книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

О. М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ, Ю .М . ДАВЫДОВ

МЕТОД

КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ

ЭКСПЕРИМЕНТ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 8 2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последнее время в Советском Союзе и за рубежом определенное распро­ странение получил численный метод крупных частиц [1], использование ко­ торого граничит с проведением численного эксперимента. Указанный подход является развитием метода частиц в ячейках Френсиса Харлоу [2, 3] и широко применяется для исследования течений газа при наличии больших деформаций

иперемещений.

Спомощью метода крупных частиц удается по единому алгоритму иссле­ довать сложные картины обтеканий тел различной формы в широком диапа­ зоне изменения начальных условий — от чисто дозвуковых до сверхзвуковых режимов, включая переход через скорость звука, околозвуковые и закритические течения, когда около тела образуется местная сверхзвуковая зона, возни­ кают внутренние ударные волны и т. п. Рассматривались также задачи обтека­ ния конечных тел со срывом потока, при наличии вдува струи в основной поток, внутренние течения со сложной конфигурацией скачков уплотнения, дифрак­ ционные задачи, течения с развитой турбулентностью и др.

Вданной работе проводится достаточно подробное рассмотрение метода Харлоу частиц в ячейках и его модификаций, дается полное и систематическое описание разработанного нами метода крупных частиц и его вариантов; по­ следовательно (путем рассмотрения дифференциальных приближений разных порядков) проводится исследование основных свойств численных схем (изуча­ ются вопросы аппроксимации, образования вязкостных эффектов, вопросы устойчивости схем и др.), а также приводятся многочисленные результаты численных расчетов отмеченных выше сложных задач газовой динамики, по­ лученные с помощью метода крупных частиц.

Книга состоит из введения и двенадцати глав с приложением. При описа­ нии работ других авторов мы считали целесообразным сохранить основной

ход изложения, следуя оригинальным работам.

В конце книги приводится весьма полная библиография по рассматривае­ мой тематике. Нумерация формул и рисунков проводится раздельно по главам, а ссылки на литературу даются единым (сквозным) образом. На работы, кото­ рые сравнительно недавно вышли в свет или стали известны авторам в послед­ нее время, делаются подстрочные ссылки.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

Ряд ценных замечаний и советов при подготовке книги к изданию сделали В. Ф. Дьяченко, Б. Л. Рождественский, В. С. Рябенький, Р. П. Федоренко, Н. Н. Яненко и его сотрудники, которые прочли книгу (или отдельные ее ча­ сти) в рукописи. Большую помощь в оформлении рукописи оказали Л. В. Аве­ рина, 3. И. Багрова, Р. М. Романова. Всем этим лицам авторы приносят свою искреннюю и глубокую благодарность.

Мы признательны А. А. Дородницыну за постоянное внимание к работе.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

1. В связи с полетами летательных аппаратов в широком диапазоне скоростей и высот практика выдвинула для исследования целый ряд сложных задач газовой динамики, требующих разработки принципиально новых подхо­ дов и методов для их решения.

Сюда относятся, например, изучение трансзвуковых режимов обтекания, определение характеристик вязких потоков газа, течений при наличии излу­ чения, ионизации; исследование явлений, происходящих при срыве потока, в следе за телом и т. п. При этом часто бывает необходимо рассматривать слож­ ные формы аппаратов, различные траектории полетов и т. п. В возмущенной области могут появиться вторичные скачки уплотнения, местные сверхзвуко­ вые зоны, подобласти «обратного» течения и т. д. Аэродинамические и прочност­ ные характеристики, а также вопросы устойчивости и управления движением тел изучены на таких режимах явно недостаточно.

Трудности аналитического исследования определяются весьма сложной математической постановкой (в общем случае — это краевые задачи для нелинейных уравнений эллиптико-гиперболического типа, описывающие вих­ ревые течения сжимаемого газа), поэтому лишь численные методы с использо­ ванием быстродействующих электронных вычислительных машин и тща­ тельно проведенные физические эксперименты позволяют получить здесь достаточно полную информацию и определить необходимые характеристики полей течения.

Внастоящее время значительно возрос интерес к построению общих численных методик, реализация которых граничит с проведением вычисли­ тельного эксперимента. По сравнению с натурным численный эксперимент, проводимый на вычислительных машинах, экономически существенно дешев­ ле, а в ряде случаев (когда физический эксперимент трудно осуществим из-за сложных режимов течения) он является единственным инструментом иссле­ дования.

Определим кратко основные этапы вычислительного экспериментирова­ ния. Параллельно проведем аналогию с физическим экспериментом.

Вначале на основе анализа исследуемого физического объекта делается его математическое описание (выбирается математическая модель). В физиче­ ском эксперименте этому этапу соответствует анализ и выбор схемы экспери­ мента, уточнение элементов конструкции и самой установки. Затем для ото­ бранного дифференциального оператора составляется разностная схема, исследуются вопросы ее устойчивости и т. д. В натурном эксперименте на этом этапе осуществляется конструирование, изготовление экспериментальной установки и ее' отладка.

Врезультате мы получаем средство для исследования (работающую программу или прибор) интересующего нас явления. С помощью этих средств мы проводим собственно эксперимент: машинный счет или серию замеров. Следующим этапом является детальный анализ результатов, вследствие чего делаются уточнения и коррективы программы счета, конструкции экспери­ ментальной установки и т. д. Такая обратная связь позволяет совершенство­ вать методологию как вычислительного, так и натурного экспериментов.

ния такие сложные задачи газовой динамики, как, например, до-, транс- и сверхзвуковое обтекание плоских и осесимметричных тел, летательных аппа­ ратов сложной конфигурации и т. п. Этот подход позволяет изучить свойства течений при наличии больших деформаций и перемещений — срывные потоки, локальные сверхзвуковые зоны и др.

Подчеркнем, что отмеченное здесь развитие численных схем определялось усовершенствованием и расширением приемов решения краевых задач для соответствующих аппроксимирующих уравнений, рассмотрением нового (бо­ лее широкого) класса задач, развитием и усовершенствованием ЭВМ, машин­ ных языков, вводных и выводных устройств и т. п. Важно отметить, что при этом алгоритмы строятся, вообще говоря, по единым принципам на основе методов интегральных соотношений, характеристик, частиц в ячейках и дру­ гих подходов.

3. Вопрос о выборе системы координат, расчетной сетки является очень важным при построении численных схем.

В одномерных нестационарных задачах газовой динамики успешно исполь­ зовалось представление разностных уравнений в переменных Лагранжа, где координаты связаны с движением жидкости в пространстве (аппроксимирую­ щая сетка также движется с жидкостью) и отвечают фиксированным точкам

всреде. Форма связи определяется тут выбором конечно-разностной схемы.

Впредставлении Лагранжа лучше определяется структура потока, а после введения Рихтмайером и Нейманом в теорию численных схем искусственной вязкости стало возможным создание в лагранжевых переменных относительно точных и устойчивых разностных подходов.

Взадачах, имеющих две пространственные переменные, использование лагранжевых координат встречает определенные трудности, связанные с на­ личием областей «плохого» определения — лагранжевы расчеты обладают высокой точностью до тех пор, пока аппроксимирующая сетка остается доста­ точно правильной. Там, где появляются сильные деформации и большие относительные перемещения жидкости, имеет место заметное искажение расчетной сетки, и вычисления становятся весьма затруднительными и неточ­

ными.

Переменные Эйлера удобны тем, что они используют неподвижную (обычно прямолинейную) расчетную сетку. Здесь координаты отвечают уже фиксиро­ ванным точкам (ячейкам) в пространстве, и рассматривается течение жидкости, через эти ячейки. При этом вводятся некоторые вспомогательные линии, аппроксимирующие границу рассчитываемой области и жидкие поверхности. Численные схемы в эйлеровых сетках, вообще говоря, не столь точны по срав­ нению с лагранжевыми, так как здесь могут образоваться нерегулярные (зави­ сящие от времени) граничные ячейки; возникают внешние для рассматривае­ мой области узлы сетки и т. п. Это особенно относится к задачам, где имеются поверхности раздела сред (может возникнуть диффузия с физически нереаль­ ными скоростями) или когда требуется определить малые изменения парамет­ ров при течении жидкости в больших объемах и т. п. Однако переменные Эйлера более удобны, на наш взгляд, при изучении трехмерных (по прост­ ранству) задач математической физики ([4, 26, 360]) и другие).

В ряде случаев для многомерных задач нестационарной гидродинамики целесообразно использовать совместное эйлерово-лагранжево представление. Например, можно полагать одно (эйлерово) семейство координатных линий неподвижным, а другое (лагранжево) — связанным с фиксированными слоями