книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

практике мы оцениваем ЯЛ по общему числу скважин т н об­ щему числу участков Т:

Мы можем теперь применить критерий %2 для проверки то­ го, согласуется ли ожидаемое число скважин на участок с чис­ лом скважин, вычисленным в предположении, что они распре­ делены случайно в соответствии с распределением Пуассона. Число участков, которое содержит в точности г скважин, мо­ жет быть найдено по формуле

nr = mPw . (5.13)

Если ЯЛ оценивается через пг/Т, то уравнение принимает вид

Рис. 5.11 указывает расположенно скважин в части восточ­ ного шельфа пермского бассейна в Техасе. Площадь была раз­ делена на 160 участков (квадратов), площадь каждого из ко­ торых равна приблизительно 0,16 км2. Так как на .пощади имеется 168 скважин, то их среднее число на участок

т /Т = 168:160 = 1,05.

Мы можем подсчитать число участков на карте, которые не со­ держат ни одной скважины, содержат в точности одну, две и так далее. Мы также можем вычислить математическое ожи­ дание участков, которые содержат те же самые числа скважин, используя уравнение (5.14). Для площади Пермского бассейна ожидаемые и наблюденные числа участков приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2 содержит все числа, необходимые для вычис­ ления критерия соответствия %г, который есть не что иное как сравнение двух гистограмм, представленных на рис. 5.12. По­ следние три категории должны быть скомбинированы так, что­ бы наблюдаемое число участков было равно 5:

Проверяемая статистика имеет с—2 степеней свободы, где с — число категорий (первая степень свободы теряется потому, что

22

Рио. 5.11. Расположение нефтяных поисковых скважин в восточной части шельфа пермского бассейна, графства Фишер и Ноланд, Техас

ожидаемые частоты подчинены условию равенства их суммы 1Г,0 и вторая степень свободы требуется для оценки параметра --.г. Для с = 5 имеется три степени свободы. Критическое значе- н о х2 для v= 3 и а=0,05 равно 7,81. Проверяемая статистика значительно превышает это значение, поэтому мы должны от­ клонить гипотезу о равенстве между наблюденным и ожидае- ч..1М распределениями и заключить, что пуассонова модель неколвомерна. Скважины не разбросаны случайно на этой пло*

ктди пермского бассейна.

Впроцессе подбора модели Пуассона к этим данным мы

излучили некоторую информацию, которая могла бы пролить о•.толнительный свет на природу пространственного распреде­ ления, Среднее число екзажпн на участок оценивается уравпе-

23

Таблица 5.2

Вычисление ожидаемых чисел участков, содержащих т открытий, в восточной

части пермского бассейна, Техас. Предполагается, что распределение пуассоново

нием (5.12). Дисперсия числа скважин на участок есть

г

где гi — число скважин в г'-м участке. Суммирование распрост­ раняется на все Т участков. При сравнении среднего и диспер­ сии альтернативы таковы:

m /T> s2— схема ближе к равномерной, чем к случайной; m/7’= s2— случайная схема;

m /T< s2— схема ближе к кластеризованной, чем к случайной.

глубина структуры=60+&1 (время возвращения сейсмической волны), глубина структуры—1388,6—1692,5 (время возвращения сейсмической

волны).

Конечно, некоторые различия между т/Т и s2 могут возникнуть в силу случайного изменения выбора конкретного множества участков. Статистическая значимость наблюденной разности может быть проверена с помощью /-критерия, основанного на

И

70

Рис. 5,12. Гистограммы, показывающие наблюдаемые числа скважин на уча­ сток на площади пермского бассейна (о) и ожидаемые числа, если поля рас­

пределены случайно в соответствии с пуассоновской моделью (б)

стандартном отклонении среднего, равном корню квадратному из дисперсии, которая могла бы быть получена в точке т/Т, если бы бассейн был повторно опробован другим множеством участков того же размера. Стандартное отклонение среднего числа скважин, приходящихся на участок, есть

С помощью /-критерия сравнивается отношение т/Т к s2, ко­ торое должно быть равным 1,0 при условии, что две статисти­ ки одинаковы:

Этот критерий имеет Т—1 степеней свободы.

Для площади восточной части пермского бассейна диспер­ сия числа скважин на участок есть s2 = 231,6 : 159= 1,46. Стан­ дартное отклонение среднего числа скважин на участок может

быть оценено так: s2 = ^2: 159=0,112; /-статистика для провер-

25

ки эквивалентности среднего и дисперсии есть

t = [(1,05/1,46) - 1,0]/0,112 = -8,86.

Для уровня значимости а = 0,05 и 159 степеней свободы кри­ тическое значение t для двустороннего критерия равно ±1,96; вычисленное значение значительно превышает это значение, и потому мы можем заключить, как мы это делали в разделе о критерии х2, что пространственное распределение неслучай­ но. Так как дисперсия значительно больше среднего, то мы должны заключить, что скважины образуют группы на изучае­ мой площади.

Схемы группирования

Многие встречающиеся в природе распределения обнаружи­ вают ярко выраженную тенденцию к группированию. Это осо­ бенно верно для некоторых биологических переменных, таких, как наличие специфических организмов или присутствие ин­ фекции. Потомки древних, непередвигающихся родителей, как, например, кораллы или деревья, имеют тенденцию к росту в ближайшей окрестности, что приводит к развитию плотно за­ селенных площадей, окруженных относительно пустынными регионами. Схемы группирования точек могут быть представ­ лены различными моделями распределений, большинство из которых можно рассматривать как комбинации двух или более простых распределений. Одно из этих распределений описывает положения центров групп, в то время как другие описывают расположение точек вокруг этих центров.

Отрицательное биномиальное распределение молено ис­ пользовать для моделирования расположения групп в прост­ ранстве таким же образом, каким пуассоновское распределе­ ние использовалось для моделирования случайного расположе­ ния точек. Подробное обсуждение этого распределения с при­

годности отрицательного биномиального распределения в каче­ стве модели частоты появления нефтяных полей и рудных тел.

Один из способов получения отрицательного биномиального распределения — это композиция пуассоновского и логарифми­ ческого распределений, когда группы точек случайно располо­ жены в пределах некоторого региона и индивидуальные точки внутри групп подчиняются логарифмическому распределению. В формулировке, пригодной для описания пространственных схем, отрицательное биномиальное распределение есть

(5.18)

26

и к есть мера степени группирования скважин. Если к велико, го группирование менее ярко выражено и пространственное распределение приближается к пуассоновскому или случайно­ му. Если k стремится к нулю, то схемы группирования стано­ вятся более явными. Плотность равна

X=kp. (5.19)

Если к не есть целое (и вообще оно не должно быть та­ ким), то это комбинаторное уравнение не может быть реше­ но. Тогда следует использовать следующую аппроксимацию

Как и г пуассоновском распределении, X оценивается как сред­ няя плотность скважин на участок т/Т. Параметр группирова­ ния k оценивается по формуле

где s2— дисперсия числа скважин на участок. Тогда вероят­ ность оценивается по формуле

p=X/k=(m/T)fk. (5.23)

Можно применить отрицательную биномиальную модель к данным по скважинам в восточной части пермского бассейна ’(см. рис. 5.11) для того, чтобы установить, может ли это рас­ пределение адекватно описывать их пространственное распре­ деление. Среднее значение и дисперсия числа скважин на уча­ сток уже были найдены п равны т/Т= \,05 и s2 = 1,46. Эффект группирования можно оценить, используя уравнение (5.22), как

к= 1,052/ ( 1,46 — 1,05) = 2,69.

Всвою очередь вероятность встретить скважину на некотором участке равна

р= 1,05/2,69=0,390.

27

Используя приближенные уравнения, получаем вероятность того, что данный участок не будет содержать скважин:

Вероятность того, что некоторый участок будет содержать точности одну скважину, есть

Р(1) = (2I®L 1 ^И0,Э90/1,Э90)0)4124 :== 0,3112.

Вероятности того, что участок будет содержать в точности две, три или больше скважин, могут быть вычислены аналогично. Тогда ожидаемое число участков, содержащих г скважин, может быть определено просто умножением этих вероятностей на 160 — общее число участков. В табл. 5.3 представлены вероятности, соответствующие числам скважин вплоть до шести от­ крытий на участок.

Числа участков, содержащих в точности г скважин, вычис­ ленные с помощью отрицательного биномиального закона рас­ пределения, сравниваются с соответствующими наблюденными числами участков, приведенными на рис. 5.13. Соответствие отрицательного биномиального распределения может быть про­ верено с помощью критерия %2 в точности аналогично тому, как проверялось соответствие пуассоновской модели. Если необхо­ дима комбинация окончательных трех категорий, то получается пять частот. Проверяемая статистика есть ^2 = 4,82 с 5—2 сте­ пенями свободы. Это меньше, чем критическое значение %2 для

28

Рис. 5.13. Гистограммы, показывающие наблюдаемые числа разведочных скважин на участок на одной из площадей пермского бассейна (а) и ожи­ даемые числа в отрицательной биномиальной модели (б)

странственного распределения скважин в восточной части пермского бассейна. Необходимо иметь в виду, что полученный вывод не эквивалентен доказательству того, что скважины под­ чиняются отрицательной биномиальной модели. Вполне воз­ можно, что некоторые другие модели группирования могут да­ вать более точную аппроксимацию. Однако отрицательное би­ номиальное распределение генерирует некоторое пространст­ венное распределение, которое статистически не отличимо от наблюденного распределения.

Метод ближайшего соседа

Существует еще один метод исследования подмножеств, на ьоторые разбита некоторая область — метод ближайшего сосе­ да. Анализируемые данные в этом случае представляют собой не множество точек, расположенных внутри некоторой задан­ ной области, а расстояния между наиболее близкими парами точек. Так как не обязательно выбирать размеры квадрата, процедуры поиска ближайших соседей исключают возможность

29

получения схемы, которая является случайной в одном масшта­ бе и не является случайной в другом. Поскольку обычно име­ ется намного больше пар ближайших соседей, чем квадратов, этот анализ более чувствителен. Хорошее введение в методы ближайшего соседа дают Джетис и Бутс [29J; Риплай [65J, а также Клифф и Орд [15] приводят обзор теории с применени­ ями в разных областях.

Метод ближайшего соседа основан на сравнении наблюдае­ мого множества расстояний между парами ближайших точек с характеристиками, которые ожидались бы в том случае, если бы точки были случайно распределены. Характеристики теоре­ тической случайной схемы можно вычислить из пуассоновского распределения. Если мы игнорируем эффект краев нашей кар­

Стандартное отклонение среднего расстояния между ближай­ шими соседями есть квадратный корень из о^2:

Распределение б нормально при условии, что п больше 6, так что мы можем использовать простой Z-критерий, приведен­ ный в гл. 2, для проверки гипотезы о том, что наблюденное среднее расстояние между ближайшими соседями d равно зна­ чению б для случайной схемы точек той же плотности. Значе­ ние критерия есть

Это — общепринятый вид критерия ближайшего соседа, одна­ ко, к сожалению, он имеет значительный дефект в большинстве

30

пространены неограниченно во всех направлениях, если а! и б обоснованно сравниваются. Так как карта не распространяется неограниченно, то ближайшие окрестности точек вблизи краев должны лежать внутри поля карты и потому d смещено в на­ правлении больших значений. Имеется несколько поправок в решении этой задачи. Если данные за пределами исследуемой площади доступны, то карту можно окружить охранной обла­ стью. Тогда расстояния, вычисленные по методу ближайшего соседа между точками внутри карты и точками в охранной области, можно включить в вычисление d. Другой способ со­ стоит в том, что мы можем считать нашу карту вычерченной не на плоскости, а на торе. Это значит, что правый край карты считается склеенным с левым краем, а нижний край — склеен­ ным с верхним. Тогда ближайшая соседняя точка к точке, ле­ жащей у правого края, может быть расположена вблизи ле­ вого края (такое использование точек хорошо известно всяко­ му, кто имел дело с построением изолиний плотностей по сте­ реосетям). Еще один способ построения поправок состоит в построении повторений во всех направлениях, подобно мозаи­ ке. Для любой точки, примыкающей к краю карты, имеется точка, которую можно с большим основанием считать ближай­ шим соседом, чем ближайшую точку внутри заданной карты.

Третий способ построения поправок состоит в изменении 6 так, чтобы граничный эффект был включен в ожидаемое зна­ чение. Используя численное моделирование, Доннелли [24J нашел эти альтернативные выражения для теоретического зна­ чения средних расстояний по методу ближайшего соседа н его выборочного среднего:

И

4 « 0 ,0 7 0 -4 . + 0,035/7 -5^4. , (5.30)

В этой аппроксимации р есть периметр прямоугольной карты. Заметим, что если карта не имеет краев, как это имело место на торе, то р равно нулю, и эти уравнения тождественны урав­ нениям (5.24) и (5.26).

Ожидаемые и наблюденные средние значения расстояний по методу ближайшего соседа могут быть использованы для по­

есть статистика ближайшего соседа и изменяется от 0,0 для распределения, в котором все точки совпадают и разделены

31