книги / Пространственные задачи теории пластичности

М.А.Задоян

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 9 2

ОГЛАВЛЕНИЕ

§8. Цилиндрическая труба под воздействием внутреннего дав­

§9. Цилиндрическая труба иод воздействием нормальных и ка­

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга — это попытка представить современное состояние исследований пространственных задач теории пла­ стичности.

Имеется ряд прекрасных строгих монографий и учебников по теории пластичности, отражающих достижения этой теории, но в них сравнительно мало освещаются или вовсе не затрагиваются вопросы пространственного деформирования пластических тел. В настоящее время как у нас, так и за рубежом нет изданий, обобщающих исследования в этом направлении.

В книге исследуются краевые задачи математической теории пластичности, в которых основное внимание уделяется прост­ ранственным задачам. Рассматриваются также родственные осе­ симметричные и некоторые плоские задачи со сходными метода­ ми решения. Значительное место по объему занимают исследо­ вания автора, проведенные в Институте механики АН Армении, некоторые результаты которых публикуются впервые.

Вариационные способы и другие приближенные подходы прй построении решений уравнений теории пластичности, в том чис­ ле п допущения известных геометрических гипотез при пласти­ ческом деформировании стержней, плит и оболочек, плодотворно и широко применяемые в исследованиях и приведенные во многих книгах, здесь не рассматриваются. Не рассматриваются также задачи, решаемые методом характеристик, поскольку соответст­ вующие результаты обстоятельно представлены в книгах по тео­ рии пластичности.

В этой книге исследования задач в конечном счете сводятся к интегралам уравнений теории пластичности или к обыкновен­ ным дифференциальным уравнениям при соответствующих гра­ ничных условиях, решаемым численными способами. В тех слу­ чаях, когда решение задачи представляется в виде ряда, при по­ мощи известных априорных оценок показывается абсолютная и равномерная сходимость этого ряда. Рассматривается также ряд задач более общего характера о пространственном деформирова­ нии, сводящихся к дифференциальным уравнениям в частных производных от двух переменных.

Единственность полученных решений в одних случаях гаран­ тируется соответствующими известными теоремами, в других —

нуждается в специальных исследованиях. Вопросы единственно­ сти решений здесь не обсуждаются — автор полагает, что это тема особого рассмотрения.

Вкниге кратко изложены основные сведения и положения теории пластичности п общие соотношения и уравнения э'гой теории в различных системах координат.

Всписке цитированной литературы приведены все источники по пространственным и осесимметричным задачам, известные ав­

тору. Плоская задача, благодаря методу характеристик и методу функций комплексного переменного, разработана достаточно об­ стоятельно и широко представлена в книгах по теории пластич­ ности. Из этих работ отмечены лишь те, которые определили на­ правление развития исследований в данной области или по мето­ дам исследования примыкают к излагаемой теме. Указывается также ряд ключевых теоретических и экспериментальных иссле­ дований по общим вопросам теории пластичности. Краткий исто­ рический обзор, приведенный в введении,— это беглый взгляд на основные этапы развития теории пластичности. Приведенный подбор работ имеет условный характер и, конечно, как сознает автор, не гарантирован от субъективного подхода, обусловленно­ го» научными интересами и наклонностями, а также степенью ос­ ведомленности автора.

Автор признателен академику Л. И. Седову за интерес к ра­ боте, ценные советы и поддержку. Благодарен академику АН Армении Н. X. Арутюняну, одпому из первых указавшему автору на важность проблем теории пластичности и посоветовав­ шему заняться этими вопросами.

Особую признательность автор выражает члену-корреспонден- ту РАН С. С. Григоряну за многолетнее научное общение, обсуждение полученных результатов, за постоянный интерес

кнаписанию этой книги, прочтение рукописи п ценные советы. Сознавая важное значение частых контактов с кафедрой тео­

рии пластичности МГУ им. М. В. Ломоносова при формировании круга его научных интересов, автор выражает чувство призна­ тельности покойному академику 10. И. Работнову и благодар­ ность его ученикам — своим коллегам, профессорам Д. Д. Ивле­ ву, В. Д. Клюшникову и С. А. Шестерикову за их доброжела­ тельное отношение к исследованиям и поддержку.

Автор благодарен также кандидатам физ.-мат. наук А. Г. Ако­ пяну и Н. Б. Сафаряну за большую помощь при проведении численных расчетов.

Реальные твердые тела под воздействием внешних сил дефор­ мируются. Эти деформации бывают упругими и пластическими.

Упругими называются деформации, которые полностью исче­ зают при устранении внешних сил. Если действующие на тело силы превосходят некоторый уровень, то при снятии их многие тела не восстанавливаются полностью до своего недеформированного состояния. Эти необратимые или остаточные деформации называются пластическими. Свойство тел приобретать остаточ­ ные деформации называется пластичностью.

Мера пластичности тела прежде всего характеризуется накоп­ ленными остаточными деформациями до его разрушения. Плас­ тические тела весьма разнообразны по своему поведению при механическом воздействии. Вместе с тем пластическое деформи­ рование тел характеризуется общей особенностью — непропор­ циональностью зависимости между внешними силами п дефор­ мациями тела.

Законы пластичности в металлических материалах, горных породах и грунтах проявляются по-разному. Свойства пластиче­ ских деформаций определяются внутренним строением или структурой материала. Изучение физической природы пластиче­ ских деформаций производится методами физики твердого тела на уровне молекулярного строения материала, а также при рас­ смотрении взаимодействия между зернами, образующими струк­ туру тела.

Для аналитического описания процесса Цластического дефор­ мирования в рамках механики твердого деформируемого тела используются обобщенные характеристики материала. Они опре­ деляются из макроэкспериментов над образцами из данного ма­ териала. Основные представления о механических характеристи­ ках материала дают эталонные испытания на растяжение — сжатие цилиндрических образцов, а также испытания на круче­ ние и различные комбинации совместного воздействия кручения, растяжения и внутреннего давления тонкостенных цилиндриче­ ских труб. Таким образом, в уравнениях пластичности отражает­ ся интегральное поведение материала при пластическом деформи­ ровании. Для правильного описания этого процесса, естественно, требуется привлечь сложный нелинейный аналитический аппарат в уравнениях пластичности, вызывающий серьезные затруднения

впрактических приложениях. Поэтому при составлении

менных конструкций и машин позволяет рационально использо­ вать материал и обнаружить дополнительные прочностные ресурсы.

1. Диаграмма растяжения. Основная механическая характе­ ристика материала обычно представляет собой построенную на основании экспериментов графическую зависимость между на­ пряжением и деформацией при растяжении или сжатии цилин­ дрических стержней. Для большинства металлов и сплавов эти диаграммы растяжения и сжатия практически можно считать совпадающими. Это позволяет использовать диаграмму растяжепия, которую получить экспериментально значительно проще, чем диаграмму сжатия.

где Р — растягивающая сила, Al = I — /о — абсолютная деформа­ ция, I — переменная длина стержня, т. е. график функции о = = о(е), называется условной диаграммой растяжения материала. Максимальное значение растягивающей силы наступает в мо­ мент образования шейки в образце. После этого происходит не­ равномерное по длине стержня деформнровафе с заметным уменьшением этой силы до разрушения.

При построении условной диаграммы в течение испытания не учитывается уменьшение площади поперечного сечения и допу­ скается равномерное деформирование по длине стержня. На са­ мом деле в ходе деформирования поперечное сечение образца непрерывно уменьшается. Естественно ввести понятие действи­ тельного или истинного напряжения

— P/F, F = FJ(1 + е),

где F — переменная площадь поперечного сечения, которая до образования шейки определяется из равенства IF = W'o, следую­ щего из условия сохранения количества масс. График функции о* = а* (е) называется действительной или истинной диаграммой растяжения материала.