SHPORA_v_1_0

1)Гармонические колебания и их характеристики.

Г.к.называются движения или процессы,которые характеризуются опред.повторяемостью во времени и пространстве.

Колебания наз-ся свободными,если они соверш.засчет первоначально сообщенной энергии,при отсутствии внешнего воздействия.

циклическая частота равна числу колебаний,совершаемое системой за время 2 секунд.

\

Графически гарм.колебания можно отобразить по средству метода векторных диаграмм

2. Механические гармонические колебания. Пружинный маятник

Сила F пропорциональна смещению х и направлена в противоположную сторону

Из ур-ий для s и х вытекает ,что пружинный маятник будет совершать колебания с частотой

3. Математичесикй и физический маятнкики.

Физическим маятником называется твердое тело совершающее под воздействием силы тяжести колебания относительно координатной оси, не проходящей через центр масс тела.

Математическим маятником называется материальная точка массы M, подвешенная на не растянутой и невесомой нити и совершающая колебания по действием силы тяжести.

4. Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре. Если заряженный конденсатор подсоединить к катушке, то конденсатор начнет разряжаться. По мере разрядки увеличивается разрядный ток, который достигает максимума при полной разрядке конденсатора, при этом энергия переходит в энергию магнитного поля . С момента полной разрядки конденсатора ток в цепи начнет убывать. При уменьшении тока явление самоиндукции в цепи возникает индукционный ток того же направления, что и ток I и конденсатор начинает перезаряжаться. И в момент полной зарядки ток в цепи станет равным нулю. На основе законов Ома:

5. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

На основании закона cos:

=

=

Таким образом возникают колебания, амплитуда которых будет исследована из следующей функции времени:

6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Исключаем время

– уравнение эллипса, главные оси которого направлены произвольно относительно координатных осей.

1)

“-“ при

Амплитуда колебаний =

2)

Если траектории колебаний кратны друг другу, то движения таких тел будут проходить по более сложным траекториям, называемым фигурами Лисату

7.Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

При механических колебаниях реально существует сила сопротивления, которая в большинстве случаях

8. Декремент затухания, время релаксации, добротность.

Отношение двух амплитуд отличающиеся на период называется декрементом затухания.

Время за которое амплитуда полей уменьшенная в ℓ раз называется временем релаксации

В данном случае

Q – Добротность, называется величина

Таким образом, добротность пропорционально числу колебаний совершённой системой за время релаксации

При малом затухании

Таким образом, добротность Q при слабых затуханиях с точностью до множителя 2pi равна отношению энергии запасённой в системе в данный момент и углом этой операции за период колебаний.

9. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.

Затухающие колебания - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

;

10. Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.

11.Волновые процессы. Продольные и поперечные волны.

Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке распространяются в среде с определенной скоростью, передаваясь от одной точки среды в другую. Фаза колебаний частиц среды отличаается от фазы в источнике тем больше, чем болше расстояние от источника. Процесс распростаранения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волной. При распространении волны происходит перенос энергии колебательного движения без переноса вещества. Волны могут быть как поперечные, так и продольные.

Поперечные волны могут распространяться в средах, в которых возникают силы деформации сдвига. Продольные волны могут распространяться в любых средах. - уравнение волны.

График волны дает зависимость смещения всех частиц среды, от расстояния х до источника колебания в данный момент времени. В отличие от этого график колебательного движения есть завсимость смещения данной частицы от времени. Минимальное расстояние между частицами среды, колеблщихся в одинаковой фазе, называется длинной волны (λ). Длина волны равна тому расстоянию на котрую распространяется определенная фаза колебаний за период. . Геометрическое место точек, до которого доходят колебания в ммент времени t называется волновым фронтом. Геометрическое место точек среды, колеблющихся в данной фазе называется волновой поверхностью.

12.Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.

Бегущей волной называется волна, которая переносит энергию. . Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси Х

, при х = 0.

Получим:

Если волна перемещается в обратном направлении, то:

Волна в комплексном представлении:

.

Зафиксируем значение фазы колебаний:

Полученное выражение определяет связь между временем t и тем местом x, в котором фаза колебаний имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него выражение дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы

Скорость распространения волны (v) есть скорость перемещения фазы, поэтому ее называют фазовой скоростью. В случае сферической волны, уравнения такой волны будет:

16. Стоячие волны

Стоячие волны возникают при наложении падающей и отраженной волн. Представляют собой частный случай интерференции волн.

=Acos(ωt-kx+φ1) падающая волна

=Acos(ωt-kx+φ2) отраженная волна

=+=2Acos(kx+(φ2-φ1)/2)cos(ωt+(φ2+φ1)/2)

Выберем начальное время оссчета t так, чтобы φ1+φ2/2=0 и координату x так, чтобы φ2-φ1/2=0. =2Acos(2π/λ)x

Различные точки среды имеют разные амплитуды. Точками стоячей волны с MAX амплитудой называются пучностями.

(2π/λ)x=±πm x=±λm/2

Точками стоячей волны с MIN амплитудой называются узлами.

(2π/λ)x=±(m+1/2)π

Расстояние между соседними узлами или пучностями равно λ/2, расстояние между пучностью и узлом равно λ/4. В отличие от бегущей волны, в которой все точки среды колеблются с одинаковой амплитудой, но в разных фазах, все точки стоячей волны между соседними узлами имеют различную амплитуду, но совершают колебания в одинаковой фазе. При переходе через узел фаза изменяется на π. В отличие от бегущей волны, стоячая волна не переносит энергию. Падающая волна и отраженная переносят одинаковую энергию в противоположных направлениях, в итоге сумма переносимой энергии равна 0. При отражении падающей волны от границы двух сред получается пучность, если среда более плотная и узел, если среда более плотная . Это связано с тем, что при отражении волны от более плотной среды фаза меняется на π, при отражении на π изменения фазы не происходит.

14. Энергия упругой волны

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль ОХ

ξ=Acos(ωt-kx+φ0)

На пути исследования волны рассмотрим цилиндр

При прохождении волны цилиндр будет деформироваться по-разному в разных своих частях. Пусть для основания Х смещение точек =ξ.

Для x+Δx смещение будет ξ+Δξ. Цилиндр получается удлиннение Δξ, относительное удлиннение Δξ/Δx. Это отношение выражает среднюю деформацию цилиндра, истинная в различных точках будет различной. Lim(Δx->0) Δξ/Δx=ε. В процессе прохождения волны цилиндр получит дополнительную энергию .

плотность энергии

Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительной энергией, которая распространяется в пространстве от одной точки среды к другой. Отсюда вытекает, что волна обладает энергией, которая распространяется в пространстве от одной точки среды к другой.

19)Дифференциальное уравнение электромагнитной волны.

Докажем, что существование электромагнитной волны вытекает из ур-я Максвела. Рассмотрим среду нейтральную и не проводящую т.е. =0 , j=0; для которой постоянны  и .

; ; ;

; ;

; []=rot ; []= -µ;

[]= ; []=0 ; []=0 ;

Возьмем ротор (rot) от обеих частей первого урав-ия Максвела :

[]= - µ; []= = ;

[A[]]= - ; [] = =-;

; ;

Аналогично можно получить:

;

Полученное нами соотношение, представляет собой волновое уравнение, причем вытекающее из этих уравнений решения, описывают некоторую волну. Электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, причем скорость этой волны :

15. Принцип суперпозиции. Гупповая скорость.

Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то колебания точки среза есть геометрическая сумма колебаний от каждой волны в отдельности.

Таким образом, отдельные волны не возмущают друг друга, если накладываются друг на друга. В этом заключается принцип суперпозиции волн.

Исходя из принципа суперпозиции волн и теоремы Фурье, любую волну, любое сложное колебание можно предствить с помощью суперпозиции синусоидальных волн заключенных в интервале d.

Суперпозиция волн сильно отличающихся по частоте называется групой волн или волновым пакетом.

В пределах пакета … волны в большей или меньшей степени усиливают друг друга. Вне пакета они практически гасят друг друга. Таким образом пакет в каждый момент времени занимают ограниченную область в пространстве.

Рассмотрим две воолны и различим их друг от друга по частоте:

dw << w

dk << k

Т.о. амплитудой результирующей волны является медленное изменяющаяся функция х и т. За скорость распространения этой волны берется скорость перемещения максимума амплитуды этой волны. Сам максимум амплитуды рассматривается как центр волнового пакета.

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Xmax = w/v =>w = kv

Т.о. максимум перемещения со скоростью u = dw/dk, есть так называемая групповая скорость. Ее можно определить как скорость группы волн, которые в каждый момент времени образуют в локализованном в прострастве волновой пакет.

Групповая скорость может быть как больше так и меньше базовой фазовой.

;

u = v;

U<= C

17. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.

Согласно Максвеллу в неподвижном контуре переменном магнитном поле возникающая ЭДС индукции определяется следующим выражением

E_B – переменное электрическое поле, порождаемое переменным магнитным полем

С другой стороны ЭДС индукции по закону Фарадея определяется:

Операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами, поскольку контур неподвижен

Из составленных выражений следует, что электрическое поле E_B возбужденное магнитным полем, как и само магнитное поле является вихревым, т.е. его силовые линии замкнуты.

- 1-е уравнение Максвелла

Согласно данному уравнению источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и переменные магнитные поля.

Согласно Максвеллу в цепи переменного тока, ток всегда замкнутый. На концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике или в вакууме между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Ток смещения это и есть переменное электрическое поле, возбуждающее в окружающем пространстве магнитное поле.

j=j_см

Для конденсатора электрического смещения D=

, т.е. D=f(x, y, z, t)

- 2-е уравнение Максвелла

Магнитное поле может возбуждаться либо движущимися зарядами, либо переменными электрическими зарядами.

Ток смещения аналогичен току проводимости только по способности порождать магнитное поле.

Третье уравнение Максвелла представляет собой общую запись теоремы Гаусса для электрического поля в диэлектрике.

- 3-е уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла представляет собой теорему Гаусса только для магнитного поля.

- 4-е уравнение Максвелла

Все входящие величины взаимосвязаны. ; ;

20. Плоская электромагнитная волна. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова-Пойнтинга.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространенную вдоль оси x. В этом случае как E​так и H не будут зависимы от y, z

y,z означают, что вектора Е и H взаимно перпендикулярны и направлены вдоль оси y,z.

Электромагнитная волна обладает след. свойствами:

1.Вектора Е и Н взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярно вектору скорости v. Причем вектора Е,Н,v прямо винтовую систему.

2.В электромагнитной волне Е и Н всегда колеблется в одинаковой фазе, причем значения этих векторов связаны след. соотношением:

Электромагнитная волна — это совокупность двух энергий: электрического и магнитного поля этой волны.

Притом, плотность потока энергии

Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и их векторн. произведение будет направлено вдоль их v, тк совпадает с направлением энергии, а модуль этого произведения равен ЕН. Величина S=[ЕН] и есть вектор Умова-Пойнтинга. Он показывает направление распространения энергии электромагнитной волны, а по модулю равен плотности потока этой энергии.

18. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Согласно теории Стокса

Поскольку интегрирование производится по одной и той же поверхности, то будут равны и подынтегральные выражения

в виду произвольности выбора поверхности интегрирования будут равны и подынтегральные выражения

Согласно теореме Остроградского-Гаусса поток вектора сквозь замкнутую поверхность S равен объему интеграла от div A

интегрирование производится по одному и тому же объему, то подынтегральные выражения будут равны

=0

div=0

13. Волновое уравнение.

Уравнение любой волны является решением некоторого дифур. Уравнения называемого волновым уравнением.

Рассмотрим плоскую волну расположенную в y0x.

Будем пологать что в источнике совершается по закону

Колебания в плоскости на расстоянии l от источника запаздывают по фазе ;=rcos kl=k=; =k=

данное уравнение, есть уравнение плоской незатухающей волны распространяющийся вдоль направления волнового вектора k. оно дает отклонение от положительного равновесия точки среды с радиусов вектора r в момент времени t. Отметим, если волна распространяется в произвольном направление, то

По Лапласу