книги / Гидравлика.-1

КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Основной задачей этого раздела гидравлики является определение зависимостей скорости и и давления р в каждой точке потока жидкости, которые являются соответствующими функциями времени t и координат х ,у, z:

и = f u( x , y , z , t ) и Р = fr ( x ,y ,z ,t)

Изучение этих зависимостей начнём с рассмотрения идеальной жидкости, под которой будем понимать воображаемую жидкость, не имеющую вязкости и, следовательно, не имеющую сил внутреннего трения. Давление в такой жидкости имеет свойства статического давления, т.е. направлено по внутренней нормали и передаётся одинаково во всех направлениях.

Виды движения (течения) жидкости

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение - такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. и и р зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.

Примером неустановившегося движения может являться истечение жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере истечения из него жидкости.

Установившееся движение - такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. и и р зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения

Пример установившегося движения - истечение жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере истечения жидкости.

В случае установившегося течения в процессе движения любая частица, попадая в заданное относительно твёрдых стенок, место потока, всегда имеет одинаковые параметры движения. Следовательно, каждая частица движется по определённой траектории.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. В случае неустановившегося движения величины направления и скорости движения любой частицы жидкости непрерывно изменяются, следовательно, и траектории движения частиц в этом случае также постоянно изменяются во времени.

Поэтому для рассмотрения картины движения, образующейся в каждый момент времени, применяется понятие линии тока.

Линия тока - это кривая, проведенная в движущейся жидкости в данный момент времени так, что в каждой точке векторы скорости w, совпадают с касательными к этой кривой (рис. 41 ).

Нужно различать траекторию и линию тока. Траектория характеризует путь, проходимый одной определенной частицей, а линия тока направление движения в данный момент времени каждой частицы жидкости, лежащей на ней.

При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. При неустановившемся движении они не совпадают, и каждая частица жидкости лишь один момент времени

находится на линии тока, которая сама существует лишь в это мгновение. В следующий момент возникают другие линии тока, на которых будут располагаться другие частицы. Еще через мгновение картина опять меняется.

Если выделить в движущейся жидкости элементарный замкнутый контур площадью dS и через все точки этого контура провести линии тока, то получится трубчатая поверхность, которую называют трубкой тока. Часть потока, ограниченная поверхностью трубки тока, называется элементарной струйкой жидкости (рис. 42). Таким образом, элементарная струйка жидкости заполняет трубку тока и ограничена линиями тока, проходящими через точки выделенного контура с площадью dS. Если dS устремить к 0, то элементарная струйка превратится в линию тока.

Из приведённых выше определений вытекает, что в любом месте поверхности каждой элементарной струйки (трубки тока) в любой момент времени вектора скоростей направлены по касательной (и, следовательно, нормальные составляющие отсутствуют). Это означает, что ни одна частица жидкости не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.

При установившемся движении элементарная струйка жидкости обладает рядом свойств:

-площадь поперечного сечения струйки и ее форма с течением времени не изменяются, так как не изменяются линии тока;

-отсутствует приток или отток частиц жидкости через боковую поверхность элементарной струйки, т.е. поверхность струйки как бы непроницаема;

-во всех точках поперечного сечения элементарной струйки скорости движения одинаковы вследствие малой площади поперечного сечения;

-форма и площадь поперечного сечения элементарной струйки и скорости в различных поперечных сечениях струйки могут изменяться.

При неустановившемся движении форма и местоположение

элементарных струек непрерывно изменяются.

Кроме того установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется тем, что скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине потока. Простейший случай такого движения - это движение жидкости по трубе цилиндрической формы.

Неравномерное движение отличается изменением скоростей, глубин, площадей сечений потока по длине потока. Простейший случай такого движения - это движение жидкости по трубе конической формы.

Среди неравномерно движущихся потоков следует отметить плавно изменяющееся движение, характеризующееся тем, что:

-линии тока искривляются мало;

-линии тока почти параллельны, и живое сечение можно считать плоским;

-давления в живом сечении потока зависят от глубины.

Движение потоков жидкости можно также подразделить на

напорное и безнапорное.

Безнапорное движение жидкости отличается тем, что поток имеет свободную поверхность, граничащую с газовой средой. Безнапорное движение происходит под действием исключительно сил тяжести самого потока жидкости (рис. 43, а). Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения может быть течение воды в реке, канале, ручье.

а - безнапорное; б -напорное

Напорное движение жидкости - это такое движение, когда поток со всех сторон ограничен твердыми стенками (рис. 43, б), при этом в любой точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в

этом случае происходит за счёт давления, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Такое движение имеет место во всех трубопроводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Кроме напорного и безнапорного движений можно отдельно выделить существование свободных струй, которые не ограничены твёрдыми стенками. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи - истечение жидкости из сопла, форсунки и т.п.

В гидравлике рассматривается струйная модель движения жидкости, т.е. поток представляется как совокупность элементарных струек жидкости, имеющих различные скорости течения du,. Индекс «i» означает, что в каждой точке живого сечения скорости различны. Элементарные струйки как бы скользят друг по другу. Они трутся между собой и вследствие этого их скорости различаются. Причём, в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются. А поток - это масса движущейся жидкости, ограниченная твердыми стенками.

Гидравлические характеристики потока жидкости

В гидравлике различают следующие характеристики потока: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Живым сечением потока называется поверхность (поперечное сечение), нормальная ко всем линиям тока, его пересекающим, и лежащая внутри потока жидкости. Для элементарной струйки жидкости используют понятие живого сечения элементарной струйки (сечение струйки, перпендикулярное линиям тока), площадь которого обозначают через dS.

Смоченный периметр потока х - линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла в данном живом сечении. В безнапорных потоках смоченный периметр не совпадает с геометрическим периметром (см. рис. 43, а). А в напорных потоках смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром, так как поток жидкости соприкасается со всеми твёрдыми стенками (см. рис. 43, б).

Гидравлическим радиусом R потока называется часто используемая в гидравлике величина, представляющая собой отношение площади живого сечения S к смоченному периметру х

R = S/X.

При безнапорном движении (см. рис. 43, а) гидравлический радиус будет равен

(a+b) h

2

2-с+û

где a, b , c , h - размеры поперечного сечения русла, м.

Свободная поверхность жидкости при определении смоченного периметра не учитывается.

При напорном движении в трубе круглого сечения (см. рис. 43, б) гидравлический радиус будет равен

n-d2

жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока.

Различают объёмный, массовый и весовой расходы жидкости. Объёмный расход жидкости - это объём жидкости, протекающей в

единицу времени через живое сечение потока

Q = V/U

где Q - объёмный расход жидкости, м3/с;

V- объём жидкости, протекающий через живое сечение потока, м3; / - время течения жидкости, с.

Массовый расход жидкости - это масса жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока

От = m/t, где От - массовый расход жидкости, кг/с;

т - масса жидкости, протекающий через живое сечение потока, кг. Весовой расход жидкости - это вес жидкости, протекающей в

единицу времени через живое сечение потока

Ос, = G/t,

где QCl - весовой расход жидкости Н/с;

G —вес жидкости, протекающий через живое сечение потока, Н. Связь между объемным расходом и массовым следующая

Q = Qm/p.

Чаще всего используется объёмный расход потока жидкости. С учётом того, что поток складывается из элементарных струек, то и расход потока складывается из расходов элементарных струек жидкости dQ.

Расход элементарной струйки - объем жидкости dV, проходящей через живое сечение струйки в единицу времени. Таким образом

dQ = dV/dt.

струек, составляющих его, то выражение для расхода элементарной струйки необходимо проинтегрировать по площади живого сечения потока. Тогда получается выражение для объёмного расхода жидкости как суммы расходов элементарных струек

Q = \d Q = ) u d S .

Применение этой зависимости в расчетах весьма затруднительно, так как расходы элементарных струек жидкости в различных точках живого сечения потока различны. Кроме того, характер распределения скоростей по живому сечению потока обычно неизвестен. Поэтому в практике для определения расхода чаще пользуются понятием средней скорости потока.

Средняя скорость потока жидкости v - это фиктивная скорость потока одинаковая для всех точек данного живого сечения потока, но при которой расход равняется фактическому

v = Q/S.

Тогда расход потока можно представить как произведение средней скорости на площадь живого сечения потока

Q = v-S.

При неравномерном движении средняя скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

В технологическом оборудовании чаще всего рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы жидкости, т.е. жидкость сплошь заполняет пространство.

Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении, в которой выделим три произвольных сечения 7-7, 2-2 и 3-3, расположенные на некотором расстоянии одно от другого с площадями сечений dS\, dS2 и dS3соответственно (рис. 45). Очевидно, что расходы элементарной струйки в соответствующих живых сечениях будут равны

dQ } = dS -и ]9 d Q 2 = d S 2 -w2, и d Q 3 = d S 3 *w3,

причём расход dQ\ втекает в рассматриваемый участок элементарной струйки, a dQi - вытекает из него.

cfSi

Рис. 45. Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Учтём, что форма элементарной струйки не изменяется с течением времени, а поперечный приток и отток невозможны, так как скорости на

боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, тогда получаем, что расходы dQu dQi и dQi равны, т.е.

dSx• их = dS 2 • и2 = dS3 • и3.

Вследствие того, что сечения 1-1, 2-2 и 3-3 выбраны произвольно, подобные соотношения справедливы для любых сечений элементарной струйки. Следовательно, можно записать

d S i м, = const или d Q t = const.

Последнее соотношение называется уравнением неразрывности в гидравлической форме для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении. Сформулировать его можно так: расход, проходящий через все поперечные сечения элементарной струйки, постоянен по длине.

Уравнение неразрывности для потока жидкости при

установившемся движении

Поскольку расход потока состоит их суммы расходов элементарных струек, то можно просуммировать расходы всех элементарных струек в каждом живом сечении потока. В результате получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении. Обычно его записывают в одном из следующих видов

Q = const или S, • v; = const или JM, • dS = const.

.V

Таким образом, расход, проходящий через все поперечные сечения потока, постоянен по длине. Уравнение неразрывности является частным случаем закона сохранения массы.

Для несжимаемой жидкости при установившемся движении жидкости расход во всех живых сечениях потока одинаков, несмотря на то, что площади живого сечения и средние скорости в каждом сечении и могут быть разными.

Рассмотрим поток жидкости, имеющий два сечения с площадями поперечных сечений S\ и S? и средними скоростями в них v\ и \ь соответственно (рис. 46).

Тогда уравнение неразрывности для этих сечений можно записать в следующем виде