книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1
.pdfГ Л А В А 9
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени
определяет |
плоскость. |
|
|
|
|
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к |
данной |
||||
плоскости, называется ее нормальным зектором. Уравнение |
|
||||
|
А (х — х а) -{- В ( у — у 0) + |
С (г — г0) = |
0 |
(I) |
|
определяет |
плоскость, |
проходящую |
через точку |
М 0 (дс0; |
(/с‘> г о ) |
и имеющую нормальный вектор п — {А; В; С}. |
|
|
|||
Раскрывая в уравнении (1) скобки |
и обозначая |
число — |
Ахо — |
||
— B y о — Сд0 буквой D , |
представим его в знде: |
|
|
||
|
Ах + By + Cz + |
D = 0. |
|
|
|
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913. Составить уравнение плоскости, которая про ходит через точку Л/,(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор п = {1; —2; 3}.
914.Составить уравнение плоскости, которая про ходит через начало координат и имеет нормальный век тор л = {5; 0; —3}.
915.Точка Р (2; —1; —1) служит основанием пер пендикуляра, опущенного из начала координат на пло скость. Составить уравнение этой плоскости.
916.Даны две точки Мх{3; —1; 2) и М2 (4; —2; — 1).
Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку |
перпендикулярно вектору MiM2. |
141
917. Составить уравнение плоскости, проходящей че
рез |
точку |
М, (3; |
4; —5) |
параллельно |
двум |
векторам |
|
с, = |
{3; 1; -1 } и |
а2 = |
{1; - 2 ; I}. |
|
|
||
|
918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей |
||||||
через точку |
М0(х0; у0; z0) |
параллельно |
двум |
векторам |
|||
а , = |
{V, т ,; |
«,} и а2 = |
{/2; пг2, п2}, может быть |
предста |
|||
влено в следующем виде: |
|
|
|
||||
|
|
х — х0 у — у0 г — г0 |
|
|
|||
|
|
t{ |
nii |
Щ |
|
|
|
|
|
12 |
т 2 |
и2 |
|
|
|
919.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М,(2; —1; 3) и'ЛГ2(3; 1; 2) параллельно век тору а — {3; —1; 4}.
920.Доказать, что уравнение плоскости, проходя щей через точки Мх(х,;. //,; Zj) и М2(х£ у2; г2) парал
лельно вектору а =={1; т; и}, |
может быть представлено |
|
в следующем виде: |
|
|
■ |
У — У\ |
г — гх |
■Х{ |
у2 — Ух |
г2— г,, = 0. |
m«
921.Составить уравнение плоскости, проходящей
через |
три точки: Мх(3; —1; 2)> М2(4? —1; —1) и |
Мз(2; |
0; 2). |
922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки: М,.(хг; г/,; г,), М2(х2, у2; z2) и М3(х3, у3\ z3), может быть представлено в следующем виде:
х — xt |
у — Ух |
Z |
— Zx |
х2 — Хх |
у2 — Ух |
Z2 |
— Zi = 0. |
Хз — Хх |
Уз — Ух |
г3 |
—z, |
923. Определить координаты какого-нибудь нормаль ного вектора каждой из следующих плоскостей. В каж дом случае написать общее выражение координат произ вольного нормального вектора:
1) |
2х — у — 2z + |
5 = |
0; |
2) х + 5у — z — 0; |
3) |
3 x - 2 y - 7 = |
Q\ |
4) |
5у — 3z = 0; 5 )х + 2 = 0; |
6) |
у - 3 = 0. |
|
|
|
142
924. Установить, какие из следующих пар уравне ний определяют параллельные плоскости;
1) |
2 х - Ъ у + Ьг — 7 = 0, |
2х — 30 + |
52 |
+ 3 = |
0; |
|
2) |
Ах + 2у — 4г + |
б = 0, |
2х + у + |
2z |
— 1 = |
0; |
3) |
х — 3z + |
2 s= 0, |
2х — 6z |
— 7 = |
0. |
|
925. Установить, какие из следующих пар уравне ний определяют перпендикулярные плоскости:
1) |
Злг — у — 2z — 5 = 0, |
х + 9у — Zz + 2 = 0; |
2) 2х + Ъу — г — Б = Q, |
х — у — z + 5 = 0; |
|
3) |
2х — Ъу + z = 0, |
х + 2z — 3 = 0. |
926. Определить, при каких значениях / и т сле дующие пары уравнений будут определять параллель ные плоскости:
1) |
2х-\-1у + Ъг — 5 |
= 0, |
тх — Ъу — 62 + 2 = 0; |
2) |
Здг — y + l z — 9 |
= 0, |
2х + ту -\-2z — 3 = 0; |
3) |
тх + Zy — 2z — 1 = 0, |
2 х —Ъу —'/z = 0. |
|
927. Определить, при каком значении ’I следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
1) |
З х - 5 у + 1 г - Ъ = 0, |
л: + Зг/ + 2z |
+ |
5 = 0; |
2) |
5лс+ у —■Зг — 3 = 0, |
2лг+ ly — 3z |
+ |
1 = 0; |
3)7х — 2у — z = 0, 1х + у — Zz — 1 = 0.
928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
1) х - у У 2 + z — l = 0 , |
х - \ - у У 2 — 2 + 3 = 0; |
|||
2) |
Zy — z = |
0, |
2у + г = |
0; |
3) |
6х + Зу — 2z = |
0, |
ас+ 2# + 6z — 12 = |
0; |
4) |
х + 2у + 2z — 3 = О, |
16л: + \2 y — \ b z — 1 = 0 . |
||
929. |
Составить уравнение плоскости, |
которая про |
ходит через начало координат параллельно |
плоскости |
|
5л: Ъу + |
2г ■— 3 *= 0. |
|
143
930. Составить уравнение плоскости, которая про ходит через точку М,(3; —2; —7) параллельно плоско сти 2х — 3z + 5 = 0.
93?. Составить уравнение плоскости, которая про ходит через начало координат перпендикулярно к двум Плоскостям: 2х — у -f 3z — 1 = 0, х -f 2у -{- z — 0.
932. Составить уравнение плоскости, которая про ходит через точку М ,(2; —1; 1) перпендикулярно к двум Плоскостям: 2х — z И- 1 = 0, у — 0.
933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (*0; г/0; г0) перпендикулярно к плоскостям А[Х + В\у + C[Z -)- Di — 0, А2х -f- В2у -j- С2х + В) 2 == 0, мо жет быть представлено в следующем виде:
~ *0
А\
^2
1 о
В,
В2
Z — 2,
с ,
С,
934. Составить уравнение плоскости, которая про ходит через две точки Л4, (I; —1; —2) и М2(3; I; 1) Перпендикулярно к плоскости х — 2г/ + 3г — 5 = 0.
985. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки ЛМ*ь Уй z \) и М2(х2, у2, г2) перпенди кулярно к плоскости Ах + By + Cz + D = 0, может быть представлено в следующем виде:
|
X — .V, |
У - У 1 |
2 — 2| |
|
0. |
|
|
ЛГ2 — Х[ |
У-2 ~У\ |
22- 2 , |
= |
|
|
|
А |
В |
С |
|
|
|
936. Установить, что три плоскости х — 2у + г —7 = 0 , |
||||||
2х - \ - у — 2 + |
2 = 0, |
х — Зу + |
2г — 1 1 = 0 |
имеют |
одну |
|
общую точку, и вычислить ее координаты. |
1 = 0, |
|||||
937. Доказать, что три плоскости 7х + 4г/ + 7х + |
||||||
2х — у — z + |
2 = 0, х + 2у + 3z — 1 = |
0 проходят |
через |
|||
Одну прямую.
938. Доказать, что три плоскости 2х — у + Зг —5 = 0 ,
3* + у + |
2z — 1 = 0, |
4х + |
Зу + z + |
2 = 0 пересекаются |
По трем различным параллельным |
прямым. |
|||
939. |
Определить, |
при |
каких значениях а и Ъ пло |
|
скости 2х — у A - Z z ~ 1 = 0 , х + |
2г/ — 2 + 6 = 0, х + ау — |
— 6 2 + 1 0 = 0: 1) имеют одну |
общую точку; 2) прохо |
дят через одну прямую; 3) пересекаются по трем раз личным параллельным прямым.
144
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
Каждое уравнение первой степени
Ах + By + С г + D <= О
(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость про ходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С ра вен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая однонменна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость прохо дит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с те кущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует сво бодный член, то плоскость совпадает с этой координатной пло скостью.
Если в уравнении плоскости
Ах + By + Cz + D = 0
нн один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это урав нение может быть преобразовано к виду
|
*. + £ + ± = 1 |
|
О) |
|||
где |
|
Ь + |
с |
|
||
_D |
|
D_ |
|
_0 |
||
а |
Ь |
с |
||||
А |
В ’ |
С |
||||
суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координат ных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) на зывается уравнением плоскости «в отрезках».
940. Составить уравнение плоскости, которая про
ходит: |
|
|
|
|
|
|
сти |
1) |
через |
точку |
Мх{2; —3; 3) |
параллельно |
плоско |
Оху\ |
|
|
|
|
||
сти |
2) |
через |
точку |
М2(1; —2; 4) |
параллельно |
плоско |
Oxz; |
|
|
|
|
||
сти |
3) |
через точку М3(—5; 2; —1) параллельно плоско |
||||
Oyz. |
|
|
|
|
||
|
941. Составить уравнение плоскости, которая про |
|||||
ходит: |
|
осьОх |
и точку М,(4; —1; 2); |
|
||
|
1) через |
|
||||
|
2) |
через |
осьОу |
и точку Л12(1; 4; —3); |
|
|
|
3) |
через |
осьOz |
и точку М3(3; —4; 7). |
|
|
ИЗ
|
942. Составить уравнение плоскости, которая про |
||
ходит: |
точки М,(7; 2; —3) и Af2(5; 6; |
—4) парал |
|
|
1) через |
||
лельно оси Ох; |
параллельно |
||
оси |
2) через |
точки Р ,(2; —1; 1) и Р2(3; 1; 2) |
|
Оу; |
точки Q£(3; —2; 5) и Q2(2; 3; 1) параллельно |
||
оси |
3) через |
||
Oz. |
|
|
|
943. Найти точки пересечения плоскости 2х — 3у —
—4z — 24 = 0 с осями координат.
944.Дано уравнение плоскости х ■+- 2у — Зг — 6 = 0.
Написать для нее уравнение «в отрезках».
945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью Зх —
—4у — 24z + 12 = 0 на координатных осях.
946.Вычислить площадь треугольника, который от секает плоскость 5х — 6// -j- 3z -f- 120 = 0 от координат
ного угла Оху.
947. Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло
скостью 2х — Зу + |
6г — 12 = |
0 и координатными плоско |
|
стями. |
проходит |
через точку |
(6; —10; 1) |
948. Плоскость |
|||
и отсекает на оси абсцисс |
отрезок а = —3 и на оси |
||
апликат отрезок |
с — 2. Составить для этой |
плоскости |
|
уравнение «в отрезках». |
|
|
|
949. Плоскость проходит через точки M j(l; 2; —1) и |
|||
М2 {—3; 2 ; 1) и отсекает на |
оси ординат отрезок Ь= Ъ. |
||
Составить для этой плоскости уравнение «в отрез ках».
950.Составить уравнение плоскости, которая про ходит через точку М£(2; —3; —4) и отсекает на коор динатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из на чала координат).
951.Составить уравнение плоскости, которая про
ходит через точки М£(—1; 4; —1), М2{— 13; 2; —10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
952. Составить уравнения плоскостей, которые про ходят через точку Mt (4; 3; 2) и отсекают на коор динатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой
длины. |
Составить |
уравнение плоскости, отсекающей |
953. |
||
на оси |
Oz отрезок |
с = —5 и перпендикулярной к век |
тору п — {—2; 1; 3}.
146
954. Составить |
уравнение плоскости, |
параллельной |
|||
вектору |
f = {2; 1; —1} и отсекающей на |
координатных |
|||
осях |
Ох н Оу отрезки а = 3, Ь = —2. |
|
|
||
955. Составить уравнение плоскости, перпендикуляр |
|||||
ной |
к |
плоскости |
2х — 2у + 42 — 5 = 0 |
и |
отсекающей |
иа координатных осях Ох и Оу отрезки а = |
2 |
||||
—2, b = -g-. |
|||||
§ 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
|
xcos а + £/cosfl + г cos у — Р = 0, |
(1) |
||
где cos а, cos Р, cos у суть |
направляющие косинусы нормали пло |
|||
скости, р — |
расстояние до |
плоскости |
от начала |
координат. При |
вычислении |
направляющих |
косинусов |
нормали |
следует считать, |
что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положи тельного направления нормали безразличен).
Пусть ЛГ — какая |
угодно |
точка |
пространства, d — |
расстояние |
от нее до дайной плоскости. |
Отклонением б точки Л/* |
от данной |
||
плоскости называется |
число |
- f d, |
если точка М* н начало коор |
|
динат лежат по |
разные стороны от данной плоскости, и число — d , |
|
если |
они лежат |
по одну сторону от данной плоскости (если М * |
лежит |
на самой |
плоскости, то отклонение равно нулю). |
Если точка М ’ имеет координаты х*, у *, z*, а плоскость задана нормальным уравнением
х cos а + у cos р + z cos у — р = 0,
то отклонение точки. М* от этой плоскости дается формулой
б ■= ж* cos а + у * cos р + г* cos у — р.
Очевидно, d = 16 1.
Общее уравнение плоскости
А х + B y + С г + D = 0
приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой
± V A2 +
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку
свободного члена нормируемого уравнения.
147
956. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:
1) I * —§ * /-4 2 -5 = 0 ; 2) |
4 г - 3 = 0; |
||||||
3 ) 4 * - 4 H 4 * + 5 - 0 ; 4) - f c + y i f - T * - 5 = 0: |
|||||||
5) х — ~ г — 3 = 0; |
6) - ± у + ~ г + 1 = 0 ; |
||||||
|
|
|
2 - 1 = 0 ; 8> Т * - Т ^ + 3 = 0; |
||||
9) |
|
ж |
- 1 = 0 ; |
10) у + 2 = 0; |
|
|
|
11) |
|
— |
0 — 2 = 0; |
12) 2 - 5 = 0. |
|
|
|
957. |
к |
Привести каждое из следующих |
уравнений пло |
||||
скостей |
нормальному виду: |
|
|
|
|||
1) 2х - 2у + 2 -1 8 = 0; |
2) у * - у у + у г + 3 = 0; |
||||||
3) |
4* - б 0- 12г - 1 1 = 0 ; 4) |
- 4х - 4у + |
2г + 1 = 0; |
||||
5) |
5н — 12г + 26 = 0; |
6) Зх — 4у — 1 = |
0; |
||||
7)[/ + |
2 = 0; |
8) |
- * + 5 = |
0; |
|
||
9) — 2 + 3 = 0; |
1 0 )2 z — l = 0 . |
|
|
||||
958. |
|
Для каждой из следующих |
плоскостей вычис |
||||
лить углы a, R и у, образуемые, нормалью с осями |
|||||||
координат, и расстояние р от начала координат: |
|||||||
1) х + у / 2 + 2 - 1 0 = 0; 2) х —у —г / 2 + 16 = 0» |
|||||||
3) * + 2 - 6 = 0; |
|
4) / / - z + 2 = 0; |
|||||
5) |
|
A '] / 3 + / / + 10 = 0; |
6 )2 — 2 = 0; |
7) 2л:+ . 1 = 0 ; |
|||
8 ) 2 / / + 1 = 0 ; |
9) * — 20 + 2г — 6 = О; |
||||||
10) |
|
2* + 3 0 - б г + 4 = |
0. |
|
|
|
|
959.Вычислить величину отклонения б и расстояние
d точки от плоскости в каждом из следующих, случаев;
1) |
М , ( - 2 ; - 4 ; 3), |
2 х - |
у |
+ 2г + |
3 |
0; |
|
2) |
Л?2(2; - 1 |
; -1 ), |
16* - 120 |
+ |
15г — 4 = |
0; |
|
3) |
М3(1; 2; - 3 ), |
5х - |
2>у+ 2 + |
4 = |
0; |
||
4) М4 (3; - 6 |
; 7), |
4* — Зг — 1 = |
0; |
||||
5) М5(9; 2; |
- 2 ), |
1 |
2 0 -5 2 + |
5 = |
0. |
||
N8
960. Вычислить |
расстояние d от точки Р ( — 1; 1; —2) |
|||||
до плоскости, проходящей через три точки /И,(1; —1; |
1), |
|||||
М2( - 2; 1; 3) и М3(4; - 5 ; - 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
961. Определить, лежат ли точка Q(2; —1; 1) и на |
||||||
чало координат по одну или |
по |
разные стороны |
отно |
|||
сительно каждой из следующих плоскостей: |
|
|
|
|||
1) 5 x - 3 y + z ~ 18 = 0; |
2) |
2х + 7у + Зг + 1 = 0; |
||||
3) х + 5 у + 1 2 2 - 1 = 0 ; |
4) |
2х - у + 2 + 11 = 0 : |
||||
5) 2х + Зу — 62 + 2 = 0; |
6) |
Зх - 2у + |
2г - |
7 = |
0. |
|
962. Доказать, |
что плоскость |
Зх — 4у — 2г + |
5 = |
0 |
||
пересекает отрезок, ограниченный точками |
(3; —2; |
1) |
||||
иМ2(—2; 5; 2).
963.Доказать, что плоскость 5х — 2у -f 2 — 1 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками Mj (1; 4; —3)
иМ2(2; 5; 0).
964.В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
1) х — 2у — 2г — 12 = |
0, |
|
2) 2х — Зу + 62 — 14 = |
0, |
||||
л: — 2у — 2г — 6 = |
0; |
|
|
4 х - 6 |
122+21 = |
0; |
||
3) 2лг— у + 2г -f 9 = |
0, |
|
4) 16х+12г/-15г+50=0, |
|||||
Ах — 2у -f 4z — 21 = |
0; |
16лг+12у — 15г+ 25= 0; |
||||||
б) 30х-32г/+24г - 7 5 |
= |
0, |
6) 6л: — 1 8 ^ -9 2 -2 8 = |
0, |
||||
ISJC— 16J/-|- 12z — 25 = |
0; |
4х — 12у — 62 — 7 = |
0. |
|||||
965. Две грани куба лежат на плоскостях 2л — 2# + |
||||||||
+ г — 1 = 0, 2л: — 2у + |
z + |
5 = |
0. Вычислить объем этого |
|||||
куба. |
|
|
|
|
отстоящую |
от пло |
||
966. На оси Оу найти точку, |
||||||||
скости л + 2г/ —22 — 2 = |
0 на |
расстоянии |
d = |
4. |
от |
|||
967. На оси Ог найти точку, |
равноудаленную |
|||||||
точки М (1; —2; 0) и от плоскости Зл: — 2у + 62 — 9 = |
0- |
|||||||
968. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух |
||||||||
плоскостей: \ 2х — 16у + |
15г + |
1 = |
0, 2х + |
2у —г — 1 = 0 - |
||||
969. Вывести уравнение геометрического места точек, |
||||||||
отклонение которых от плоскости |
4х — 4у — 2г + 3 = |
0 |
||||||
равно 2.
970. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 6х + Зу + 2z — 10 = 0 равно —3.
149
971. Составить уравнения плоскостей, параллельных
плоскости |
2х — 2у —-2 — 3 = 0 и отстоящих от иее на |
расстоянии |
d — 3. |
972. В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных
от двух параллельных |
плоскостей: |
|
|
|||
1) |
Ах —- у — 2z — 3 = 0, |
2) 3* + |
2у — г + 3 = |
О, |
||
|
4х — у — 2г — 5 = 0; |
Зх + |
— 2 — 1 = |
0; |
||
3) |
5* — Зу + |
2 + |
3 = |
0, |
|
|
|
10х-6*/ + |
22 + |
7 = 0. |
|
|
|
973. В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугран ные углы, образованные двумя пересекающимися пло скостями:
1) х — Зу + 2г — 5 = 0, |
2) 5х — Ъу — 2г — 3 = 0, |
Зх — 2у — г + 3 = 0; |
х + 7у — 2г + 1 = 0j |
3) 2х — г/ + 5г + 3 = 0, 2х — 10^ + 42 — 2 = 0.
974. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М. (2; —1; 3) и начало координат в одном, в смеж& х или вертикальных двугранных углах, обра зованных прн пересечении двух плоскостей:
1) |
2х — у + 32 — 5 = |
0, |
2) 2лг + Зу — 5г — 15 = |
0, |
|||
|
Зх + |
2у — г + 3 = 0; |
Зх — у — 3z — 7 = |
0; |
|||
3) |
х + |
Зу — 2 |
+ |
1 = |
0, |
|
|
|
2 х + 17:/+ 2 |
+ |
2 = |
0. |
|
|
|
975. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2; — 1; 1) и N (I; 2; —3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, обра зованных при пересечении двух плоскостей:
1) Зх — у + 2г — 3 = 0, |
2) 2 х — {/ + 52 — 1 = 0 , |
х — 2у — 2 + 4 = 0; |
Зх — 2у + 62 — 1 = 0. |
976. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя пло скостями: х — 2у + Зг — 5 = 0, 2х — у — 2 + 3 = 0.
977. Определить, лежит ли точка М (3; 2; —1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоско стями: 5х — у + 2 + 3 *= 0, 4х — Зу + 2г + 5 = 0.
150