книги / Теория функций комплексной переменной
..pdfА.Г. СВЕШНИКОВ, А.Н. ТИХОНОВ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических специальностей и специальности “Прикладная математика"
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2001
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией А.Н. ТИХОНОВА, В.А. ИЛЬИНА,
А.Г. СВЕШНИКОВА
В Ы П У С К 5
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2001
УДК 517.5 С24
ББК 22.161.5
С В Е Ш Н И К О В А . Г., ТИ ХО Н О В А .Н . Теория функций комплексной переменной: Учеб.: Для вузов. — 6-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 336 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0133-1 (Вып. 5).
Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физи ки» под редакцией А.Н. Тихонова, В. А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учеб ник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на фи зическом факультете Московского государственного университета. В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного ис числения. Приведены примеры применения методов теории функций ком плексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специаль ности «Физика» и «Прикладная математика».
Ил. 60.
ISBN 5-9221-0133-1 (Вып. 5)
ISBN 5-9221-0134-Х © ФИЗМАТЛИТ, 1998, 2001
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
От редакторов сери и .................................................................................... |
9 |
Предисловие к пятому изданию.................................................................. |
10 |
Предисловие к третьему изданию............................................................... |
10 |
Предисловие к первому изданию |
11 |
Введение......................................................................................................... |
12 |
Г л а в а 1. Комплексная переменная и функции комплексной |
|
переменной.............................................................................. |
13 |
§1. Комплексное число и действия над комплексными числами . . 13
1.Понятие комплексного числа (13). 2. Действия над комплекс ными числами (13). 3. Геометрическая интерпретация комп лексных чисел (15). 4. Извлечение корня из комплексного числа (17).
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел........................ |
19 |
1.Определение сходящейся последовательности (19). 2. Крите рий Коши (21). 3. Бесконечно удаленная точка (21).
§3. Понятие функции комплекной переменной. Непрерывность . . 23
1.Основные определения (23). 2. Непрерывность (25). 3. При меры (28).
§4. Дифференцирование функции комплексной переменной . . . . 33
1.Определение. Условия Коши-Римана (33). 2. Свойства ана литических функций (36). 3. Геометрический смысл производ ной функции комплексной переменной (37). 4. Примеры (39).
§ 5. Интеграл по комплекной переменной.......................................... |
41 |
1. Основные свойства (41). 2. Теорема Коши (44). 3. Неопреде |
|
ленный интеграл (47). |
|
§ 6. Интеграл Кош и................................................................................. |
50 |
1. Вывод формулы Коши (50). 2. Следствия из формулы Коши |
|
(52) . 3. Принцип максимума модуля аналитической функции |
|
(53) . |
|
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра.......................................... |
56 |
1. Аналитическая зависимость от параметра (56). 2. Существо |
|
вание производных всех порядков у аналитической функции |
|
(58).
6 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Г л а в а |
2. Ряды аналитических функций |
61 |
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 61 |
||
1. Числовые ряды (61). 2. Функциональные ряды. Равномер |
|
|
ная сходимость (63). 3. Свойства равномерно сходящихся ря |
|
|
дов. Теоремы Вейерштрасса.(бб). 4. Несобственные интегралы, |
|
|
зависящие от параметра (69). |
|
|
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора....................................................... |
70 |
|
1. Теорема Абеля (70). 2. Ряд Тейлора (75). |
|
|
§ 3. Единственность определения аналитической ф ункции............. |
79 |
|
1. Нули аналитической функции (79). 2. Теоремы единственно |
|
|
сти (79). |
|
|
Г л а в а |
3. Аналитическое продолжение. Элементарные |
|
|
функции комплексной п ер ем ен н ой ............................... |
83 |
§ 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолже |
|
|
ние с действительной о с и ................................................................. |
83 |
|
1. Продолжение с действительной оси (83). 2. Продолжение со |
|
|
отношений (87). 3. Свойства элементарных функций (91). 4. |
|
|
Отображения элементарных функций (94). |
|
|
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности |
99 |
|
1.Основные принципы. Понятие римановой поверхности (99).
2.Аналитическое продолжение через границу (102). 3. Приме ры построения аналитического продолжения. Продолжение че рез границу (103). 4. Примеры построения аналитического про должения. Продолжение с помощью степенных рядов (108). 5. Правильные и особые точки аналитической функции (111). 6. Понятие полной аналитической функции (114).
Г л а в а 4. Ряд Лорана и изолированные особы е точки . . . . |
116 |
||
§ 1. Ряд Л орана |
............................................................................................ |
|
116 |
1. Область сходимости ряда Лорана (116). 2. Разложение ана |
|
||
литической функции в ряд Лорана (118). |
|
||
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначной ана |
|
||
литической функции............................................................................. |
|
120 |
|
Г л а в а 5. Теория ..................................вычетов и их п ри л ож ен и я |
128 |
||
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке |
128 |
||
1. Определение формулы вычисления вычета (128). 2. Основная |
|
||
теорема теории вычетов (130). |
|
|
|
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . . 133 |
|||
|
2 ж |
|
|
1. Интегралы вида f R(cos в, sin в) d$. (134). 2. Интегралы ви- |
|
||
|
о |
|
|
оо |
|
оо |
|
да / f(x)dx (135). 3. Интегралы вида |
/ ехахf{x) dx. Лемма |
|
|
—оо |
|
—оо |
|
Жордана (138). 4. Случай многозначных функций (144). |
|
||
§ 3. Логарифмический .................................................................в ы ч е т |
|
150 |
|
1. Понятие логарифмического вычета (150). 2. Подсчет числа |
|
||
нулей аналитической функции (151). |
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
7 |
Г л а в а 6. Конформное отобр а ж ен и е ................................................ |
155 |
§ 1. Общие свойства.................................................................................... |
155 |
1. Определение конформного отображения (155). 2. Простей |
|
шие примеры (159). 3. Основные принципы (163). 4. Теорема |
|
Римана (168). |
|
§ 2. Дробно-линейная функция.............. |
171 |
§ 3. Функция Ж уковского........................................................................ |
181 |
§ 4. Интеграл Шварца-Кристоффеля. Отображение многоугольни |
|
ков ......................................................................................................... |
184 |
Г л а в а 7. Применение аналитических функций к решению |
|
краевых за д а ч ........................................................................... |
193 |
§ 1. Общие положения.............................................................................. |
193 |
1. Связь аналитических и гармонических функций (193). 2. |
|
Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении |
|
(194). 3. Задача Дирихле (196). 4. Построение функции источ |
|
ника (199). |
|
§ 2. Приложения к задачам механики и ф изики .............................. |
201 |
1. Плоское установившееся движение жидкости (201). 2. Плос |
|
кое электростатическое поле (212). |
|
Г л а в а 8. Основные понятия операционного исчисления . . . 221 |
|
§1. Определения и основные свойства преобразования Лапласа . . 221
1.Определение преобразования Лапласа (221). 2. Изображение элементарных функций (226). 3. Свойства изображения (228).
4.Таблица свойств изображений (236). 5. Таблица изображений (236).
§ 2. Определение оригинала по изображению....................................... |
238 |
1. Формула Меллина (238). 2. Условия существования ориги |
|
нала (241). 3. Вычисление интеграла Меллина (244). 4. Случай |
|
регулярной на бесконечности функции (249). |
|
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений |
|
операционным м етодом ..................................................................... |
261 |
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (261). 2. Урав |
|
нение теплопроводности (257). 3. Краевая задача для уравне |
|
ния в частных производных (258). |
|
П р и л о ж е н и е 1. М етод п е р е в а л а ...................................................... |
261 |
1. Вводные замечания (261) . 2. Метод Лапласа (264). 3. Метод |
|
перевала (272). |
|
П р и л о ж е н и е 2. М етод В и н е р а -Х о п ф а .......................................... |
281 |
1. Вводные замечания (281). 2. Аналитические свойства пре |
|
образования Фурье (286). 3. Интегральные уравнения с ядром, |
|
зависящим от разности аргументов (288). 4. Общая схема ме |
|
тода Винера-Хопфа (293). 5. Задачи, приводящие к интеграль |
|
ным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов |
|
(298). 5.1. Вывод уравнения Милна (298). 5.2. Исследование |
|
решения уравнения Милна (302). 5.3. Дифракция на плоском |
|
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
экране (306). б. Решение краевых задач для уравнения в част ных производных методом Винера-Хопфа (307).
П Р и л о ж е н и е 3. Функции многих комплексных переменных 312
1. Основные определения (312). 2. Понятие аналитической функции многих комплексных переменных (313). 3. Формула Коши (315). 4. Степенные ряды (316). 5. Ряд Тейлора (318). Аналитическое продолжение (319).
П р и л о ж е н и е 4. М етод В а т со н а .......................................................... |
323 |
Л итература....................................................................................................... |
331 |
Предметный указатель..................................................................................... |
332 |
О Т Р Е Д А К Т О Р О В С Е Р И И
Настоящая книга представляет собой пятый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвя щена изложению основ теории функций комплексной перемен ной и операционного исчисления. В книге также даны примеры применения методов теории функций комплексной переменной к задачам гидродинамики и электростатики, разобраны некото рые вопросы метода перевала и метода Винера-Хопфа.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание этой книги, являющейся пятым выпуском серии «Курс высшей математики и математической физики», вышло в свет в 1979 г. Поскольку последние двадцать лет книга
использовалась как основной учебник по курсу теории функ ций комплексной переменной не только на физическом факуль тете МГУ, но и во многих других вузах, она стала библиогра фической редкостью, а имеющиеся в учебных библиотеках эк земпляры пришли в практическую негодность. Поэтому можно только приветствовать инициативу Издательской фирмы «Нау ка. Физматлит» РАН, предложившей настоящее, пятое, переиз дание данного учебника.
Чтя память моего учителя и соавтора этой книги академика РАН Андрея Николаевича Тихонова, скончавшегося 7 октября 1993 г ., я решил не вносить никаких изменений в текст предыду
щего издания, вышедшего еще при жизни Андрея Николаевича.
Июнь 1998 г. А. Г. Свешников
П Р Е Д И С Л О В И Е К Т Р Е Т Ь Е М У И З Д А Н И Ю
В третьем издании книги устранены замеченные неточности изложения, добавлен ряд приложений теории функций комп лексной переменной (несобственные интегралы, зависящие от параметра, преобразование Ватсона и т. д. ), дало представле ние об основных понятиях теории функций многих комплексных переменных.
Мы глубоко благодарны редактору этой книги С. Я. СекержЗеньковичу, работа которого способствовала улучшению ее со держания.
Авторы