книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

дартов. Эти требования можно сформулировать в виде неравенств

Vi=vi(x, ÜBx)+Vi<bi, i= 1, m, (7-23)

где bi — предельно допустимые значения показателей. Значения потоков также ограничены плановыми за­

гут выполняться с некоторой вероятностью. Необходи­ мо найти такие значения переменных х, при которых показатели качества с заданной вероятностью Р0 будут удовлетворять нормам, а параметры потоков соответст­ вовать плану

P(yh^Qh, Vi^bu i= 1, .... т,

где d(x) — затраты на управление производством, вклю­ чающие энергетические, стоимость сырья и т.' п., кото­ рые предполагаются линейными относительно перемен­ ных; си— стоимость единицы продукта.

Основное отличие полученной задачи с вероятност­ ным ограничением (7-25) от задачи предыдущего пара­ графа состоит в том, что показатели качества Vi стати­ стически связаны, а следовательно, статистически свя­ заны и величины |'i.

Обычно зависимости для части показателей качест­ ва Vi(x, i>nx) и некоторых (или всех) параметров пото­ ков уи(х) определяются достаточно точно и эти огра­ ничения можно исключить из (7-25) и рассматривать как детерминированные.

Для упрощения обозначений далее все ограничения на потоки будем учитывать как детерминированные и все ограничения на показатели качества как вероят­ ностные.

Перейдем от вероятностных ограничений к детерми­ нированным. Совокупность показателей и* является слу­ чайным вектором V с условной плотностью распределе­

ния /?(v|x) или условной функцией распределения <F(o|x), зависящей от управляющих воздействий х. Используя p(v\x) или &~(v\x), вероятностное ограни­ чение можно представить в виде

ления вероятностей нормированного вектора погрешно­ стей 4е; ÎF(u) —функция распределения; сГ¥—произве­ дение (P¥i, . . dWm-

Полученная эквивалентная детерминированная зада­ ча является задачей нелинейного программирования с критерием (7-26) и ограничением (7-27). Выпуклую функцию £?~(и) можно линеаризовать, например, каса­ тельными плоскостями в точках ит={иг\, ..., urm}, г— =1, ...,/? вида

где

А',=* du-1, IIи = и г'

Тогда неравенство (7-27) приближенно заменим си­ стемой ограничений

Ш

f V) + 2 h'i(“/ - “r<)? P.. r = l . . „ , R (7-30)

(7-31)

в которой выбирались точки аппроксимации, где Игмин — минимальные, Мгмакс —максимальные значе­ ния щ.

Этот метод применим при небольшом числе ограни­ чений, так как необходимо вычисление m-мерных и (т—1)-мерных интегралов, а линеаризация приводит

кзначительному увеличению размерности.

Вслучае двух ограничений и нормальной функции

распределения ограничения (7-30) имеют следующий вид:

nr\Ui -"I- hr2«2^ Ро iï 'о>

Детерминированная задача (7-24), (7-26), (7-27) мо­ жет быть решена другими методами, например методом аппроксимирующего программирования. В этом итера­ тивном методе (7-27) заменяется линейным ограниче­ нием в окрестности некоторой точки, которая была получена при решении предыдущей задачи. линейного программирования. В этом случае не возрастает раз­ мерность задач линейного программирования, однако основные трудности, связанные с вычислением /«-мер­ ных интегралов, сохраняются.

В качестве критерия задачи примем введение в смесь макси­ мального количества мазута х\, так как это наиболее дешевый ком­ понент, а стоимости дизельных топлив равны.

Функцию распределения F(uit и2) аппроксимируем кусочно-ли­

Рис. 7-1. Точки аппроксимации.

Рис. 7-2. Зависимость ре­

в табл. 7-2. Для упрощения задачи другие ограничения кроме тем­ ператур застывания не учитываются.

Приме чание . Дополнительно учитывались ограничения •*,, х„

Матрица ограничений задачи линейного программирования при­ ведена в табл. 7-2. Результаты решения даны в виде графика, построенного по значениям PQ в четырех точках (рис. 7-2). Для

сравнения эта же задача решалась путем аппроксимации F(u\, ц2) секущими плоскостями по точкам щт, и2г (рис. 7-1). Полученные значения переменных отличаются от графиков на рис. 7-2 не более чем на 0,004, т. е. точность аппроксимации F (и|, ц2) девятью ли­ нейными ограничениями достаточна. Как видно из графиков (рис. 7-2), линейная аппроксимация в данном примере дает хоро­ шие результаты.

Ввиду вычислительных трудностей, возникающих при решении задачи (7-28) даже при небольшом числе огра­ ничений (т^ З ), для получения приближенного реше­ ния практических задач приходится устанавливать ве­ роятности выполнения отдельных ограничений. Таким образом, осуществляется переход к задаче с m вероят­

/=1 Эта задача с вероятностными ограничениями в свою оче­

редь сводится к задаче линейного программирования путем введения запасов по каждому ограничению, опре­ деляемых дисперсией о2* и требуемой вероятностью выполнения Р»о.

б) Случайные коэффициенты матрицы

При построении модели управления производством предполагалось, что показатели качества входных по­ токов измеряются достаточно точно, а модель построена с погрешностями.

Возможна и другая ситуация, когда модель является достаточно точной, а измерение показателей качества входных потоков осуществляется с погрешностью.

Рассмотрим такую постановку на примере задачи оптимального смешения кормов [51].

Корма получаются путем смешения различных ком­ понентов (травяная и рыбная мука, зерно и т. п.) в ко­ личествах Xj, /= 1, ..., п. Требования к содержанию пи­ тательных веществ и витаминов в кормах определены. Стоимость смеси должна быть минимальна. Содержание питательных веществ в каждом компоненте непосредст­ венно перед смешиванием не измеряется, а контроли­ руется выборочными анализами. Таким образом, содер-

жание i-го питательного вещества в /-м компоненте можно рассматривать как случайную величину aij с нормальной функцией распределения, заданную мате­ матическим ожиданием йц и дисперсией:

Предполагается, что случайные величины atj неза­ висимы. Для рассматриваемой далее задачи существен­ но, что содержание i-ro вещества в /-м продукте и со­ держание его в k-ж продукте аш независимы.

Требование к содержанию i-ro вещества в смеси в количестве не менее Ь{ записывается как неравенство

П

и затем перейти к эквивалентной детерминированной задаче, используя нормальную функцию распределе­ ния ciij.

Для^независимых и нормально распределенных случай­

ных величин atj получим дисперсию о2,, (л:) и математиче­

п

ское ожидание 8* (л) невязок (JC) = ^ &ijX; —bt:

п

n

s , M = 2 auxi - bi

и вместо (7-34) получим:

Ф(Ь(х)1о1(х)) ^Poi

Ф^ЧРм)—обратная функция.

^Подставив б,- (л*) и о2,-(л) в (7-35), получим неравен­ ство

которое является выпуклым, так как Ф-1(Рог)>0. Критерий задачи — минимальная себестоимость

смеси

где с,-— стоимость /-го компонента.

Полученная задача (7-36), (7-37) является задачей выпуклого программирования. В [51] эта задача при небольшой размерности решается методом штрафных

где К— коэффициенты ковариации.

Вероятности Ро1 задаются так, чтобы получить тре­ буемую вероятность выполнения всех ограничений Р0 =

т

=П ^о/* Задача с одним вероятностным ограничением t=i

P{2aijXj^bi, i=l, ..., т}^Ро

не требует выбора P0i, но является более сложной.

Другая близкая по смыслу постановка задачи со­ стоит в требовании выполнения неравенств в среднем

П

с ограничением на дисперсию содержания каждого ве­ щества в смеси

£ \ | 2 anxi t = l, —» /и.

Вид критерия (7-37) не меняется.

Так как 'случайные коэффициенты а*,- независимы,

определяющих выпуклую область.

В случае, когда Щу, щъ коррелированы, получим вме­

Выше рассматривались две упрощенные стохастиче­ ские модели. В первой случайными являются параметры модели, построенной по экспериментальным данным,— правые части неравенств; во второй —погрешности из­ мерения показателей качества —коэффициенты системы линейных ограничений.

В реальных задачах могут оказаться существенными как погрешности построения модели, так и погрешно­ сти измерения некоторых параметров, т. е. будут слу­ чайными и коэффициенты матрицы и правые части ограничений.

Например, в задаче оптимального смешения нефте­ продуктов желательно учесть как погрешности опреде­ ления показателей качества для отдельных компонен­ тов, так и погрешности модели. В этом случае модель — это зависимости свойств смеси от свойств компонентов и их соотношения в смеси. В поставленной задаче эле­ менты dij матрицы системы ограничений и правые ча­

дачу с ограничениями, аналогичными (7-38).

Г л а в а в о с ь м а я

СТАНДАРТНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ПЛАНИРОВАНИЯ

8-1. Основные принципы построения программного обеспечения задач АСУ

Различные функциональные задачи АСУ, такие как технико-экономическое, календарное планирование, опе­ ративное управление, информационно связаны и осу­ ществляют обмен данными. Такой обмен предполагает наличие общей базы данных, к которой возможен до­ ступ из различных задач.

Рис. 8-1. Функциональные задачи.

Связи функциональных задач показаны на рис. 8-1. Системы контроля и управления работают в реальном времени и являются локальными системами, которые могут быть выполнены на ЭВМ малой мощности, в то время как задачи управления зачастую требуют боль­ ших или средних мощностей. Сбор информации и учет осуществляется в основном через системы контроля или периферийные пульты (терминалы).

Для формирования базы данных разработано спе­ циальное программное обеспечение — банки данных, по­ зволяющие организовать хранение, защиту от записи (чтения), доступ для различных программ, информа-