Пример 2-2 Пересекающиеся прямые

Рассмотрим две штриховые линии АВ и EF на рис. 2-3, конечные точки которых имеют координаты

и

.

Уравнение прямой АВ имеет вид -(2/3) х + у = -1/3, а прямая EF задается уравнением х + у = 1. В матричном виде пучок прямых представляется в виде

Используя матрицу обратного преобразования (2-21), получим точку пересечения этих прямых

Теперь преобразуем эти линии с помощью матрицы

Результирующие прямые АВ и EF показаны на рис. 2-3. В матричном виде уравнения преобразованных линий имеют вид

с точкой пересечения .

Преобразуя точку пересечения исходных линий, получим

что тождественно точке пересечения преобразованных линий.

Из рис. 2-3 и примера 2-2 видно, что исходные штриховые прямые АВ и EF не перпендикулярны друг другу. Однако преобразованные прямые АВ и EF, показанные сплошной линией, являются перпендикулярными. Таким образом, преобразование [T] переводит две пересекающиеся неперпендикулярные прямые в две пересекающиеся перпендикулярные. Смысл обратного преобразования [T]^-1 состоит в переводе двух пересекающихся перпендикулярных прямых в две пересекающиеся, но не перпендикулярные, что может привести к неприятным геометрическим последствиям. Значительный интерес представляет вопрос, при каком условии перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 2-14, где разберем его подробнее.

Дополнительное изучение рис. 2-3 и примера 2-2 показывает, что преобразование [Т] включает в себя поворот, отражение и масштабирование. Рассмотрим каждое из этих преобразований отдельно.

9. ПОВОРОТ

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2-4) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат

.

Если использовать матрицу размером (3 х 2), состоящую из координат х и у вершин треугольника, то можно записать

что является координатами результирующего треугольника АВС.

Поворот на 180° относительно начала координат достигается путем следующего преобразования

,

а на 270^о относительно начала координат преобразованием

.

Разумеется, что матрица тождественного преобразования

соответствует повороту вокруг начала координат на 0° или 360°. Обратим внимание, что в этих примерах не встречаются ни масштабирование, ни отражение.

В этих примерах осуществляется преобразование в специальных случаях поворота вокруг начала координат на углы 0°, 90°, 180° и 270°. Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол  ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки Р (рис. 2-5). Обозначим r —длину вектора, а —угол между вектором и осью х. Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол  и попадает в точку Р. Записав векторы положений для Р и Р. получаем:

и

.

Используя формулу для cos суммы углов, перепишем выражение для Р следующим образом

Сравнивая три последних выражения, получим

(2-27a)

(2-27b)

или в матричном виде

(2-28)

Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол  задается матрицей

(2-29)

Повороты являются положительными, если они осуществляются против часовой стрелки относительно точки вращения (рис. 2-5).

Определитель общей матрицы поворота имеет следующий вид:

(2-30)

В общем случае преобразования по матрице с детерминантом, равным 1, приводят к полному повороту.

Предположим теперь, что требуется возвратить точку Р обратно в Р, т. е. выполнить обратное преобразование. Очевидно, что требуемый угол поворота равен -. Из формулы (2-29) возьмем матрицу для выполнения необходимого преобразования

, (2-31)

так как cos(-) = cos и sin(- ) = - sin. Выражение [T]^-1 является формальной записью обратной матрицы [T]. Можно показать, что матрица [Т]^-1 является обратной к [T], если вспомнить, что результат умножения матрицы на обратную дает единичную матрицу. В нашем случае:

где [I] —единичная матрица.

Анализ выражений (2-29) и (2-31) приводит к другому интересному и полезному результату. Вспомним, что транспонирование матрицы определяется заменой ее строк столбцами. Обозначим транспонированную матрицу [Т] как [Т]^T. Сравнивая ее с [T]^-1, видим, что

(2-32)

Обратная матрица вращения является транспонированной. Поскольку формально определитель обратной матрицы вычисляется гораздо сложнее, чем определитель транспонированной, то выражение (2-32) является достаточно важным и полезным результатом. В общем случае обратной для любой матрицы преобразования полного поворота, т. е. матрицы с определителем, равным +1, является ее транспонированная матрица (такие матрицы называют ортогональными).

10. ОТРАЖЕНИЕ

В то время как полный поворот на плоскости ху обычно осуществляется в двумерном пространстве относительно нормали к плоскости, отражение представляет собой тот же поворот на угол 180° в трехмерном пространстве и обратно на плоскость относительно оси, лежащей в плоскости ху. На рис. 2-6 приведены примеры двух отражений на плоскости треугольника DEF. Отражение относительно прямой у = 0 (ось х) получено с использованием матрицы

. (2-33)

В этом случае новые вершины треугольника DEF будут определяться преобразованием

Подобным образом отражение относительно оси у при х = 0 будет иметь вид

(2-34)

Отражение относительно прямой у = х осуществляется с помощью матрицы

. (2-35)

Выполнив преобразования, получим координаты вершин треугольника D⁺E⁺F⁺

Аналогичным образом отражение относительно оси х будет иметь вид

(2-36)

У каждой из этих матриц определитель равен -1. В общем случае, если определитель матрицы преобразования равен -1, то преобразование дает полное отражение.

Если оба полных отражения осуществляются последовательно относительно прямых, проходящих через начало координат, то результатом будет полный поворот относительно начала координат. Это можно увидеть, обратившись к следующему примеру.