1.6. Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.

,

(1.12)

где i – номер тока

n – число токов, сходящихся в узле.

Обычно подходящие к узлу токи считают положительными, а уходящие отрицательными, хотя можно считать и наоборот.

Например, для узла, изображенного на рис. 1.7, считая подходящие токи положительными, уравнение первого закона Кирхгофа запишется так:

I1+ I2– I3= 0.

(1.13)

Если считать подходящие токи отрицательными, то уравнение первого закона Кирхгофа примет вид:

– I₁– I₂+ I₃= 0. (1.14)

Второй закон Кирхгофа относится к контуру электрической цепи и гласит: алгебраическая сумма электродвижущих сил, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре:

,

(1.15)

где i – номер ветви контура

n – число ветвей контура.

Токи, протекающие в ветвях контура, и ЭДС, действующие в контуре считаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контуров.

Например, для фрагмента цепи, изображенной на рис. 1.8 уравнение второго закона Кирхгофа запишется так:

Е₁ – Е₂ = I₁R₁ – I₂R₂ + I₃R₃ – I₄R₄

ЭДС Е₂, токи I₂и I₄взяты со знаком “–”, т.к. их направление не совпадает с указанным направлением обхода контура. В уравнение не вошли внутренние сопротивления источниковr_i, т.к. на схеме указаны идеальные источники с r₁= 0 и r₂= 0.

1.7. Расчет цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа является универсальным методом, применимым к цепям любой сложности постоянного и переменного токов. Рассчитать цепь это значит, по данным значениям электродвижущих сил и параметров элементов определить величины и направления токов во всех ветвях. Для определения токов сложной цепи необходимо составить столько уравнений, сколько неизвестных токов

,

(1.16)

где p – число необходимых уравнений;

n – число независимых контуров;

m – число узлов.

При расчете следует придерживаться следующей последовательности:

– произвольно указать направления токов во всех ветвях;

– выбрать направления обхода контуров (лучше, если во всех контурах это направление будет одним и тем же);

– составить уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного;

– составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров;

– решить полученную систему уравнений любым известным методом.

Пусть необходимо составить систему уравнений для нахождения токов цепи, представленной на рис. 1.9. Произвольно выбранные направления токов в ветвях и направления обхода указаны на рисунке. По первому закону Кирхгофа для узла “а” имеем:

I₁+ I₂+ I₃= 0

По второму закону Кирхгофа для контура E₁R₃R₁E₁имеем:

E₁= I₁R₁– I₃R₃

Аналогично для контура R₃Е₂R₂R₃имеем:

– E₂= –I₂R₂+ I₃R₃

Приводим систему уравнений к нормальному виду:

I₁ + I₂ + I₃ = 0

R₁I₁ + 0I₂ – R₃I₃ = E₁

0I₁ – R₂I₂ + R₃I₃ = – E₂

При расчете на ЭВМ составляется матрица коэффициентов, которая вводится в память машины. Количество строк в матрице должно быть равно количеству уравнений.

Таблица 1.1

Матрица коэффициентов

№ уравнения	Коэффициент при токе I1	Коэффициент при токе I2	Коэффициент при токе I3	Свободный член
1	1	1	1	0
2	R1	0	– R3	E1
3	0	– R2	R3	– E2

Если в результате расчета некоторые токи получатся отрицательными, это значит, что их направление было выбрано не верно и его надо сменить на обратное.