книги / Пространственные задачи теории пластичности

т. е. скорости перемещений определяются с точностью до про#3- вольных постоянных А\ и d\ = D\JA\.

Рассмотрим частный случай, когда плита подвергается толь#0 изгибу и кручению. Положим, что на торцах плиты приложе#ы соответственно распределенные постоянные нормальные при Х>Р2 и касательные пр 12 силы (рис. 3.2), где x = signz. Тогда, прин11"

Определяя неизвестные Ь\ и с\ из краевых условий:

P i — Р 1Р 2 + Р2 + 3p i 2 = 3.

Очевидно, что z = О — плоскость разрыва напряжений. Соответ ствующие этому напряженному состоянию поля скоростей перс мещений будут

3р12

На рис. 3.2 показан случай, когда р\ и р2 имеют одинаковые знаки, однако полученные формулы верны и для случая р\р2 < 0.

§ 17. Задача Хилла

Под этой задачей будем понимать исследование предельного состояния призматического стержня из идеально жесткопласти­ ческого несжимаемого материала, находящегося под совместным воздействием растягивающих сил, изгибающих и крутящих мо­ ментов, приложенных на торцевых сечениях (рис. 3.3).

Зададим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось z была направлена по оси стержня, а осп х н у лежа­ ли в плоскости поперечного сечения. Боковая поверхность стерж­ ня свободна от внешних сил, и естественно полагать, что папря- женно-деформированное состояппе не меняется по продоль­

первому из дифференциальных уравнений (3.38) удовлетворяем тождественно. Интегрированием из (3.60) находим

Второе уравнение (3.38) при учете (3.61) перепишется в виде

где fx и /у означают частные производные /.

Подставляя выражения <р из (3.61) в (3.35). находим поле

В торцевых сечениях стержня имеем условия статической эк­ вивалентности:

б*

для продольной силы

N == к У з J j j A l — fx — fydxdy,

для крутящего момента

М ха = J j {xiVz — утхг) dx dy = 2 j j*/ dx dy,

для нзгпоающего момента с компонентами

M i = к У з j j У 1 — il — flydxdy,

М 2 = — к У3 f J }/" 1 — /* — ]\xdxdy.

Здесь Q* — площадь области с контуРис. 3.4 ром Г*, v — внешняя нормаль к Г* Полученная формула (3.65) выражает теорему Бредта о циркуляции сдвига для рассматриваемой задачи.

Крутящий момент в этом случае запишется в виде

Здесь fk — значения / на внутренних контурах, причем на внеш­ нем контуре принято /о = 0, а — соответствующие площади, ограниченные этими контурами.

соотношений между компонентами скоростей деформаций и ско­ ростей перемещений

условия пластичности Губера — Мизеса в безразмерных напря­ жениях

(сгг — Ое)2 + (OQ — oz)2 + (о2 — 0r)2 + 6 (тго + T§z + т?2) = 6, (4.3)

зависимости между компонентами скоростей деформаций и на­ пряжений

Рассматриваемый материал несжимаемый, т. е. нормальные скорости деформации удовлетворяют условию

Из зависимостей (4.2) скорости перемещений можно пред­ ставить следующим образом:

и = м0(0, z) — | (ее + е2) dr,

Полагая тензор скоростей деформаций не зависящим от коор­

Определяя выражения e0, e2 и увг согласно (4.7) и ис­ пользуя независимость тензора скоростей деформаций от 0 и приходим к простейшим системам дифференциальных уравпеннп

относительно по, Vo, wo, после решения которых получаем

uo = (G[ cos 0 + sin0)z + М\ cos 0 + Mi sin0 + M0,

Wo — 2EQ + Bz + L.

Здесь A, B, D, E, G„ N, L — произвольные постоянные. Ком­ понентами скоростей деформаций будут:

где С — произвольная постоянная.

Используя условие текучести (4.3) и условие несжимаемости

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения рав­ новесия (4.1) и учитывая, что тге и тгг не зависят от 0 и z, по­ лучим

где F — произвольная функция 0 п z, а а — параметр. Подставляя выражение аг во второе и третье дифференциальные уравнения (4.11), приходим к следующим дифференциальным уравнениям:

угв= £2тге и 4rZ= Ятгг, для компонент скоростей перемещений окончательно получим

и скоростей перемещений (4.16) являются решепнем .уравнений теории пластического течения (4.1) — (4.4), тензор скоростей де­ формаций которого меняется только по радиальной координате. Это решение содержит ряд произвольных постоянных, опреде­ ляемых из копкретных граничных условий. Принимая в полу­ ченном решении а, = G, = D = Е = 2А + В = 0, находим решение

Д.Ивлева [80, 84].

Приведенное решение может описать пространственное пла­

стическое предельное состояние цилиндрических слоев и труб при различных комбинациях внешних сил.

§ 19. Случай, когда тензор скоростей деформаций меняется только по кольцевому направлению

Такая картина пластического течения может наблюдаться, например, при вдавливании пространственного клиновидного те­ ла между жесткими наклонными плитами.

Рассмотрим течение идеально жесткопластической среды с ус­ ловием текучести Губера — Мизеса, когда тензор скоростей де­ формаций не меняется по направлению полярного угла [54]. Это значит, что будем искать решения системы уравнений теории