книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г . 30.13. Дислокация в кристалле.

несовершенным кристаллам металла. Кристаллы чистого же­

леза совсем мягкие, но небольшая концентрация атомов при­ месей может вызвать достаточное количество дефектов, чтобы противостоять дислокациям. Как вы знаете, сталь, состоящая в основном из железа, очень тверда. Чтобы получить сталь, при плавке к железу примешивают немного углерода; при быстром охлаждении расплавленной массы углерод выделяется в виде маленьких зерен, образуя в решетке множество микроскопиче­ ских нарушений. Дислокации уже не могут свободно передви­ гаться, и металл становится твердым.

Чистая медь очень мягкая, но ее можно «закалить» наклепом. Это делается отбиванием или сгибанием ее в одну и другую стороны. В таком случае образуется много различных дислока­ ций, которые взаимодействуют между собой и ограничивают подвижность друг друга. Быть может, вы видели фокус, когда берут кусочек «мягкой» меди и легко обвивают чье-нибудь за­ пястье в виде браслета. В тот же момент медь становится зака­ ленной и разогнуть ее становится очень трудно! «Закаленный» металл типа меди можно снова сделать мягким с помощью от­ жига при высокой температуре. Тепловое движение атомов «размораживает» дислокации и вновь создает отдельные боль­ шие кристаллы. О дислока­ циях можно рассказывать очень много. Так, до сих пор

Ф и г . 30.14. Винтовая дислокация.

21

мы описывали только так называемые «дислокации скольжения»

(краевые дислокации). Существует еще множество других видов, в частности винтовая дислокация, изображенная на фиг. 30.14.

Такие дислокации часто играют важную роль в росте крис­ таллов.

§ 8. Дислокации и рост кристаллов

Одну из величайших загадок природы долгое время пред­ ставлял процесс роста кристаллов. Мы уже описывали, как атом, многократно примериваясь, может определить, где ему лучше — в кристалле или снаружи. Но отсюда следует, что каждый атом должен найти положение с наименьшей энергией. Однако атом, попавший на новую поверхность, связан только одной-двумя связями с нижними атомами, и его энергия при этом не равна энергии того атома, который попал в угол, где он окружен атомами с трех сторон. Вообразим растущий кри­ сталл как набор из кубиков (фиг. 30.15). Если мы поставим новый кубик, скажем, в положение А, он будет иметь только

одного из тех шести соседей, какими он в конце концов будет окружен. А раз не хватает стольких связей, то и энергия его не будет очень низкой. Более выгодно положение В, где кри­ сталл уже имеет половину своей доли связей. И действительно, кристаллы растут, присоединяя новые атомы к участкам типа В.

Но что произойдет, когда данный ряд завершится? Чтобы начать новый ряд, атом должен осесть, имея связь с двух сторон, а это опять же маловероятно. Даже если он осядет, что прои­ зойдет, когда весь слой будет завершен? Как мог бы начаться новый слой? Один из возможных ответов — кристалл предпо­ читает расти по дислокации, например по винтовой дислокации, вроде той, что показана на фиг. 30.14. По мере прибавления

кубиков к этому кристаллу всег­ да остается место, где можно получить три связи. Следова­

л а г. 30.15. Схематическое представление роста кристалла.

22

Глаша

24

я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень под­ робно. Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне за­ конченный курс; она столь же полна, как и любой курс электри­ чества и магнетизма, дюке институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы,

как принцип наименьшего действия, лагранжианы, гамильто­ нианы и т. п., которые представляют наиболее элегантный способ описания механики. Однако полный свод законов механики, за

исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магнетизм, у нас закончены мно­ гие разделы. Но вот квантовую механику мы так и не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что та­ кое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас.

В гл. 30 мы подчеркивали, что свойства кристаллического

вещества в разных направлениях различны — мы говорим, что оно анизотропно. Изменение индуцированного дипольного мо­

мента с изменением направления приложенного электрического поля — это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцированный дипольный момент единицы объема Р пропорционален напряженности при­ кладываемого поля Е. (Для многих веществ при не слишком больших Е это очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет а *. Теперь мы хотим рассмотреть вещества, у которых а зависит от направления приложенного

поля, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбран­

ного кристалла электрическое поле Е*, направленное по оси х9 дает поляризацию Рь направленную по той же оси, а одинаковое с ним по величине электрическое поле Еа, направленное по оси у9

приводит к какой-то другой поляризации Ра, тоже направленной по оси у. А что получится, если электрическое поле приложить

под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и у9то поляризация Р

равна сумме векторов Pi и Ра, как это показано на фиг. 31.1, а. Поляризация уже не параллельна направлению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так происходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые§*

* В гл. 10, следуя общепринятому соглашению, мы писали Р = е ах£ и величину х (хи) называли «восприимчивостью». Здесь же нам удобнее пользо­ ваться одной буквой, так что вместо е0х мы будем писать а. Для изотропного диэлектрика а = (х —1)е0, где х — диэлектрическая проницаемость (см. гл. 10, § 4, вып. 5).

25

Ф и г , 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

метрии внутренних упругих сил пере­ мещение идет не по направлению внеш­ ней силы.

Разумеется, угол 45° ничем не выде­ лен. То, что индуцированная поляриза­

ция не направлена по электрическому полю, справедливо и в общем случае.

Перед этим нам просто «посчастливи­ лось» выбрать такие оси х и у, для

которых поляризация Р была направ­ лена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по от­ ношению к осям координат, то электрическое поле Е», направ­ ленное по оси у, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызванная по­ лем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и у-

компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1, б. Но несмотря на все это усложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-прежнему про­

порциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом на­ правлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Рх, Ру и Рг, каждая из которых пропорциональна Ех. Коэффициенты пропорциональности мы назвали ахх, аух и а1Х (первый значок

говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем

26

а для поля в z-направлении

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то ^-компонента поляризации Р будет суммой двух Рх,

определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и г, то составляю­

щие поляризации Р должны быть суммой соответствующих сла­ гаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ ностью описываются девятью величинами (ахх, аху, ахг,а уг, ...)• которые можно записать в виде символа a{J. (Индексы i и у заменяют одну из трех букв: х, у или г.) Произвольное электри­ ческое поле Е можно разложить на составляющие Ех, Еу и Ez. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a(j и найти

Рх, Ру и Pz, которые в совокупности дают полную поляриза­ цию Р. Набор девяти коэффициентов ai} называется тензором — в данном примере тензором поляризуемости *. Точно так же, как три величины (Ех, Ev, Ez) «образуют вектор Е», мы гово­

рим, что девять величин (ахх, аху, ...) «образуют тензор а (/».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х',

у' и г' компоненты вектора Ех-, Еу, Ег> тоже оказываются дру­ гими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для

разных систем координат коэффициенты а{} оказываются раз­

личными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­ няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в новой

системе координат, мы должны получить ту же самую поляри­

зацию Р. Для любой новой системы координат Ру будет линейной комбинацией Рх, Ру, и Рг:

Pxe= aPx -{-bPy + cPzf

* Обычно для коэффициентов пропорциональности между Р и Е пользу­ ются термином тензор восприимчивости, оставляя термин поляризуемость для величин, относящихся к одной частице (ср. примечание на стр. 50).— Прим, ред.

27

и аналогично для других компонент. Если вместо Рх, Р v и Рг подставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

РХ‘= а. (аххЕх аХуЕу -}* &хгЕг) *1*

+Ь (аухЕх + аууЕу + ••■) + -\-с{агхЕх-\-

Теперь напишите, как выражается Ех, Еи и Ег через Ех>, Еу> и Ег', например,

Ех= а'ЕХ' + b'Ey- +с'Ег’,

где числа а', Ъ' и с' связаны с числами а, b и с, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Рх>через компо­ ненты Ех-, Еу>и Ег', т. е. получились новые аи . Никаких хит­

ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то а не изме­

няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­ тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а . Но если они известны для какой-то одной ориентации кристалла,

то с помощью только что описанного преобразования их можно

найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлект­ рические свойства кристалла полностью описываются заданием

компонент тензора поляризуемости ац в любой произвольно

выбранной системе координат. Точно так же как вектор ско­ рости v=(vx, vv, ог) можно связать с частицей, зная, что три его

компоненты при замене осей координат будут изменяться не­ которым определенным образом, тензор поляризуемости ai},

девять компонент которого при изменении системы осей коорди­ нат преобразуются вполне определенным образом, можно свя­ зать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­

а суммирование ведется по j —x, у и z. Для работы с тензорами

было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из таких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (2 ) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае /), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

28

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­ рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e,£V2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть

перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE^dx, а если таких зарядов

в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qExNax. Но qNdx равно изменению дипольного

момента единицы объема dPx. Так что работа, затраченная на

единицу объема, равна

ЕхdPx.

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­ кой должна быть работа в единице объема:

E d P .

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­ траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E-dP. Обозначая ее через иР, можно написать*

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­ зить Р через Е. В результате получим

i /

Плотность энергии иР— величина, не зависящая от выбора

осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­ вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор аи на самом деле нужно называть «тензором вто­

рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого

ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии ир— тензором

нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры

* Эту работу, затраченную на.создание поляризации электрическим полем, не нужно путать с потенциальной энергией — р0- Е постоянного дипольного момента р„ в поле Е.

29

с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­ тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался

свойством: он симметричен, т. е. а,ху=аух и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­

ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1)включите электрическое поле в направлении оси х\

2)включите поле в направлении оси у\

3)выключите х-поле;

4)выключите у-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, аху должно быть равно аих. Однако те же рассуждения можно провести и для ахг и т. д.

Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­ чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда,

согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Ех, мы могли бы определить ахх, а с одной компонентой Ev можно определить

ауу. Включив обе компоненты Ех и Еу, мы из-за присутствия члена (аХу+<ХуХ) получим до­

бавочную энергию, ну а пос-

гию поляризации.

30