книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Я. Г. ПАНОВКО

МЕХАНИКА

ДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ,

ОШИБКИ И ПАРАДОКСЫ

ш

----/

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

19 8 5

ОГЛАВЛЕНИЕ

§9. Предельный переход в одной схеме поперечного из­

Значения глаголов «знать» и «понимать» явно не совпадают, хотя отчетливо сформулировать существую­ щее между ними смысловое различие совсем не просто. Только понимание делает знание активным и творческим,

и в самом деле, понимание в некотором смысле выше знания. Именно этим объясняется возникновение и раз­

призваны не столько сообщить читателю новые сведения, сколько помочь ему глубже понять существо ранее из­ вестных фактов. Это несколько специфическая, самостоя­ тельная и, бесспорно, важная цель, на которую автор старался ориентировать и настоящую книгу.

Она написана как «книга для чтения», рассчитанная прежде всего на молодого, но достаточно подготовленного читателя, и представляет собой сборник очерков, посвя­ щенных избранным вопросам статики и динамики твер­ дого деформируемого тела (в основном упругого). Почти каждый из параграфов и, во всяком случае, каждая из глав посвящены отдельной, достаточно изолированной теме, более или менее далеко выходящей за рамки обыч­ ных курсов,— разбору относительно новых или нетради­ ционных вопросов механики, любопытных полузабытых задач, парадоксов и поучительных ошибок; нередко в центре изложения находятся не столько факты меха­ ники, сколько способы относящихся к ним рассужде­ ний — правильных или неправильных. Благодаря незави­ симости глав, а в большинстве случаев и параграфов, читатель может знакомиться с ними в любой последова­ тельности, свободно нарушая порядок, в котором они расположены в книге. В одних случаях читатель пригла­ шается рассматривать подробности обсуждаемого вопроса как бы ч е р е з лупу, с тем чтобы заметить и оценить неочевидные, но принципиальные тонкости; в других случаях ему предлагается взглянуть на тему «с высоты

Ч а с т ь 1

СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Г л а в а 1

НИТИ, СТЕРЖНИ И ПЛАСТИНЫ § 1. Равновесие шлангов с протекающей жидкостью

Если гибкую иерастяжимую нить отнести к категории моделей твердого деформируемого тела (в этом нет ни­ чего абсурдного), то это исторически первая модель упомянутой категории. Начиная с давних времен и й течение долгих веков она была единственной моделью, которую удавалось удовлетворительно исследовать обос­ нованными теоретическими методами. Для решения за­ дач о равновесии нити, находящейся под действием пло­ ской системы сосредоточенных сил, были разработаны наглядные, хотя и выглядящие теперь несколько архаич­ но, графические приемы, в частности остроумное по­ строение веревочного многоугольника.

После того как Гук сформулировал линейный закон деформирования и началось изучение упругих (а впо­ следствии и не вполне упругих) моделей твердых дефор­ мируемых тел, нить утратила былую монополию; однако развитие механики нити не остановилось. Еще в XVIII ве­ ке была изучена форма равновесия тяжелой нити большо­ го провисания; в связи именно с этой задачей возникло понятие о повой для того времени трансцендентной кри­ вой, которая вошла в математику под названием цепной линии. Впоследствии рассматривалось влияние растяжи­ мости нити; немало внимания было уделено изученшр равновесия нити, обладающей конечной нзгибной жест­ костью,— г и б р и д н о й модели, в которой сочетаются свойства нити и балки. В последнее время видное место заняли исследования динамики нитей. .Можно сказать, что развитие механики нити практически не прерывалось и активно продолжается поныне. Отметим, что именно в не­ давние годы вышли в свет книги, специально посвящен­

В наши дни особый интерес вызывают задачи механи­ ки нити, подверженной действию подвижной нагрузки. К ним приводится, в частности, проблема равновесия и колебаний весьма г и б к и х шл а н г о в , внутри которых протекает жидкость. Эта проблема тесно связана с прак­ тикой, поскольку шланги, служащие для перекачки жид­ ких грузов, нашли широкое применение во мпогих обла­ стях современной техники и порой представляют собой весьма ответственные конструкции — упомянем, например, о шлангах для перекачки жидкого топлива при заправке судов в море и самолетов в воздухе.

Настоящий параграф посвящен вопросу о том, как влияет скорость частиц протекающей жидкости на форму равновесия шланга с закрепленными концами и па растя­ гивающие усилия в его сечениях. Мы пренебрежем вто­ ростепенными влияниями и будем считать шланг абсо­ лютно нерастяжимым и лишенным пзгибной жесткости, а говоря о протекании жидкости вдоль шланга, будем считать площадь жидкого сечения постоянной, жидкость — идеальной и несжимаемой, течение — установившимся. Всюду ниже учитывается действие сил тяжести и счи­ тается, что осевая линия шланга располагается в вер­ тикальной плоскости.

Прежде чем рассматривать шланг с протекающей жидкостью, сопоставим две более простые системы. Одна из них — шланг с закрепленными концами, заполненный неподвижной жидкостью (конечно, для того чтобы при различных уровнях расположения концов жидкость не выливалась из шланга, отверстие, расположенное у его нижнего конца, должно быть закрыто); интенсивности собственного веса шланга и жидкости, в расчете на еди­ ницу длины осевой линии, обозначим через qt и q2. Вто­ рая система — это нить, закреплеппая так же, как шлапг, причем собственный вес нити q равен сумме весов шлан­ га и жидкости: q = qt + g2. Обеим системам соответствует общая схема, показанная на рис. 1.1, а. Системы очень похожи одна на другую, но как далеко простирается это сходство? Будут ли совпадать формы осевых линий? Бу­ дут ли одинаковыми натяжения? Для выяснения этих вопросов рассмотрим рис. 1.1, б и в.

На рис. 1.1,6 показан элемент шланга длиной els вместе с находящейся в нем жидкостью, а также дей­ ствующие па элемент силы. Здесь Т — натяжение, т. е. общее растягивающее усилие в сечении самого шланга, Р — сжимающая сила в жидком сечении, равная произ­

ведению давления р на площадь жидкого сечения; отме­ тим, что сила Р переменна по длине шланга из-за неоди­ наковости уровней, на которых располагаются его сече­ ния, и определяется через вертикальные координаты у центров сечений:

(Р0— суммарное давление в верхнем жидком сечении,

Рис. 1.1. Равновесие шланга и нити: а) форма осевой линии; б) си­ лы, действующие на элемент шланга (с жидкостью); в) силы, дей­ ствующие на элемент нити

натяжение нити. Без записи уравнений равновесия, из непосредственного сопоставления этих двух схем, ясно, что после замены Т — Р.— Т* задачи становятся неразли­ чимыми. Следовательно, достаточно решить задачу о рав­ новесии нити (эта задача хорошо изучена как при ма­ лых, так и при больших провисаниях), т. е. найти ее

а натяжения в сечениях шланга определяются через на­

тяжения в сечениях нити с помощью простой формулы

Как видно, натяжение в шланге больше соответству­ ющего натяжения в нити па величину суммарного дав­ ления в жидком сечении; поэтому изменение натяжения по длине шланга может существенно отличаться от из­ менения натяжения по длине соответствующей нити.

Для примера остановимся на случае однородного шланга, когда его опоры расположены на одинаковых уровнях, а длина шланга L вдвое превосходит горизон­ тальное расстояние между опорами. I. Положим также, что qi = 0,1g, q2= 0,9q.

Решение задачи для однородной нити известно. Нить

причем параметр а определяется из трансцендентного уравнения

Г* = qa clï(z/a),

т. е. в нашем случае

T * = 0,2296gZ ch (4,356x/Z).

0,7172gZ, так что полное натяжение согласно выражению (1.2^ равно 0,9468gZ, а в концевых сечениях, где поправ­