книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Обратим внимание на то, что размерности векторов х и у в соотношении (1.3.6) предполагались одинаковыми. Вместе с тем часто возникает необходимость отыскания ф.п.р.в. случайного вектора у , связанного функциональной зависимостью с другими векторами, размерности которых не совпадают с размерностью у Например, нередко известна совместная ф.п.р.в. / Vx(v,x) для двух случайных векторов v,x, размерности п и ш и требуется найти ф.п.р.в. для m -мерного вектора у = g ](x,v). В этом случае целесообразно ввести составные векторы одинаковой размерности

и воспользоваться приведенным выше правилом для нахождения

весьма важном при решении задач оценивания примере.

♦ П р и м е р 1.3.4. Пусть задана ф.п.р.в. / v x (v, х) двух случайных векторов х , v размерности п и т и вектор у , связанный с этими век­ торами

где s(x) - т -мерная вектор-функция известного вида.

Требуется найти ф.п.р.в. для вектора у

В данном случае вектор z целесообразно ввести в виде

При этом обратная функция z = A(z) будет определяться как

Принимая во внимание тот факт, что 62

С использованием (1.3.16) или (1.3.18) можно, в частности, по­ казать, что сумма двух независимых с.в., имеющих одинаковое, равномерное распределение, будет представлять собой с.в. с ф.п.р.в. треугольного вида (см. задачу 1.3.4), а при увеличении числа слагаемых это распределение будет стремиться к гауссов­ скому. В этом случае говорят, что происходит нормализации ф.п.р.в. Более общий результат, связанный с нормализацией ф.п.р.в. формулируется в виде центральной предельной теоре­ мы. Суть этой теоремы заключается в том, что при формировании случайной величины в результате суммирования независимых ме­ жду собой центрированных с.в. с одинаковыми дисперсиями дока­ зывается, что при увеличении числа слагаемых ф.п.р.в. такой с.в. стремится к гауссовской ф.п.р.в. [44]. Это весьма важный с прак­ тической точки зрения результат, поскольку он служит некоторым обоснованием часто используемого предположения о гауссовском характере тех или иных величин. Действительно, если некоторая величина, например ошибка измерителя, формируется в результате суммирования ошибок, обусловленных различными независимы­ ми между собой факторами, то такую с.в. можно с определенной долей приближения считать гауссовской с.в.

С учетом приведенных выше соотношений можно таюке убе­ диться в том, что сумма совместно гауссовских векторов является гауссовским вектором. Более общий результат формулируется так: при линейных преобразованиях гауссовских векторов гауссов­ ский вид ф.п.р.в. сохраняется. Весьма существенно при этом, что гауссовской должна быть совместная ф.п.р.в. преобразуемых век­ торов. В частности, если совместная плотность, стоящая под зна­ ком интеграла (1.3.16) не является гауссовской, то в общем случае плотность для суммы у = х + V не будет гауссовской. Примеры,

иллюстрирующие этот факт, приводятся, в частности, в [85]. Если преобразуемые векторы независимы, то достаточно, чтобы гаус­ совскими были плотности каждого из слагаемых (см. задачу 1.3.2).

1.3.3. Линейные преобразования случайных векторов

Обсудим более подробно линейные преобразования случайных векторов. С этой целью рассмотрим достаточно простую, но весь­ ма важную с практической точки зрения задачу.

Пусть задан т -мерный вектор х , который получен в результа­ те линейного преобразования п -мерного вектора х , т.е.

и требуется найти его математическое ожидание и матрицу кова­ риаций.

Решение этой задачи легко получить, если воспользоваться со­ отношениями (1.2.9), (1.2.10). В первое подставляется g(x) = Tx, а

во второе g(x) = Т(х-х))(х-х)Тт . В этом случае можем записать:

Мхх = М хТх = ТМхх - Тх ;

Мх {(х-х)(х-х)т \=МХ{г(х-х)(Г(х-х))т }=МХ{г(х-х)((х-х))гт }=

= Ш х|>-х)((х-х))т}7’т

Таким образом, получаем

Отсюда следует, что для нахождения математического ожи­ дания и матрицы ковариаций вектора х , формируемого в ре­ зультате линейного преобразования (1.3.21), не требуется зна­ ния ф.п.р.в. для исходного вектора х, а достаточно распола­ гать для него лишь значениями математического ожидания и матрицы ковариаций.

♦ П р и м е р 1.3.5. Пусть задан вектор z , включающий два подвек­ тора х и V размерности л и т , т.е.

идля него определены математическое ожидание и матрица ковариаций

ввиде:

х

Вт Pv

Принимая во внимание равенства [8] и используя (1.2.11). можно за­ писать:

expj- 0.5((.v - T x ) f (Г т)“ 1 (Рх Г 1Т~1(х - 7х)}.

det(rrvr T) = (detr)2 detPJC detT-1 = I / del Г

Таким образом, легко убедиться в справедливости (1.3.35), поскольку

Если предположить, что в примере 1.3.5 совместное распреде­ ление двух векторов х и V гауссовское

то вектор z , определяемый согласно (1.3.27), также будет гауссов­ ским, т.е.

а параметры этой ф.п.р.в. будут задаваться соотношениями (1.3.28), (1.3.29).

1.3.4. Определение статистических свойств длины проекции случайного двухмерного вектора на заданное направление

Задача определения статистических свойств длины проекции случайного вектора на заданное направление достаточно часто возникает при обработке навигационной информации. Например, при движении судна вдоль фарватера наиболее важной представ­ ляется величина ошибки определения координат места в направ­ лении поперек фарватера. Полагая, что ошибка определения коор­ динат судна на плоскости описывается как двухмерный случайный

скую ф.п.р.в. с математическим ожиданием (1.3.44) и дисперсией (1.3.45). Знание ф.п.р.в. для этой величины позволяет в полном объеме описать свойства ошибки вдоль заданного направления, что весьма важно при решении ряда задач обработки навигацион­ ной информации.

ф.п.р.в. н ее параметры для с.в., определяющей длину проекции в на­ правлении прямой, расположенной под углом 30° относительно оси л~2

(рис. 1.3.5).

01 Y

!

•to .10

Рнс. 1.3.5. График ф.п.р.в. двухмерного гауссовского вектора и соответствующего ей эллипса