книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

У ДК 5 1 0 .2 (0 7 6 ) Б БК 7 4 .2 6 2

Л 82

Лунгу К. Н ., Письменный Д . Т ., Федин С. Н ., Шевченко Ю. А . Л 82 Сборник задач по высшей математике. 1 курс. — 3-е изд., испр. и доп. — М .: Айрис-пресс, 20 0 3 . — 576 с .: ил. — (Вы с­

шее образование).

ISBN 5-8112-0449-3

Сборник содержит свыше трех с половиной тысяч задач по высшей математике. Ко всем разделам книги даны необходимые теоретические пояснения.

Детально разобраны типовые задачи, приведено изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятель­ ного решения. Наличие в сборнике контрольных работ, устных задач и «качественных* вопросов позволит студенту подготовиться к экзамена­ ционной сессии. Книга охватывает материал по линейной алгебре, анали­ тической геометрии, основам математического анализа и комплексным числам.

Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов.

ББК 74.262 УДК 510.2(076)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый вашему вниманию сборник задач охватывает тради­ ционный курс высшей математики в объеме первого курса технического вуза. Книга подготовлена преподавателями нескольких московских ву­ зов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. Опираясь на этот опыт, а также учитывая достоинства и не­ достатки существующих пособий, авторы попытались создать в каком-то смысле универсальный задачник, пригодный как для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на практических занятиях. Этим объясняется специфическая структура книги.

Каждый раздел сборника начинается с необходимого теоретическо­ го минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и форму­ лы. Затем идет блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала подробно разбираются 1-3 типовые задачи, после чего предлагается для самостоятельного решения (дома или на семинаре) 6- 10 аналогичных задач. Далее снова разбираются 1-3 стандартные зада­ чи на определенную узкую тему, после которых опять идут аналогичные задачи для закрепления приобретенного навыка. И так далее. Именно так происходит обучение на практических занятиях в вузах, поэтому мы надеемся, что такое распределение задач будет особенно удобно препо­ давателям, ведущим семинары по высшей математике.

В конце каждого раздела находится, составляющий наиболее,суще­ ственную его часть, весьма обширный массив задач для самостоятельной (без преподавателя) работы студентов. Предполагается, что именно из этой части раздела преподаватель будет черпать задачи для домашних заданий студентам.

Мы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного ко­ личества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для успешного хода учебного процесса. Тем не менее в сборнике довольно много более сложных заданий и устных вопросов для продвинутых сту­ дентов; все они выделены в особый пункт, завершающий почти каждый раздел книги. Среди устных заданий — и в этом одна из особенностей книги — немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экза­ менах по высшей математике. Эта часть задачника будет полезна сту­ дентам для подготовки к экзаменам и преподавателям для пополнения своего запаса подобных заданий.

Наконец еще одна особенность этой книги — наличие контрольных работ в конце каждой главы. Опять-таки их могут использовать как сту­ денты при подготовке к зачетам или контрольным,.так и преподаватели при проведении последних.

К подавляющему большинству задач сборника — а их в книге около

Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

□

Матрицей А размера т хп называется прямоугольная таблица из m строк и п столбцов, состоящая из чисел или иных матема­ тических выражений (называемых элементами матрицы),

= 1 ,2 ,. ..,n .

п х п. Диагональной называется квадратная матрица, у которой все эле­ менты вне главной диагонали (т. е. с индексами i ф j) равны нулю. Еди­ ничной (обозначается Е) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы кото­ рой равны нулю.

§1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Свойства операции сложения матриц. Для любых матриц А, В и С

одного размера выполняются равенства:

1)А 4 В = В 4 А (коммутативность);

2)(А + В) + С = А + (В + С) = А 4* В -f С (ассоциативность).

^Произведением матрицы А = (aij) на число Л называется ма­

трица В = (Ь^) того лее размера, что и матрица А> причем bij = Aûjj, V i,j.

Свойства операции умножения матрицы на число: 1) Л •(/г •А) = (Л //) •А (ассоциативность);

2)Л •(А + В) = Л •А + Л •В (дистрибутивность относительно сложения матриц);

3)(Л + р) •А = Л •А + р •А (дистрибутивность относительно сложения чисел).

^Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида а - А + /3 В> где а и 0 — произ­ вольные числа.

^Произведением А В матриц А и В (размеров т х п и п х г соответственно) называется матрица С размера т х г, такая, что

п

k=l

Таким образом, каждый элемент Cij, находящийся в г-й строке и j-м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элемен­ тов г-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В . (Говоря популярным языком, чтобы найти элемент c,j, нужно «приложить» г-ю строку матри­ цы А к j -му столбцу матрицы В , перемножить соответствующие элемен­ ты и полученные произведения сложить). Произведение А В существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .

Свойства операции умножения матриц:

1 ) (А •В) - С = А •(В •С) = А В С (ассоциативность);

2)(-4 + В) •С = А •С + В •С (дистрибутивность);

3)-4 •(В + С) = А •С + В •С (дистрибутивность);

4)вообще говоря, А - В ф В А — отсутствует коммутативность.

^Коммутирующими (или перестановочными) называются ма­ трицы А и В, для которых АВ = В А.

Если задан многочлен f(x) = апхп+ an~ixn~l Н----- Ьа\х+ао, то мат­ ричным многочленом f(Â ) называется выражение ап*Лп+ а п_1 •АЛ“ 1+ . ..

п раз

чением матричного многочлена f{A ) при заданной матрице А является матрица.

^ Транспонированной к матрице А = (а^) называется матрица АТ = (ajj) такая, что ajj = aji> V i,j (т.е. все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А).

Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Маирица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки