книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Полученный результат будет зависеть от направления век­ тора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упро­

стится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляри­

зацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для раз­ личных поляризаций будут разными, и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, пер­ пендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рас­ сматривая простейший пример, однако в обоих случаях прин­ цип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е* имеет только 2-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания

только одна 2-компонента. Таким образом, для всех волн Ех и EV1 Рх и Pv равны нулю. Направления векторов Е и В в этих

волнах показаны на фиг. 33.6. (Здесь мы изменили нашему пер­ воначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить из граничных усло­ вий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свобод­ ное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений. Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.)

Теперь наши граничные условия [уравнения (33.26) — (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у нас есть только одна преломлен­ ная волна, а вот в области 1 —их две. Какую же из них нам взять?

Поля в области 1 будут, разумеет­ ся, суперпозицией полей падаю-

Ф иг. 33.6. Поляризации отраженной и преломленной волн, когда поле Е в па-

дающей волне перпендикулярно пло­ скости падения.

81

щей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет урав­ нениям Максвелла,то мм удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на гра-

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала у—0. Для этого значения уравнение (33.38) превраща­

ется в

Е0еш + E'aeia'<=

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляций одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.

Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для *= 0 . Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех зна­ чениях у, мы получаем

82

Из формулы (33.40) k'2=k-, так что

k? + k'y2 = k2 + k2.

Комбинируя это с (33.41), находим

ь'2= k2

или k'x= ± ks. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую

волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отра­ жения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа

оказываются комплексными и нам следует воспользоваться (33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы 0,- и 0* из (33.46),

и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующи­ ми комплексными величинами kx или /£.]

83

Д о сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех со и ft, мы можем сократить экспоненциаль­ ный множитель в (33.38) и получить

Но поскольку мы не знаем ни Е'а, ни Е’0, то необходимо еще

одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Ех и Ev не помогут, ибо все Е имеют

только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

&xt= &xi‘

Согласно условиям (33.35) — (33.37),

Еа + Е'0 = Е"0.

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) В гг= В ги но у вектора

В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие —

x—0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее

граничное условие:

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно Е\

84

Ф и г . 33.7. Поляризации волн, когда тюле Е в падающей волне па­ раллельно плоскости падения.

и Вспоминая, что/г'=—/гж, получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k"x эти формулы дают нам все,

что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллель­ ным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как х-9так и ^/-компоненту. Вся алгебра при этом будет

менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное

поле, которое целиком направлено по оси г.) При этом мы найдем

(33.53)

и

(33.54)

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отражен­

ной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного пока­

зателя (или вещественных k) можно записать:

85

что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех п, то сходство

будет восстановлено. Подставляя n2= n i(sin Of/sin 9*) и умножая числитель и знаменатель на sin в(, получаем

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто

Поскольку амплитуды Е'п и Е0 измеряются в том же самом мате­

риале, интенсивности пропорциональны квадратам электричес­ ких полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. По­ добным же образом формула (33.53) тоже аналогична формуле (33.4).

Для волн, падающих перпендикулярно, 0г=О и 0|=О . Фор­ мула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой

Этот результат, естественно, применим для «любой» поляриза­ ции, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».

§ 5. Отражение от металлов

Теперь мы можем использовать наши результаты для пони­ мания интересного явления — отражения от металлов. Почему металлы блестят? В предыдущей главе мы видели, что показатель преломления металлов для некоторых частот имеет очень боль­ шую мнимую часть. Давайте посмотрим, какова будет интенсив­ ность отраженной волны, когда свет падает из воздуха (с по­ казателем п = 1) на материал с п= —ш /. При этом условии урав­

нение (33.55) дает (для нормального падения)

EQ _ 1 itlf ~Щ~ 1 —int ’

85

Для интенсивности отраженной волны нам нужны квадраты абсолютных величин Е'0 и Е0:

Для материала с чисто мнимым показателем преломления по­ лучается стопроцентное отражение!

Металлы не отражают 100% света, но все же многие из них хорошо отражают видимый свет. Другими словами, мнимая часть их показателя очень велика. Однако мы видели, что боль­ шая мнимая часть показателя означает сильное поглощение. Итак, имеется общее правило: если какой-то материал оказы­ вается очень хорошим поглотителем при какой-то частоте, то

отражение волн от его поверхности очень велико и очень мало волн попадает внутрь. Этот эффект вы можете наблюдать на сильных красителях. Чистые кристаллы самых сильных краси­ телей имеют «металлический» блеск. Вероятно, вы замечали, что на краях бутылки с фиолетовыми чернилами засохший краситель имеет золотистый металлический блеск, а засохшие

красные чернила имеют иногда зеленоватый металлический оттенок. Красные чернила поглощают из проходящего света

зеленые лучи, так что, если концентрация чернил очень велика, они будут давать сильное поверхностное отражение при частоте

зеленого света.

Вы можете очень эффектно продемонстрировать это. Намажь­ те стеклянную пластинку красными чернилами и дайте им вы­ сохнуть. Если вы направите пучок белого света на обратную сторону пластинки (фиг. 33.8), то сможете наблюдать проходя­ щий красный свет и отраженный зеленый свет.

Ф и г. 33,8. Материал, кото­ рый сильно поглощает свет с частотой со, отражает его с той же частотой.

87

Ф и г . 33.10. Д ля очень маленькой щели внутреннее отражение не будет тол- ним», за щелью появляется прошедшая волна.

воздухе возникают поля, но они не выходят за пределы расстояний порядка длины волны света.

большим углом, то она полностью отражается; если же придви­ нуть к поверхности другой кусок стекла (так что «поверхность» фактически исчезает), то свет будет проходить. В какой точно момент происходит этот переход? Ведь наверняка должен суще­ ствовать непрерывный переход от полного отражения к полному его отсутствию! Ответ, разумеется, состоит в том, что если про­ слойка воздуха настолько мала, что экспоненциальный «хвост» волны в воздухе имеет еще ощутимую величину во втором куске стекла, то он будет «трясти» электроны и порождать новую волну (фиг. 33.10). Некоторое количество света будет проходить через систему. (Конечно, наше решение неполно; нам следовало бы заново решить все уравнения для случая тонкого слоя воздуха между двумя областями стекла.)

Для. обычного света этот эффект прохождения можно наблю­ дать, только если щель очень мала (порядка длины волны, т. е. 10” $ см ), но для 3-сантиметровых волн он демонстрируется

очень легко. Для таких волн экспоненциально затухающие поля распространяются на расстояние нескольких сантиметров. Микроволновая аппаратура, с помощью которой демонстрируют этот эффект, изображена на фиг. 33.11. Волны из маленького передатчика 3-сантиметровьгх волн направляются на парафи­ новую призму, имеющую сечение в форме равнобедренного пря­ моугольного треугольника. Показатель преломления парафина для этих частот равен 1,50, поэтому критический угол будет 41,5°. Таким образом, волны полностью отражаются от поверх­ ности, наклоненной под 45°, и принимаются детектором А (фиг. 33.11, а). Если к первой призме плотно приложить вторую

парафиновую призму (фиг. 33.11, б), то волны проходят прямо сквозь них и регистрируются детектором В. Если же между призмами оставить щель в несколько сантиметров (фиг. 33.11, в),

то мы получим как отраженную, так и проходящую волны. Поместив детектор В в нескольких сантиметрах от наклоненной

под 45° поверхности призмы, можно увидеть поле вблизи нее.

89

JC?

a

Ф и г . 33.11. ПрбникнЬвёний волн внутрённёго дтраэгСёния.