книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfсвоим меню. В нем предусмотрена возможность выбора интере сующих ф.п.р.в. или ф.р.в. прямо из вызываемого здесь же списка ф.п.р.в., для которых моделируется указываемое в меню количест во моделируемых с.в. и возможные параметры распределений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
|
1.5.1 |
|
|
Гистограммы (hist(z,30)) для реализаций амплитуды и фазы, |
|
|
||||||||||||||
|
распределенных по закону Рэлея и равномерному закону, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
и их преобразованных значении |
|
|
|
|
||||||||
К] |
Ш |
||||||||||||||||
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2 5 |
|
3 |
3.5 |
4 |
4. 5 |
-Î |
-Э -2 -1 |
0 |
1 2 |
3 |
4 |
|
Гистограмма распределенных по за |
КО- |
|
Гистограмма равномерно |
|
|||||||||||||
ну Рэлея реализаций амплитуды |
|
|
|
||||||||||||||
|
распредпенных реализаций фазы |
||||||||||||||||
A=random(,Rayleigh', 1,1,20000) |
|
||||||||||||||||
|
/^randomCUniformY-pi,pi, 1,20000) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2500 т— |
1---------- |
1--------- |
1--------- |
1---------- |
1--------- |
1--------- |
1--------- |
1--------- |
|
1------ |
|
2500 |
|
|
|
|
|
2ОИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
15001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sou |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
. « |
-1 |
-0 9 |
-0.0 -0.4 -0.2 |
0 |
0 2 |
0 4 |
0 6 |
|
0.8 |
» |
-3 -2 •! |
0 |
1 2 |
3 |
||||
|
Гистограммадля x=sin(//) |
|
|
|
|
Гистограмма для .vj=A.*sin(fî) |
|||||||||||
1.5.5. Моделирование случайных величин в Matlab
Для моделирования с.в. в Matlab предусмотрены специальные т-функции, описание которых приведено в табл. 1.5.2 [64].
|
Т а б л и ц а 1.5.2 |
|
Датчики случайных чисел Matlab |
Функция |
Вызов и назначение |
|
у = random('//n///e,,A l,A 2JA3,//i,/?) - возвращает т * п мат |
random |
рицу с.в., с ф.п.р.в., с именем 'пате' из списка, совпа |
дающего со списком, используемым в pdf и edf функци |
|
|
ях. A l, А2 и A3 - возможные параметры распределений. |
|
По умолчанию т = //=2. |
X=rand |
Формирует равномерно распределенную в интервале |
|
[0,1] случайную величину |
X=rand(n) |
Формирует массив равномерно распределенных в интер |
|
вале [0,1] случайных величин размера пхп |
X=rand(m,n) |
Формирует массив равномерно распределенных в интер |
|
вале [0,1] случайных величин размера тхп |
X=rand(size(A)) |
Формирует массив равномерно распределенных в интер |
|
вале [0,1] случайных величин, размерность которого сов |
|
падает с размерностью матрицы А |
s=rand(‘state’) |
Возвращает вектор величин, определяющих текущее |
|
состояние генератора случайных чисел. |
rand(‘state’,0) |
Устанавливает датчик в его начальное состояние. |
randfstate7j) |
Устанавливает датчик ву-е состояние |
Примечание 1. Для получения стандартизованных гауссовских с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией необходимо использовать
///-функцию randn, вызов и назначение которой аналогичен функции rand. Примечание 2. Последовательность генерируемых с.в. зависит от начального
состояния датчика, которое может быть определено с помощью функции s=rand(‘state’) или randn(‘state7). С помощью ///-функции rand(‘state*j) датчик ус танавливается в состояние, соответствующееу-му обращению. При rand(‘state\0) датчик устанавливается в начальное состояние. Аналогичные установки могут быть выполнены и для функции randn, формирующей гауссовские с.в.
На рис. 1.5.1 приведены значения 40 реализаций, полученных с помощью т-функции randn.
Рис. 1.5.1. Реализация стандартизованных гауссовских с.в., полученных в Matlab с помощью ///-функции randn (j*=randn(l,40); plot(y))
Для определения выборочных значений математического ожи дания, дисперсии и медианы для последовательности с.в. в Matlab могут быть использованы функции, описанные в табл. 1.5.3.
Т а б л и ц а 1.5.3
Функции дли определения выборочных характеристик [64]
Функция
теап(.т)
std(.x)
median(.v)
Назначение Вычисляет выборочное математическое ожидание (средне
арифметическое значение) элементов массива х с использо ванием соотношения (1.5.5), где L определяет длину массива
X.
Вычисляет выборочное СКО в соответствии с выражением (1.5.7)
Вычисляет выборочную медиану для элементов массива X .
При вычислении медианы элементы массива располагаются в порядке возрастания. При нечетном L в качестве медианы
выступает элемент * £ /2 + 1 /2 ПРИ четном — (.т^/^+-Y^pj.i)
В табл. 1.5.4 приведены рассчитанные с помощью описанных функций mean(x), std(x) и median(x) выборочные математические ожидания, дисперсии и медианы, полученные для 10, 100, 1000 реализаций стандартизованных гауссовских с.в., сформированные с помощью x=randn(l,«).
Т а б л и ц а 1.5.4
Значения выборочных математического ожидания, дисперсии и медианы дли последовательности моделируемых гауссовских стандартизованных с.в.
Число с.в. |
Математическое |
Дисперсия |
Медиана |
|
ожидание |
|
|
10 |
-0.6762 |
0.976 |
-0.5374 |
100 |
-0.0855 |
0.9714 |
0.0114 |
1000 |
0.0012 |
0.9915 |
0.0111 |
Как и следовало ожидать, приведенные в таблице числовые ха рактеристики в большей степени согласуются с предполагаемыми (нулевое математическое ожидание и единичная дисперсия) при увеличении количества моделируемых с.в.
Проиллюстрируем с помощью гистограмм следующий извест ный из теории вероятностей факт - ф.п.р.в. суммы независимых между собой одинаково распределенных случайных величин при увеличении числа слагаемых стремится к гауссовскому (нормаль-
векторов в виде соответствующих точек на плоскости для случая,
когда рх = ■? |
0 |
42 |
0 , и для |
случая рх = о? |
К |
"1 |
1 |
0 |
сг2_ |
_ 0 |
1_ |
К |
°2_ |
1 |
42 |
на рис. 1.5.2, б. |
|
|
|
|
|
|
|
а ) |
|
|
|
6 ) |
|
|
|
Рис. 1.5.2. Примеры реализаций двухмерных центрированных гауссовских векторов с о} = 4 2, Oj = 1> К = 0 (а)
и <j\ —1 , <Jî = 4“ , К = 1 (б)
Если матрица ковариаций недиагональная, то необходимо, как это описано в подразделе 1.3.5, предварительно найти ортогональ ную матрицу Т с помощью которой от исходного вектора х с зависимыми компонентами переходят к вектору х с независимы
ми компонентами. Затем, сформировав реализации вектора x J , с помощью обратного преобразования можно получить искомые
реализации вектора xJ =T Tx J
Например, если требуется получить реализации двухмерного центрированного гауссовского вектора х с недиагональной мат
рицей ковариаций вида Р х = К , то сначала, используя со
К° 2 .
отношения (1.3.50), (1.3.51), следует отыскать собственные числа и дирекционный угол для этой матрицы ковариаций. Затем сформи
ровать набор реализаций для вектора x J с матрицей ковариаций
р х = V |
0 |
и, |
используя |
ортогональную |
матрицу |
_ 0 |
ь2_ |
|
|
|
|
sin г |
-cos г |
, получить искомый набор xJ =TTx J |
|
||
ТТ = |
sin г |
|
|||
COST |
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Почему последовательность с.в., получаемая на компьютере, называется псевдослучайной? Что необходимо предпринять, чтобы при повторном обращении к датчику случайных чисел каждый раз получать одну и ту же последовательность с.в.?
2.В чем смысл метода Монте-Карло, почему он получил широкое распространение в задачах, связанных с теорией оценивания?
3.Что такое выборочные математическое ожидание и дисперсия, как они рассчитываются?
4.Что такое гистограмма и для каких целей она строится при ис следовании свойств с.в.?
5.Какому виду ф.п.р.в. соответствует гистограмма, приведенная в табл. 1.5.5 для случая суммы двух с.в.?
6.Поясните, как получить реализации случайного вектора с не диагональной матрицей ковариаций.
1.6.Задания для моделирования с использованием Matlab
1.Для выбранного из табл. 1 варианта выполните следующее:
•вычислите математическое ожидание и дисперсию при за данных параметрах распределений;
•с использованием средств Matlab на одном и том же рисунке постройте графики ф.п.р.в. при заданных параметрах и при их значениях, уменьшенных в два раза;
•с использованием соответствующих /«-функций Matlab получи те 200 реализаций случайных величин, вычислите выборочные значения математического ожидания, дисперсии и медианы. Повторите эти вычисления при числе реализаций, равном 20000, постройте гистограмму для 200 и 20000 реализаций. По ясните полученные результаты.
Та б л ица 12
Наименование
распределения
Бета
Хиквадрат
Экспоненциальное
Гамма
Нормальное
Рэлея
Равномерное
Параметры
распределения
II |
CN II |
V = 1
ц= 2
а= 2 , Ь - \
X = 1, <7 = 2
а = 2
а = 1,6 = 2
2. Для двухмерного центрированного гауссовского случайно го вектора задайтесь значениями элементов Pÿ, i, j = 1,2 матрицы
ковариаций, считая, что, Pjj е [1,9], j =1,2, ( Р22 определяет дис
персию для вертикальной координаты) Р\2 =Р2\ е[-3,3] и выпол ните следующее:
•запишите выражение для ф.п.р.в;
•найдите параметры среднеквадратического эллипса ошибок.
•с помощью Matlab (как это описано в приложении) постройте график двухмерной ф.п.р.в. с соответствующими ему изоли ниями;
•найдите параметры и постройте график одномерной гауссов
ской ф.п.р.в. для величины, определяющей длину проекции центрированного гауссовского вектора на направление т = (30-60)°
Заключение к главе 1
1.Введены понятия случайных величин и векторов и определены методы их описания. Рассмотрены различные виды функций распределения вероятностей и функций плотности распределе ния вероятностей.
2.Определены наиболее важные статистические характеристики случайных величин и векторов. Значительное внимание уделе но получившим широкое практическое применение гауссов ским случайным величинам и векторам и соответствующим им статистическим характеристикам.
3.Введен ряд понятий, широко используемых при обработке нави гационной информации, в частности, таких как: среднеквадра тический эллипс ошибок, круговая вероятная ошибка; сфериче ская ошибка; определена связь эллипса ошибок с матрицей ко вариаций. Рассмотрены имеющие важное практическое значе ние в навигационных приложениях такие задачи, как: ортогонализация случайного вектора, вычисление вероятности попада ния в заданную область и определение свойств длины проекции случайного двухмерного вектора на заданное направление.
4.Обсуждена задача определения свойств случайных величин и векторов, получаемых в результате линейных и нелинейных преобразований.
5.Введено понятие условной или апостериорной плотности рас пределения вероятностей и правило нахождения ее параметров в случае, когда априорная совместная плотность двух векторов гауссовская.
6 . Сформулирована задача регрессии, суть которой заключается в описании свойств одного случайного вектора при фиксирован ном значении другого связанного с ним вектора.
7.Обсуждены способы моделирования случайных величин и век торов. Рассмотрен метод Монте-Карло и вытекающие из него правила вычисления так называемых выборочных статистиче ских характеристик.
8 . По ходу представления материала рассмотрены методические примеры и задачи, имеющие существенное значение для пони мания теории оценивания применительно к задачам обработки навигационной информации, излагаемой в последующих гла вах.
ГЛАВА 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Цель главы - изложить основные принципы и подходы, исполь зуемые при построении алгоритмов оценивания, на примере про стой, но весьма важной для навигационных приложений задачи оценивания постоянных параметров. Возможные варианты таких задач приведены в начале главы. При этом выделены как линей ные, так и нелинейные задачи.
Используемые подходы и методы построения алгоритмов в значительной степени зависят от уровня привлекаемой априорной информации об оцениваемом векторе и ошибках измерения. Именно это обстоятельство, а также стремление предоставить чи тателю возможность дифференцированного изучения в значитель ной степени и принимались во внимание при формировании и из ложении последующего материала.
Первая рассматриваемая группа алгоритмов оценивания осно вана на методе наименьших квадратов и минимизации наблюдае мых критериев, не связанных непосредственно с ошибкой оцени вания, а характеризующих меру близости между измеряемыми ве личинами и их вычисленными значениями. Иными словами, про ектирование алгоритмов осуществляется в рамках детерминиро ванного подхода, отличительная особенность которого заключа ется в том. что при синтезе алгоритмов предположение о случай ном характере оцениваемого вектора и ошибок измерения вообще могут не привлекаться. Такое предположение вводится лишь в це лях решения задачи анализа точности, для чего привлекается ап риорная статистическая информация о первых двух моментах. Здесь получен набор наиболее распространенных алгоритмов, включая алгоритмы для нелинейных задач оценивания, которые в дальнейшем выводятся с позиций стохастического подхода при разном уровне априорной информации.
Далее рассматривается так называемый небайесовский, или классический, подход при проектировании алгоритмов, в рамках
ПО