книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Построение математической модели непрерывного канала свя­ зи, отражающей преобразования сигналов в канале с учетом ре­ альных свойств среды передачи и действия помех, является не­ обходимым этапом при выборе и разработке приемной и передаю­ щей аппаратуры, а также служит основой для создания различного вида имитаторов канала, используемых при испыта­ ниях аппаратуры связи.

В реальных условиях не только помехи, но зачастую и харак­ теристики среды передачи приходится рассматривать как случай­ ные функции времени, а иногда — и пространственных координат, и обращаться к соответствующим стохастическим моделям. Сле­ дует заметить, что по мере совершенствования систем связи не­ редко возникает потребность и в уточнении ранее известных мо­ делей каналов, в результате которого те из них, которые ранее считались детерминированными, приходится рассматривать уже как стохастические.

До недавнего времени для описания случайных процессов и по­ лей в каналах связи преимущественно использовались модели в форме конечномерных распределений вероятностей и соответству­ ющих моментных функций [3, 25, 26, 54, 56— 58, 75, 76, 84, 97, 118, 123, 138, 146]. Громоздкость этого аппарата, особенно замет­ ная при использовании многомерных распределений или моментов высших порядков, заставляет в подавляющем большинстве случа­ ев на практике ограничиваться описанием сигналов и помех в терминах первых двух моментов или соответствующих спектраль­ ных характеристик, которое, как известно, является полным толь­ ко для гауссовских процессов и полей. Между тем в каналах связи нередко помехи (например, сосредоточенные по спектру и импульсные) и особенно случайно изменяющиеся характеристики описываются негауссовскими распределениями.

Поэтому все большее внимание привлекает другой подход к моделированию каналов связи, в основе которого лежит пред­ ставление случайных процессов и полей стохастическими диффе­ ренциальными уравнениями (СДУ) на основе метода переменных состояния.

Сущность представления случайного процесса стохастически­ ми дифференциальными уравнениями состоит в том, что он ин­ терпретируется как выходной сигнал некоторой гипотетической динамической системы (ее называют формирующим фильтром), описываемой такими уравнениями и возбуждаемой стандартным случайным процессом с известными характеристиками, в качестве которого обычно выбирается белый шум. Такое описание облада­ ет особенно важными преимуществами (в частности, обеспечива-

4

ется марковское свойство процесса) в том случае, когда порож­ дающие процесс СДУ записаны в форме уравнений состояния. Формирующий фильтр относится к моделям феноменологического типа — он отражает не реальный физический механизм формиро­ вания случайного процесса, а лишь его наблюдаемые статистиче­ ские свойства.

Модели в форме СДУ обладают рядом привлекательных для инженера свойств. Прежде всего, в отличие от других видов опи­ сания случайного процесса (например, моментными функциями) они непосредственно указывают способ генерации его реализа­ ций, для осуществления которого можно использовать аналоговые вычислительные устройства и блоки, применяемые при моделиро­ вании дифференциальных уравнений, или соответствующие про­ граммы для ЭВМ. Это, в частности, очень важно при построении имитаторов каналов связи. Использование СДУ в форме уравне­ ний состояния позволяет синтезировать алгоритмы оптимальной обработки для гораздо более широкого класса сигналов и помех, чем другие методы, и эти алгоритмы лучше приспособлены для реализации на ЭВМ.

ским построением СДУ по заданным характеристикам случайного процесса в канале или по наблюдениям его реализаций, а также с последующим использованием СДУ для аппаратурного модели­ рования канала связи и синтеза алгоритмов приема, до послед­ него времени не были в полной мере решены. Аналогичные воп­ росы для случайных функций многих переменных (случайных полей), которые описывают сигналы и помехи в пространствен­ но-временных каналах связи, исследованы еще меньше.

В настоящее время происходит интенсивное развитие метода переменных состояния в направлении обобщения на новые обла­ сти применения и типы задач, в частности на задачи оптималь­ ной обработки случайных полей. Однако использование метода в задачах техники связи, в особенности при создании имитаторов каналов, пока еще является очень ограниченным и явно не отве­ чает его широким возможностям. Это в значительной мере объ­ ясняется тем, что широкому кругу инженеров аппарат представ­ ления случайных процессов стохастическими дифференциальными уравнениями еще знаком очень мало, а потому кажется менее

удобным и привычным, чем обычные спектральные и корреляци­ онные представления. Другая причина кроется в том, что имею­ щаяся в настоящее время литература в этой области в основном посвящена теории СДУ и содержит очень мало конкретных реко­ мендаций относительно того, как по заданной информации о ха­ рактеристиках процесса получить его модель в форме СДУ или, наоборот, определить характеристики по известному СДУ. Еще менее освещен вопрос о том, как получить СДУ, располагая лишь наблюдениями единственной реализации процесса. Многие инже-

5

Глава 1

МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ КАНАЛОВ СВЯЗИ

1.1. КАНАЛЫ СВЯЗИ И ИХ МОДЕЛИ

1.1.1. Виды каналов

Рассмотрим структурную схему системы связи, предназначенную для переда» чи информации в одном направлении (рис. 1.1). Сообщения а поступают от источника И, который выбирает их из некоторого множества А. Не конкрети­ зируя здесь детально форму сообщений, заметим лишь, что они могут быть как скалярными, так и векторными, зависеть от времени, пространственных коорди­ нат и т. п. Если указанное множество дискретно (счетно), т. е. его элементы

Рис. 1.1. Общая структурная схема системы связи

общений

можно пронумеровать, то источник и выдаваемые им сообщения называют ди­ скретными.

Передатчик (Пд) преобразует каждое сообщение в сигнал, который в общем случае представляет собой некоторое физическое поле (электромагнитное, аку­ стическое и т. п.), способное распространяться в среде, используемой для пере­ дачи (линии связи). Таким образом, в общем случае сигнал необходимо рассмат­ ривать как функцию ua(t, г) времени t и пространственных координат г= (rt,

..., г/). В качестве дополнительных координат сигнала наряду с обычными де­ картовыми могут рассматриваться угловые и другие координаты, а также неко­

мах здесь и далее они всюду обозначены двойными стрелками.

Т

Кроме того, сигнал в форме электромагнитного поля 1 имеет несколько поля­ ризационных компонент, и во многих случаях его необходимо рассматривать как вектор: utt(f, r) = [uat(f, г), uam(t, г )]т Векторы всюду выделены жирным шрифтом, верхний индекс Т здесь и далее — знак транспонирования.

Всреде распространения сигнал подвергается действию различного рода

Его принадлежность определенному сообщению ,в месте приема, в отличие от места передачи, априорно не известна (поэтому индекс а у z(t, г) не указан), установить ее— задача приемного устройства. Последнее в результате соответ­

На практике преобразование сообщения в сигнал на передаче и обратное преобразование на приеме осуществляется обычно поэтапно и, например, система передачи дискретных сообщений (рис. 1.2) включает в себя такие элементы, как кодер (К), модулятор (М), входные (Вх) и выходные (Вых) блоки, демодуля­ тор (ДМ), декодер (ДК).

При описании передачи информации важнейшую роль играет понятие канала связи. Под каналом связи понимают совокупность технических средств, предна­ значенных для передачи информации между некоторыми точками Л и В рас­ сматриваемой системы [123]. Эти точки могут выбираться по-разному, но при описании систем связи точка А обычно располагается на передающей стороне системы, а точка В — на приемной.

В зависимости от того, дискретны или непрерывны множества сигналов на входе и выходе канала, различают дискретные и непрерывные каналы. Канал, дискретный по входу и непрерывный по выходу или наоборот, называют ди­ скретно-непрерывным (полунепрерывным) или непрерывно-дискретным.

В системе передачи дискретных сообщений (см. рис. 1.2) можно выделить каналы всех перечисленных типов. Элементы, расположенные между входом мо­ дулятора (точка А\) и выходом демодулятора (точка Вх), образуют дискретный канал. Канал от входа кодера (Л0) до выхода декодера (В0) называют расши­ ренным дискретным каналом или каналом передачи дискретной информации

{данных) [33]. Участок передачи от выхода модулятора до входа демодулятора (Аг—Bz) и сама линия связи (среда передачи) представляют собой непрерывные каналы, так как сигналы на них образуют континуум. К типу дискретно-непре­ рывных каналов относится участок А\—В2.

Необходимо подчеркнуть, что любой дискретный канал всегда образуется на основе некоторого непрерывного канала, который представляет собой реальная физическая среда передачи с соответствующими входными, и выходными (напри­ мер, антенными) устройствами. Поэтому изучение непрерывных каналов имеет первостепенное практическое значение. Именно такие каналы рассматриваются далее в этой книге.

В непрерывном канале А%—В2, который включает в себя выходное устрой­ ство, непосредственно формирующее поле в среде передачи, и соответствующее входное устройство на приемной стороне (например, антенны), на входе и выходе

1 В этом случае рассматривается одна из составляющих поля — электриче­ ская или магнитная, так как они несут одинаковую информацию.

8

имеются сигналы, зависящие только от времени. Подобные каналы можно на­ звать временными или пространственно-сосредоточенными по входу и выходу, но обычно для них (поскольку иные до последнего времени не рассматривались) особого термина не используют. Однако в системе связи, как отмечалось, в об­ щем случае имеются и такие участки передачи, где действуют сигналы, распре­ деленные в пространстве (поля) и которые естественно называть пространствен­ но-временными каналами (ПВ каналами) [57]. Таков, например, канал от выхода антенны передатчика (Л3) до входа антенны приемника {Вг) (см. рис. 1.2). В данной книге в основном рассматриваются ПВ каналы, включающие в себя антенну (выходное устройство) передатчика. На входе такого канала действуют сосредоточенные сигналы, и он является пространственио-временнйм только по выходу.

Разумеется, построение модели ПВ канала требует значительно большего объема исходной информации по сравнению с обычным. Однако на основе такой модели можно решать задачу совместной оптимизации всех элементов приемного устройства, включая синтез антенн.

1.1.2. Сущность и цели моделирования каналов связи. Виды моделей

Описание любого физического, объекта неизбежно являете# некоторой его идеализацией, отражающей лишь наиболее сущест­ венные (с точки зрения тех или иных задач) свойства, и опреде­ ляет, таким образом, лишь некоторую модель реального объекта. В этом смысле все приведенные выше структурные схемы и мате­ матические описания каналов следует рассматривать как их мо­ дели.

В более узком смысле под математической моделью канала

понимают указание характеристик его входных и выходных сиг­ налов и их математической взаимосвязи. Модель должна быть построена таким образом, чтобы содержать всю информацию о

структуры и алгоритмов работы передающего и приемного уст­ ройств. Кроме того, математическая модель канала часто синте­ зируется для последующего построения на ее основе физической модели — имитатора канала, необходимого при испытаниях аппа­ ратуры связи.

При определении математической модели непрерывного кана­ ла должны быть заданы множество допустимых входных сигна­ лов U, множество выходных сигналов Z и связывающее их ото­ бражение U=^Z (в общем случае стохастическое).

Рассмотрим как один из наиболее общих векторный ПВ ка­ нал с сосредоточенным входом. Множество входных сигналов,

1 При необходимости вид перечисленных множеств может быть конкретизи­ рован. Например, в качестве Z можно рассматривать пространство векторных функций с интегрируемым квадратом L n2(Rp+,)> где R^+l— (р+ 1)-мерное евклидово пространство.

9

Хотя факторы, действующие в реальных каналах на переда­ ваемые сигналы, весьма многообразны, обычно поле на приемной стороне можно представить в виде

где полезная составляющая принятой смеси, связанная с сигна­ лом на входе некоторым оператором 3?, зависящим от свойств среды передачи, входных и выходных устройств,

Таким образом, канал молено рассматривать как многомерную динамическую систему, имеющую т пространственно-сосредото­

ua(* )e U , z(f, r)<=Z, n (t, r ) e N c Z .

Оператор 3? в (1.1.3) может быть детерминированным или случайным (стохастическим); соответственно различают детерми­ нированные и стохастические каналы (точнее — модели каналов). Реализации оператора <стохастического канала представляют со­ бой выборку из некоторого ансамбля операторов с заданным на нем распределением вероятностей, а выходные сигналы даже при

.детерминированных сигналах на входе и отсутствии аддитивных помех являются случайными функциями.

При моделировании каналов связи возможны два существенно разных подхода — структурно-физический и феноменологический. Первый из них предполагает изучение реальных преобразований переданного сигнала и механизма образования помех в среде рас­ пространения с учетом ее физических свойств и отражение струк­ туры этих преобразований с необходимой точностью в модели. К моделям этого типа относится описание линий передачи с по­ мощью телеграфных уравнений, ПВ радиоканалов — на основе уравнений Максвелла и т. п.

Второй подход базируется на представлении о канале как о -«черном ящике», внутренняя структура которого не рассматрива­ ется, и требует подбора модели лишь по признаку необходимого

10