книги / Теория функций комплексной переменной

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 91

Рассмотрим функцию трех комплексных переменных

Поскольку функции (3.26), (3.27) являются целыми функция­ ми своих переменных, a F = 0 при z\ —asi, Z2 = #2, Ч = яз (—со < Xi < оо), то выполнены все условия теоремы 3.2, что и доказывает справедливость соотношения (3.19) при любых зна­ чениях комплексных переменных z\ и Z2-

3.Свойства элементарных функций. Перейдем теперь

кболее детальному изучению основных свойств введенных выше элементарных функций комплексной переменной. В силу теорем 3.1 и 3.2 при всех значениях комплексной переменной z имеют место соотношения

и другие известные тождества для различных тригонометриче­ ских и гиперболических функций одной комплексной перемен­ ной. Также имеют место соотношения

и другие тригонометрические формулы, являющиеся аналити­ ческим продолжением в комплексную область известных соот­ ношений для элементарных функций действительной перемен­ ной.

Установим связь между показательной и тригонометриче­ скими функциями комплексной переменной. Для этого вернем­ ся к выражению (3.7) для функции ez и сделаем в нем замену переменной, положив z = г£. Тогда

оо

п=0

Разбив последний абсолютно сходящийся ряд на сумму двух ря­ дов, получим

Очевидно, это тождество имеет место для всех значений комплексной переменной

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 93

где символ ln|jz| означает действительную логарифмическую функцию действительного положительного аргумента. Тем са­ мым для функции комплексной переменной Inz получим алге­ браическую форму записи в виде

Аналогичным образом на основании теоремы 3.1 нетрудно показать, что и функция arcsinz, определенная формулой (3.15),

Выше была установлена связь между показательной и три­ гонометрическими функциями. Очевидно, и функции, обратные к данным, например Inz и arcsine, также связаны между собой

Разрешив квадратное уравнение (3.45) относительно etw, получим

z2 комплексной переменной z сама является многозначной функцией (см. гл. 1, с. 30). Выбор ветви многозначной функции

V T - F здесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функция w = arcsine являлась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной, переменной. Из по­ следнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действитель­ ных значениях подкоренного выражения. Из (3.39) и (3.46) сле­ дует

iw —In [iz + \/l — z2],

откуда окончательно получим

w = arcsin z ——i In [iz + y/l — z2]. (3*47) Это выражение на первый взгляд довольно сложно, и невольно возникает сомнение, дает ли оно, в частности, действительные

94 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ГЛ. 3

значения arcsinrc для действительных значений z —х, удовле­

силу формулы (3.42) имеем —г1п£ = —г[1п1 + гarg £] = arg( = = arcsin т.

Так как функция (3.42) определена для всех значений своего аргумента на комплексной плоскости с разрезом по отрицатель­ ной части действительной оси, то формула (3.47) дает анали­ тическое продолжение функции arcsine на некоторую область плоскости z. При этом точки z = ±1 оказываются в определен­ ном смысле особыми. Действительно, в результате обхода любой из этих точек на плоскости z по замкнутой кривой, принадлежа­ щей достаточно малой е-окрестности этой точки, при непрерыв­ ном изменении функции (3.47) она изменит свое значение, так как при однократном обходе точки z —1 или z = — 1 функция

у/1 —z2 изменяет свое значениех). Поэтому в качестве области однозначного определения функции (3.47) может быть выбра­ на, например, полная плоскость z с разрезами вдоль отрезков действительной оси [—оо, —1], [1, оо].

4. Отображения элементарных функций. В заключе­ ние данного параграфа, посвященного элементарным функци­ ям комплексной переменной, рассмотрим некоторые геометри­ ческие свойства отображений, осуществляемых этими функци­ ями. Начнем с простейших примеров.

П р и м е р 1 . В гл. 1 была рассмотрена простейшая степен­ ная функция w = z2. Рассмотрим теперь отображение, осуще­

где п — произвольное целое число. Эта функция, очевидно, яв­ ляется целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображения удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел: z = рег(р, w = re1^ = рпегп(р, из которой следует, что любой сектор 2) с центральным углом а -

= ~ плоскости z данной функцией отображается на полную

плоскость ги. Различные внутренние точки этого сектора ото­ бражаются на различные точки плоскости w. При этом грани­ цы сектора переходят в один и тот же луч ф = фо на плоскости w. Для установления взаимно однозначного соответствия меж­

х) См. с. 31 - 32.

2) Здесь под сектором мы понимаем замкнутую область.

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 95

ду областью однолистности функции zn и плоскостью w будем считать, что на плоскости w произведен разрез по лучу ф = ф0 и границам данного сектора плоскости z сопоставлены различ-

ные берега разреза. Например, сектор 0 ^ ю ^ — плоскости

71

z функцией (3.48) отображается на полную плоскость w, при­ чем обе границы этого сектора, лучи I и II на рис. 3.1, пере­ ходят в положительную часть действительной оси и плоскости

кость w и т. д. Поэтому геометрический образ функции w = zn представляет собой плоскость w, повторенную п раз. Тем са­ мым отображение полной плоскости z на полную плоскость w, осуществляемое данной функцией, не является взаимно одно­ значным. Однако если в качестве геометрического образа функ-

Рис. 3.1

ции w рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однознач­ ность отображения. Будем считать, что мы имеем п экземпля­ ров (листов) плоскости и;, разрезанной по положительной части

действительной оси, на каждом из которых dxgw изменяется в пределах 2тг(к— 1) < argiu < 2пк, где к —1,2,... ,п. Сектору

2тг верхний берег разреза к-то листа, а луч <р = —к — в нижний

71

берег разреза этого же листа. Построим из этих листов непре­ рывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное движение точки w на данном многообразии. Для этого заме­ тим, что нижний берег разреза к-то листа и верхний берег раз­ реза (к + 1)-го листа имеют один и тот же аргумент фк = 2п • к. Когда точка z в своем непрерывном движении по плоскости z пе­

реходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка w переходит с одного листа плоскости w на соседний лист. Оче­ видно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы долж­ ны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза к-го листа с верхним берегом разреза (к+ 1)-го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го и нижний бе­ рег разреза n-го листов. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z —0, последовательно пройдя че­ рез все п секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответ­ ствующая ей точка w пройдет п листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на 1-м и n-м листах. Тем самым полной плоскости z функция w = zn ставит в соответствие п листов плоскости ги, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое мно­ гообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция w = zn является п-листной

функцией.

П р и м е р 2. Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией w — ez. Из представления (3.38) следует, что эта функция каждому комплексному числу z —х + ъу ставит в соот­ ветствие комплексное число w, модуль которого есть ех, а аргу­ мент у. Это означает, что показательная функция w = ez произ­ водит отображение прямой у = уо плоскости л на луч arg w = уо плоскости w. Как легко видеть, полоса плоскости z, ограничен-

Рис. 3.2

ная прямыми у = 0 и у = 2л, перейдет в полную плоскость w, причем граничные прямые у = 0 и у = 2л будут отображаться на один и тот же луч плоскости w — положительную часть дей­ ствительной оси и (рис. 3.2). При этом устанавливается взаимно однозначное отображение открытой области 0 < у < 2л на плос­ кость w с выброшенной положительной частью действительной

Отсюда следует, что прямую ж = жо плоскости 2 функция cos z отображает в ветвь гиперболы

вую ветвь гиперболы, а прямая ж = гг — жо — в ее левую ветвь. Как легко установить, все гиперболы (3.49) являются софокусными, причем их фокусы лежат в точках ± 1 действительной

оси и. Прямая жо = ? функцией cos z отображается на мнимую

£t

ось v плоскости гу, а прямые жо = О и ж о = 7Г — в лучи [1,оо]

и [—сю, —1] действительной оси и плоскости гу, причем при дви­ жении точки z по данной прямой (например, по прямой жо = 0) соответствующий луч проходится дважды. Тем самым функция

cos z осуществляет взаимно однозначное отображение полосы О^ ж ^ гг плоскости z на полную плоскость гу, разрезанную по

лучам действительной оси [1, оо] и [—оо, —1]. При этом верхняя полуполоса О ^ж ^гт, у > 0 переходит в нижнюю полуплоскость v < 0, а нижняя полуполоса О ^ ж ^ г г , у < 0 — в верхнюю по­ луплоскость v > 0, что отмечено соответствующей штриховкой на рис. 3.3. Как легко видеть, следующая полоса гг ^ ж ^ 2я

§2 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 99

функцией cos z отображается на ту же полную плоскость w с

разрезами по лучам действительной оси [1,оо] и [—оо, —1]. Так как cos (z + 7г) = — cos z, то верхняя полуполоса т^ а; < 2тг,

у > 0 переходит в верхнюю полуплоскость v > 0, а нижняя полуполоса 7Г ^ д; ^ 2 п, у < 0 — в нижнюю полуплоскость v < 0 (рис. 3.3). Аналогичное положение, очевидно, имеет место и для любой полосы 717Г х ^ (п + 1)7Г. Отсюда следует, что областью однолистности функции cos z является полоса тпг < < х < (п + 1)тг. Функция cos z представляет собой бесконечно­ листную функцию, а ее областью значений является бесконеч­ нолистная риманова поверхность, получающаяся путем склеи­ вания плоскостей w, разрезанных по лучам действительной оси [—оо,—1] и [1,оо], по соответствующим берегам разрезов.

В заключение наших рассмотрений основных свойств пока­ зательной и тригонометрических функций исследуем вопрос о нулях этих функций. Показательная функция w = ez не обра­ щается в нуль ни при каком значении комплексной переменной z, как это следует из формулы (3.38). Все нули тригонометри­ ческих функций лежат на действительной оси. В самом деле, если sin z = 0, то etz —e~lz = 0, e2tz = 1. Но если комплексные числа равны, то их аргументы различаются на число, кратное 27г, откуда z = П7г, что и доказывает высказанное утверждение.

ности. Основной задачей аналитического продолжения явля­ ется продолжение значений функции f{z), заданной в некоторой области Q' на большую область Q.

Пусть на комплексной плоскости даны две области Q\ и Q2 имеющие общую частьх) Q12 (рис. 3.4). Пусть однозначные ана­ литические функции fi{z) и /2(2) заданы соответственно в обла­ стях Q\ и @2 и тождественно совпадают между собой в пересе­ чении С/12- Тогда функция F(z), определенная соотношениями

*) При этом могут быть различные случаи. Например: а) область Q\ со­ держится в области 6 2 1 тогда 6 1 2 , очевидно, совпадает с областью Q\ \б) пе­ ресечение Q\2 является односвязной или многосвязной областью; в) пере­ сечение Q\2 состоит из нескольких (может быть, и бесконечного числа) от­ дельных связных областей.