книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

приближения наблюдаемых на выходе сигналов при заданных сигналах на входе. Ясно, например, что при описании непрерывно­ го канала А2— В2 (см. рис. 1.2), организованного на радиолинии, было бы весьма затруднительно учесть все реальные преобразо­ вания электромагнитного поля в антеннах и свободном простран­ стве. Вместо этого такой канал обычно рассматривают как неко­ торый фильтр с определенной передаточной функцией или им­ пульсной переходной характеристикой, т. е. прибегают к феноме­ нологической модели.

Характеристики феноменологической модели канала, опреде­ ляющие связь его входных и выходных сигналов, т. е. описываю­ щие канал как некоторую динамическую систему, называют сис­ темными характеристиками (в отличие от таких, например, ха­ рактеристик, как волновое сопротивление, напряжение помех и т . п).

При описании стохастических каналов роль феноменологиче­ ских моделей особенно велика. Случайные факторы, оказываю­ щие влияние на передачу сигналов по реальным линиям связи,, как правило, столь сложны и многообразны, что учесть каждый, из них в отдельности нет возможности. Даже если соответствую­ щую структурно-физическую модель удается построить, сна из-за своей сложности оказывается малопригодной для построения ими­ таторов канала или синтеза алгоритмов приема сигналов. Поэто­ му при моделировании стохастических каналов обычно стремятся лишь воспроизвести с необходимой точностью статистические ха­ рактеристики случайного сигнала, наблюдаемого на приеме при действии этих факторов.

Модели непрерывных стохастических каналов, которые бази­ ровались бы на общей теории случайных операторов (например, [124]), пока мало разработаны. Используемые ныне модели ка­ налов можно отнести к типу структурно-детерминированных: за основу берется некоторая детерминированная модель, в которой часть параметров или характеристик заменяется соответствующи­ ми случайными величинами или функциями. Примерами могут служить модели каналов со случайными амплитудой и фазой, со случайной импульсной характеристикой и т. п. [54, 57, 58, 62, 75, 76, 97, 146, и др .].

С учетом отмеченного можно конкретизировать общую модель

е а Г);

11

способу представления случайных помех п(£, г).

Оператор 9? может быть представлен в интегральной форме или в форме дифференциальных уравнений. Последнее представ­ ление является наиболее общим и пригодно как для линейных, так и нелинейных каналов. Иногда оба типа представления соче­ таются. При описании линейных каналов широко используется отображение переменных в частотную область с помощью преоб­ разований Фурье или Лапласа, что позволяет частично или пол­ ностью алгебраизировать соотношения вход — выход.

Что касается моделей случайных характеристик каналов и по­ мех, то в это понятие в зависимости от решаемой задачи вклады­ вается разный смысл. В широком смысле под моделью случайно­ го процесса или поля понимают любое указание на его класс и

•спектром. В более узком смысле под моделью случайного процес­ са или поля понимают алгоритм формирования его реализаций, обеспечивающий получение заданных вероятностных характерис­ тик. Такие модели необходимы при создании имитаторов каналов и решении задач синтеза оптимальных алгоритмов приема сигна­ лов в некоторых каналах, поэтому в данной книге им уделяется основное внимание.

Вероятностные свойства непрерывного канала в целом могут быть описаны функционалом нормированной условной плотности

84, 86, 126, 138 и др.]. Применительно к сигналам, непрерывным по t и (или) г, правую часть (1.1.5) следует понимать как услов­ ную запись предела отношения соответствующих многомерных плотностей при бесконечном «сгущении» точек наблюдения (под­ робнее см. § 5.2).

Модель такого типа может быть построена на основе рассмот­ ренных выше и необходима при синтезе алгоритмов приема. Од­ нако в тех случаях, когда необходимо моделировать отдельные реализации выходных сигналов, как, например, при построении имитаторов, она мало пригодна, так как оказывается слишком общей.

Рассмотрим основные типы перечисленных выше моделей и связанных с ними системных характеристик каналов.

1.2. СИСТЕМНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ Системные характеристики непрерывного канала могут быть введены на

основе любого из перечисленных выше представлений отображения вход — выход, однако на практике в основном используются характеристики, базирующиеся на

.12

интегральных представлениях во временной или частотной 'области. Поскольку они подробно описаны в [22, 54, 57, 58, 138 и др.], приведем лишь краткие све­ дения, необходимые для дальнейшего изложения.

1.2.1. Импульсные переходные характеристики

Рассмотрим непрерывный векторный ПВ канал с сосредоточенным входом, описываемый соотношением (1.1.4). Считая канал линейным, его реакцию (без аддитивных помех) s(/, г) в любой точке г наблюдаемой области пространства Q на входной сигнал и(£) можно представить в виде интеграла Дюамеля (сверт­ ки) [57]

t в точке г на дельта-импульс, поданный на /-й вход в момент t—т. Если вход­ ной сигнал u(t) скалярный, то H(f, т, г) ^— вектор-столбец. Здесь и далее, где это не вызывает недоразумений, нижний индекс а, указывающий на принадлеж­ ность сигналов определенному сообщению, опущен.

Следует заметить, что говоря о «точке г», в общем случае подразумеваем некоторый набор координат, смысл которых может варьироваться в зависимости от задачи. В качестве компонент вектора г могут выступать, в частности, обыч­ ные декартовы координаты (гь г2, г3) точки поля в трехмерном или двумерном пространстве (например, на решетке фотодетекторов, антенной решетке), углы прихода волн и т. п. При наличии одной координаты, интерпретируемой как угол места, говорят об угломестной ИПХ. В некоторых задачах связи, например при описании передачи цветных изображений, число дополнительных (кроме времени) координат сигнала может быть более трех.

Согласно представлению (1.2.1) преобразование сигнала в канале можно трактовать как распространение по многим лучам (путям), различающимся вре­ менным сдвигом х и коэффициентом передачи H(f, т, г). Такая модель хорошо согласуется с физическими представлениями о рассеянии и отражении от неодно­ родностей среды при распространении электромагнитных волн в пространстве, а также об искажениях сигналов в проводных линиях связи. Многолучевость может быть и дискретной, что характерно, например, для ионосферных радио­ каналов. Тогда

м

редачи.

Как видно из (1.2.1), в рассматриваемой модели канала пространственная переменная г играет роль векторного параметра, интегрирования по ней не про­ изводится. Иначе обстоит дело, если входной сигнал канала является простран­

13

мер, при использовании нескольких антенн). В ряде практически важных случаев

Дискретность множества Р указывает на наличие дискретного набора излучаю­

точно такие каналы можно назвать стационарными или инвариантными к сдвигу во времени.

1.2.2. Характеристики каналов, основанные на ортогональных преобразованиях

Введение многих системных характеристик каналов основано на представлениях сигналов в виде рядов

оо

по некоторым функциям yv (t), которые обычно считаются линейно независимыми или ортогональными при различных целых значениях v и образуют полную си­ стему (базис) в рассматриваемом пространстве сигналов2. Подставляя (1.2.4) в (1.2.1), приходим к модели

00

1 Это название закрепилось в литературе, но оно не вполне точно, так как само понятие «параметры канала» имеет весьма широкий и нечетко очерченный смысл.

2 Здесь предполагается, что все компоненты векторной функции u (t) можно представить в одном и том же скалярном базисе. В противном случае необходи­ мо рассматривать векторный базис (<pv (*)}.

14

— системная характеристика ПВ канала в базисе (yv (*)}• Аналогично (1.2.5) дает

Заметим, что исходную ИПХ канала Н( t, т, г) можно рассматривать как системную характеристику в базисе функций {6(f—1т)}.

Представление (1.2.6) имеет но сравнению с (1.2.1) то преимущество, что за­ меняет непрерывную модель дискретной. Кроме того, в ряде случаев оно отве­ чает реальному алгоритму формирования сигналов на передаче. Например, в си­ стеме передачи дискретных сообщений двоичными противоположными сигналами передаваемая цепочка символов (cto, <ii, ..., an) представляется канальным сиг­ налом:

N

— СО

выражает реакцию канала на элементарный сигнал, задержанный на vT, и в рас­ сматриваемых условиях является весьма удобной и естественной системной ха­ рактеристикой канала. Для стационарного канала

s(/, v, г) = s (t—v7\ г).

Интегральное представление (1.2.8) в общем случае не имеет преимуществ перед (1.2.1). Однако если в качестве базиса разложения выбраны векторы соб­ ственных функций отображений скалярных компонент сигналов 1, т. е. функций, удовлетворяющих условию

1 Можно рассматривать и собственные функции всего, отображения в про­ странстве векторных сигналов. Тогда в (1.2.13) вместо матрицы L войдут ска­ лярные собственные числа. Представление (1.2.13) при этом упрощается, но ценой усложнения собственных функций и методов их расчета.

15

Дня стационарных каналов собственными являются функции

— матричная передаточная функция или, иначе, передаточная матрица вектор­ ного ПВ канала. Элемент Я,*(i©, г) передаточной матрицы выражает комплекс­ ную амплитуду /-й компоненты реакции канала в точке г на гармоническое воз­ действие с частотой © на k-м входе.

Передаточная матрица в смысле (1.2.16) или равноценного определения через преобразование Лапласа наряду с ИПХ является основной системной характе­ ристикой векторного ПВ канала.

Это понятие можно распространить и на нестационарные каналы, но в этом случае функции (1.2.14) для оператора 2? уже не являются собственными, пере­ даточная матрица зависит от текущего времени / и соотношение вход — выход (1.2.1) сохраняет интегральный вид:

00

Однако для моногармонических и (приближенно) узкополосных векторных

где Uh{t) и вк(0 — амплитуды и фазы, достаточно медленно меняющиеся по сравнению с колебанием частоты ©о» соотношение (1.2.17) можно записать в алгебраической форме. Для этого представим передаточную матрицу в виде

Н(/, i©, r)— Hx(t, ю, г)-|чН„(г, ©, г) = [ft*jh(f, ©, r)]+i[H vjk(t, ©, г)],

(1.2.19)

где Н*(/, ©, г), Hv(t, ©, г ) — квадратурные компоненты передаточной матрицы канала, или в эквивалентном виде

где

<?jk(t, ©, r) = arctg [hyjk(t> ®» r)/Xc/ft(*» ®» г)]

16

— соответственно модуль и фазовый угол комплексного коэффициента передачи ПВ канала в точке г от k^ro входа к /-му выходу. Тогда

— квадратурные компоненты выходных сигналов. Во многих случаях в приведен­ ных соотношениях можно положить все 0л=О.

В более общей записи

где V — знак сопряжения по Гильберту.

Аналогичные соотношения можно записать и для многолучевых каналов. Со­ ответствующие примеры приведены в разд. 1.5.2.

Наряду с рассмотренными системными характеристиками для ПВ каналов иногда вводят передаточные функции, связанные с ИПХ преобразованием Фурье по переменной t или по пространственным координатам г, а также преобразова­ нием Френеля по г [57].

Системные характеристики ПВ каналов, основанные на интегральных пред­ ставлениях отображения вход — выход, отличаются простотой, удобны для иден­ тификации по измерениям на реальных каналах и позволяют определить выход­ ной сигнал в явном виде, вследствие чего широко распространены при описании каналов различных видов, как детерминированных, так и стохастических. Систем­ ные характеристики стохастического канала необходимо рассматривать как неко­ торые случайные функции (процессы или поля). Для них можно использовать различные модели, однако, как будет показано ниже, особенно широкими воз­ можностями обладают модели в форме стохастических дифференциальных урав­ нений. Они рассматриваются в § 1.4. Особенности характеристик реальных кана­ лов различных видов освещены в § 1.5.

1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ

1.3.1. Уравнения канала с сосредоточенными параметрами.

Метод переменных состояния

Модели каналов, основанные, на интегральных представлениях выходных сигналов с использованием введенных выше системных характеристик, имеют ряд важных достоинств, однако позволяют описывать лишь линейные каналы. От этого ограничения свобод­ ны модели в виде дифференциальных уравнений.

Для непрерывных каналов без пространственных координат наиболее общей формой описания являются системы дифферен­ циальных уравнений первого порядка относительно переменных

состояния. Так называют некоторую минимальную совокупность величин, содержащих на текущий момент времени V всю инфор­

стояния играет фундаментальную роль в современной теории ди­ намических систем и может быть определено для весьма широ­ кого их класса [37, 45, 46, 50 и др .].

В общем случае уравнения состояния непрерывной нелиней­ ной системы с сосредоточенными параметрами, записанные в век­ торной форме, имеют вид

нее общей моделью в виде уравнений состояния, линейных отно­ сительно входных сигналов, и линейных уравнений наблюдения1:

в общем случае матричные функции. Если вектор входных сигна­

л-мерный вектор; G(x, t)— /гХя*-матрица; С (£)— рХ^-матрица; D (t) —p X w -матрица.

Линейные каналы описываются полностью линейными уравне­

18

и (1.3.6) постоянны, а в (1.3.1) — (1.3.4) отсутствует явная зави­ симость нелинейных функций от t.

Разумеется, все приведенные выше уравнения состояния и на­ блюдения определяют выходные сигналы канала лишь тогда, когда заданы определенные начальные условия х (/0) = х 0.

Дифференциальное уравнение n-го порядка может быть пред­ ставлено в виде уравнений состояния различными способами [15, 22, 46, 79 и др .]. Для линейных систем в качестве переменных состояния при этом выбираются выходной сигнал и его производ­ ные или их линейные комбинации. Обратное не всегда возможно: уравнения состояния некоторых систем не сводимы к одному уравнению. Следовательно, даже в классе линейных моделей уравнения состояния обладают наибольшей общностью.

При описании стохастических каналов, т. е. каналов, для ко­ торых отображение 2? полезного сигнала в (1.1.4) носит случай­ ный характер, все или некоторые из элементов матричных и век­

цессы. Они, в свою очередь, могут быть определены моделями в форме стохастических дифференциальных уравнений, рассматри­ ваемых в § 1.4.

Для линейных уравнений состояния (1.3.5) известна общая

to

где <D(f, to )— переходная матрица состояний, определяемая как решение матричного дифференциального уравнения

$(/) = С (<)Ф (/. < .)х (у + |С(<)Ф(<. Е) G (Е) и (?) dE+D (<) u (t). (1.3.10) ^0

Сравнивая (1.3.10) с (1.2.1), нетрудно заметить, что при от­ сутствии пространственных координат и to— — х(/ 0) = 0 , D = 0 эти выражения совпадают по форме записи, и следовательно, ка­ нал, описываемый (1.3.5), (1.3.6), имеет матрицу ИПХ

Полученное соотношение устанавливает связь между двумя типами моделей каналов — в форме уравнений состояния и инте­ гральных представлений отображения вход — выход.

Наряду с отмеченными у метода переменных состояния имеют­ ся и такие преимущества, как удобство для моделирования урав­ нений на цифровых и аналоговых ЭВМ, наличие эффективных методов их анализа и синтеза, а в системах со случайными воз­ действиями— возможности построения рекуррентных алгоритмов оптимальной обработки сигналов.

J.3.2. Уравнения ПВ каналов

Пространственно-временной канал связи представляет собой некоторую динамическую систему с распределенными параметра­ ми и может быть описан дифференциальными уравнениями в •частных производных. Если говорить о моделях, отражающих по своей структуре физику реальных процессов в канале, то следует иметь в виду, что в настоящее время в качестве сигналов передачи информации практически во всех случаях используют те или иные волновые процессы: электромагнитные волны, упругие (акустиче­ ские) колебания в воздушной, водной и в других средах. Таким образом, основной структурно-физической моделью векторного непрерывного ПВ канала является уравнение затухающих волн, JB общем случае имеющее вид [119; 139]

В частном случае при скалярных сигналах и одной простран­ ственной координате (1.3.12) описывает распространение волн вдоль линии и известно под названием телеграфного уравнения. При р ( г ) = у (г ) = 0 получается обычное волновое уравнение, опи­ сывающее колебания в среде без потерь.

Уравнение (1.3.12) решается при определенных начальных ус­ ловиях

и граничных условиях того или иного типа [119], заданных на границе Г области наблюдения П ПВ сигнала. Для некоторых простых частных случаев решение (1.3.12) удается представить в виде явного интегрального выражения типа (1.2.1) [119].

В качестве феноменологических моделей ПВ каналов могут рассматриваться уравнения в частных производных в принципе

20