книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Полученная модель записана в кодированных значениях факторов. Для записи ее в натуральных значениях факторов zi необходимо воспользоваться соотношениями

(10.7), т.е.

и подставить xi в полученное уравнение регрессии.

10.3.4. Проверка математической модели на адекватность (критерий Фишера)

Проверка гипотезы об адекватности математической модели – это поиск ответа на вопрос, соответствует ли полученная модель изучаемому явлению [2, 25].

Гипотеза об адекватности проверяется с помощью критерия Фишера. Для этого вычисляется опытное значение критерия Фишера Fоп и сравнивается с его теоретическим (критическим) значением Fтеор при заданном уровне значимости α.

При этом, если опытное значение критерия Фишера меньше теоретического, то модель считается адекватной. В противном случае модель признается неадекватной, т.е.

Проверка адекватности приведена на рис. 10.7 и выполняется в следующей последовательности.

1. Опытное значение критерия Фишера Fоп (см. рис. 10.7) берется равным отношению дисперсии адекватно-

сти S 2 y ад к общей дисперсии, т.е. дисперсии воспроизводимости:

131

где S 2 y 10,889 – общая дисперсия эксперимента была

вычислена ранее (см. рис. 10.4);

S 2 y ад – дисперсия адекватности (см. рис. 10.7) вычисляется по формуле

где nb* 4 – число значимых коэффициентов УР; планаyi ;расч – расчетные значения функции отклика в точках

yi оп – опытные усредненные значения функции отклика в точках плана.

Рис. 10.7. Проверка математической модели на адекватность

132

2. Теоретическое значение критерия Фишера Fтеор{ , k1, k2} принимается по табл. П2 прил. 1 в зависимо-

сти от уровня значимости α = 0,05 и значений степеней свободы.

Fтеор{ , k1, k2} 3,5.

Поскольку выполняется условие Fоп = 0,73 < Fтеор = 3,5,

полученнаямодельявляетсяадекватной.

По сути дела критерий Фишера, представляющий собой отношение дисперсии неадекватности к дисперсии опыта, отвечает на вопрос, во сколько раз математическая модель предсказывает хуже по сравнению с опытом.

Таким образом, можно считать, что полученное уравнение математической модели с вероятностью не менее 95 % адекватно описывает изучаемое явление.

Контрольные вопросы

1.Основные цели и задачи математической теории планирования эксперимента. В чем заключается процедура планирования эксперимента? Планирование для получения интерполяционной формулы изучаемого процесса. Экстремальноепланирование.

2.Факторы, выбор факторов. Условия, накладываемые на факторы. Факторное пространство.

3.Функция отклика. Примеры функции отклика. Условия, накладываемые на функцию отклика. Выбор плана эксперимента.

4.Ортогональное планирование первого порядка. Матрица планирования. Свойства ортогонального планирования. Полный факторный эксперимент (ПФЭ).

5.Проверка воспроизводимости эксперимента (критерий Кохрена).

133

6.Матричное уравнение для определения коэффициентов уравнения регрессии (метод наименьших квадратов).

7.Ортогональное планирование второго порядка. Статистическая оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии (коэффициент Стьюдента).

8.Проверка адекватности математической модели (критерий Фишера).

134

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ахметзянов М.Х., Зиновьев Б.М. Основы прикладной теории упругости и пластичности: учеб. пособие. – Новосибирск, 2000. – 307 с.

2.Адлер Ю.П., Маркова Е.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. – 269 с.

3.Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах / А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев [и др.]. – М.: Физматлит, 2005. – 432 с.

4.Вержбицкий В.М. Вычислительная и линейная ал-

гебра. – М.: Высш. шк., 2009. – 351 с.

5.Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравне-

ния. – М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.

6.Голованов А.П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: Физматлит, 2006. – 392 с.

7.Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. – М.: АСВ, 2009. – 360 с.

8.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – СПб.: Лань, 2007. – 664 с.

9.Денисова А.П., Ращепкина С.А. Методы оптимального проектирования строительных конструкций: учеб. по-

собие. – М.: АСВ, 2012. – 216 с.

10.Затонский А.В. Информационные технологии. Разработка информационных моделей и систем. – Берез-

ники, 2011.– 488 с.

11.Зиновьев А.А., Бороздин О.П., Алексеев А.В. Математическое моделирование в строительно-технологических

135

задачах: метод. указания / Братск. гос. техн. ун-т. – Братск, 2003. – 28 с.

12.Кашеварова Г.Г. Основы автоматизации проектирования в строительстве. – Пермь, 2007. – 298 с.

13.Кашеварова Г.Г., Пермякова Т.Б. Численные методы решения задач строительства на ЭВМ / Перм. гос. техн.

ун-т. – Пермь, 2007. – 352 с.

14.Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Свiт геотехнiки. – Запорожье, 2009. – Вып. 9. – 400 с.

15.Коробко В.И. Строительная механика стержневых систем: учебник для вузов. – М.: АСВ, 2007. – 510 с.

16.Маслов Л.Б. Численные методы механики: курс лекций / Иван. гос. энергет. ун-т. – Иваново, 2009. – 142 с.

17.Программный комплекс для расчета и проектирования конструкций «ЛИРА». Версия 9: справ.-теор. пособие / под. ред. А.С. Городецкого. – Киев; М., 2003. – 464 с.

18.Глушаков С.В., Сурядный А.С. Microsoft EXCEL 2007. Лучший самоучитель. – М.:АСТ. 2007. – 411 с.

19.Вычислительный комплекс SCAD++. Изд-во СКАД СОФТ АСВ. – М., 2015. – 807 с.

20.Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с.

21.Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования

иобработки результатов инженерного экспиремента: конспект лекций. – Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн. ун-та.

– УПИ, 2004. – 257 с.

22.Турчак Л.И. Плотников П.В. Основы численных методов: учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 304 с.

23.Шапиро Д.М. Метод конечных элементов в строительном проектировании: моногр. – Воронеж: Научная книга, 2013. – 181 с.

136

24.Шимановский А.О., Путято А.В. Применение метода конечных элементов в решении задач прикладной механики: учеб.-метод. пособие для студентов технических специальностей. – Гомель, 2008. – 61 с.

25.Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / К. Хартман [и др.]. – М.: Мир, 1977.

137

Приложение 1

Таблица П1 . Значения критерия Стьюдента t(α, k2)

138

Таблица П2 . Значения критерия Фишера F(α, k1, k2)

k2 N(m 1) – число степеней свободыменьшейдисперсии. Уровень значимости α = 0,05.

139

Таблица П3 . Значения критерия Кохрена

Примечание. k1 = m – 1 – число степеней свободы; N – число точек плана (применяется для проверки однородности дисперсий). Уровень значимости α = 0,05.

Все значения критерия Кохрена меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь десятичные знаки, следующие после запятой, перед которой при пользовании таблицей надо ставить ноль. Например, для N = 9 и k1 = 1,

GКохрТеор 0,64 .

140