( - 7 ) н 5 ( - 5 ) .

5. Вычислить координату точки Л, если известны:

5(3)

и АВ — 5;

5(2) и

Л5 =

- 3 ; 3)

5 ( —1) и

ВЛ — 2;

4) 5 ( —5) и ВЛ =

—3;

5) 5(0)

|Л В |= 2;

5(2)

|ЛВ|

= 3 ;

В ( - 1 )

|ЛВ| = 5 ;

8) В ( - 5 )

и|ЛВ| = 2.

6.Охарактеризовать геометрически расположение то

чек, координаты которых удовлетворяют следующим не равенствам:

| х |<

1; 2) ) х |> 2; 3 ) |х |< 2 ; 4 ) jx |> 3 ;

5 ) |х - 2 |< 3 :

6 > |х - 5 |< 1 ;

7)! х — 1 |> 2 ;

8) | х -

3 |> 1 ;

9) 1х -f 1 1< 3;

10)

|х + 2 |>

11) |х Н - 5 |< 1 ; 12) |х + 1 |> 2 .

лс

котором точ

Определить отношение h — -£rg,

ка

С делит отрезок АВ при следующих данных:

1) Л (2),

5(6)

и С(4); 2)

Л (2).

5(4)

и С(7); 3) Л (— 1),

5(5)

С(3);

Л (I),

5(13)

С(5);

Л(5), В ( - 2 )

С (—5).

точки

Л (—7), В (—1)

С(1). Опреде

8. Даны три

лить отношение л, в котором каждая из них делит от резок, ограниченный двумя другими.

9. Определить отношение в котором дан

ная точка М(х) делит отрезок МИ'Ь, ограниченный дан ными точками Afj(.Vi) и Мг{х^).

10. Определить координату х точки Л1, делящей от резок Af.Afo, ограниченны» данными точками AJi(.Vi) и А12(х2) в данном отношении Л (Л = ).

11. Определить координату х середины отрезка, огра ниченного двумя данными точками AJj(Xi) и Л1г(х2).

12. Определить координату а* середины отрезка, огра ниченного двумя данными точками, в каждом из сле

дующих случаев: I) /1(3) и					В ( 5);	2) С (—1)	и D(5);
3) Alj(—1) и ЛЬ(—3); 4) Pi(—5)						и Р,( 1); 5)	Q,(3) и
<?2(-4).
13. Определить координату точки А/, если известньц
1)	Af,(3),	А/2 (7)
2)	Л (2),	В ( - 5 )	и	А =	^ =	3;
3)	С (-1 ), £>(3)			1	СМ	1 .
3)	С (-1 ), £>(3)		И	Л	MD	2 ’
			И	Л	MD	2 ’
4)	Л (—1), В (3)		и	.	AM	0
4)	Л (—1), В (3)		и	*•— мв		2,
5)	.4(1),	В (--3)	,	т	ВМ	О
5)	.4(1),	В (--3)	И	Ь ~ М А -		*
6)	Л (-2 ), В ( - 1) И Л				ВМ	1
6)	Л (-2 ), В ( - 1) И Л				МА	2 •

14. Даны две точки Л (5) и В ( —3). Определить:

1)координату точки М, симметричной точке Л отно сительно точки В\

2)координату точки N, симметричной точке В относительно точки Л.

ljj. Отрезок, ограниченный точками А (—2) и В(19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

16.Определить координаты концов Л и В отрезка, который точками Р (—25) и (?(—9) разделен на три равные части.

§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартова прямоугольная система координат определяется за данием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

Рис. 1.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами осн — координатными осями. Первая из координатных осей назы вается осью абсцисс, а вторая — осью ординат.

Начало координат обозначается буквой О. ось абсцисс — симиолом Ох, ось ординат — символом Оу.

Координатами произвольной точки М в заданной системе назы

вают числа

х — ОМх, у = OAlj

(рис. 1), где Afx и Му суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМх обозначает величину отрезка ОМх осн абсцисс, ОМу — величину

•отрезка ОМу оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой этой же точки. Символ М(х;у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ор динатой число у.

Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та нз них, которая расположена в положительном направ лении осн Ох, называется правой, дру гая — левой. Точно так же ось Ох раз деляет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в поло жительном направлении оси Оу, назы вается верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе раз деляют плоскость на четыре четверти, которые нумеруют по следующему правилу; первой координатной

четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в

верхней полуплоскости, второй — лежащая							в левой и в			верхней по
луплоскости,		третьей — лежащая в			левой		и	в нижней		полуплоско
сти,	четвертой — лежащая в правой				и в	нижней полуплоскости.
	17. Построить		точки	А (2; 3),		В (—5;			I), С 1—2; —3),
D (0; 3), Е (—5; 0).				т ) '
чек	18. Найти координаты проекций па ось абсцисс то
	А (2;	- 3 ) ,	В{ 3;	- 1 ) ,	С (-5 ;			1),	D { - 3; - 2),

Е( - 5; - 1 ) .

19.Найти координаты проекций на ось ординат то

чек Л (—3; 2), В { - 5; 1), С(3; - 2 ) , D ( - l ;								1), Е { - 6; - 2).
	20. Найти координаты точек, симметричных относи
тельно		оси	Ох	точкам;	1)	<4(2;	3);	2)В{—3;		2);
3)	С(—1; - 1 ) ; 4)			D (-3 ; - 5 ) ;		5) Е ( - 4; б);			6) F(a; Ь).
	21. Найти координаты точек, симметричных относи
тельно		оси	Оу точкам: 1)		А { — \;		2).	2)	5(3;	— 1);
3)	С(—2; - 2 ) ; 4) D ( - 2 ; 5);					5) Е(3; - 5 ) ;			6) F(a; Ь).
	22. Найти координаты				точек,		симметричных			отно
сительно начала				координат		точкам:		1)	<4(3;	3);
2)	5(2; - 4 ) ; 3) С ( - 2; 1); 4)					D (5;	- 3 ) ;	5)	Е ( - 5;	- 4 ) ;
6)	F(a;	Ь).

	23. Найти координаты точек, симметричных относи-
телиГо биссектрисы первого координатного		угла точкам:
1)	А (2; 3); 2) В ( 5; - 2 ) ; 3) С(—3; 4).
	24. Найти координаты точек, симметричных относи
тельно биссектрисы второго координатного угла			точкам:
1)	Л (3; 5), 2) В (—4; 3); 3) С(7; - 2).
	25. Определить, в каких четвертях может быть рас
положена точка М(х-,у), если: 1) ху >		0; 2)	ху < 0;
3)	х — у = 0; 4) х -j- у = 0; 5) х + у	> 0; 6)х + У < 0;
7)	х — у > 0; 8) х — у < 0.

§ 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча 0.4, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положитель ными (на чертежах обычно положитель ными считаются повороты против часо вой стрелки).

Полярными координатами произ вольной точки М (относительно задан

ной системы) называются	числа	р = ОМ
и 0 = <£ЛОМ (рис. 2).	Угол	0 при

этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или по

лярным радиусом, число 0 — второй координатой, или полярным углом точки М (0 называют также амплитудой) *).

Символ Л1(р;0) обозначает, что точка М имеет полярные коор динаты р и 0.

Полярный угол 0 имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ±2пя, где п — це лое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяю

щее неравенствам —л < 0 ^ +Я,	называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и поляр
ной систем координат условимся:	1) пользоваться одним и тем же

масштабом, 2) при определении полярных углов считать положи тельными повороты в том направлении, в каком следует вращать Положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совме

стить ее с положительной полуосью ординат	(таким образом,	если
оси декартовой системы находятся в обычном расположении,		г. е.
ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх,	то и отсчет полярных

*) Здесь ОМ обозначает д л и н у отрезка, понимаемую как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака). Употреб лять более громоздкий символ |0Af| в данном случае нет надоб ности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упроще ние символики в аналогичных случаях часто делается и дальше.

углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по лярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то пере ход от полярных координат произвольной точки к декартовым ко ординатам топ же точки осуществляется по формулам

X — р cos 0, // = р sin 0.

В этом же случае формулы

p= >'V + f/2, tg 0 = -^-

являютея формулами перехода от декартовых координат к по лярным.

При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

26. Построить точки, заданные полярными координа

тами: л (3 ; -у ), В (2; я), с ( з ; D (4; З у ) , Е( 5;

2) и F (l; —1) (для точек D, Е и F выполнить построе ние приближенно, пользуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симмет

ричных относительно полярной оси точкам						М, ^3; —j,
М2(2; - 1 ) , М3(3;		~ f j ,	Afs(l; 2)		и Л/3(5; -	1), задан
ным в полярной системе координат.							сим
28. Определить		полярные		координаты точек,
метричных	относительно		полюса		точкам		j,
М, ( 5 ; f ) ,	М3(2; -	f ) ,	M4(4;	f л)	и М5(3; - 2 ) ,		за

данным в полярной системе координат.

29. В полярной системе координат даны две верши

ны А |3;-—-^-л) и 5; л] параллелограмма ABCD,

точка пересечения диагоналей которого совпадает с по люсом. Определить две другие вершины этого паралле

лограмма.		полярной	системе	координат		даны	точки
30.	В
А ^8; — -\|-		и В (б; у ) . Вычислить			полярные коорди
наты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31.	В	полярной	системе	координат		даны	точки
Л (3;	£ ) ,	В (2; - ,	С (1; л),	D (б; -	\|	я ) , Е(3;	2) и

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.12 Mб0Сбор и промысловая подготовка нефти, газа и воды..pdf
#
12.11.20231.62 Mб8Сбор и промысловая подготовка скважинной продукции..pdf
#
12.11.202318.91 Mб44Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб30Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб1Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб8Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб23Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб1Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб3Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб32Сборник задач по курсу математического анализа..pdf