книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

242

Значение /^-статистики равно 0,158, а число степеней сво­ боды

v .-= ,-i-(2 -l)(5)(5 -1-1) = 15.

Критическое значение %2 при v = 15 и 5%-ном уровне значи­ мости равно 25. Вычисленное значение намного ниже этой ве­ личины и потому мы можем заключить, что ничто не мешает нам принять гипотезу о равенстве ковариационных матриц изу­ чаемых совокупностей. Далее, используя Г2-критерий (6.32), можно проверить гипотезу о равенстве многомерных средних:

Т2- - |Щ ^ - [1,566] =-15,66.

В скобках указан результат, полученный после выполнения соответствующих матричных умножений, указанных в формуле (6.32). Используя формулу (6.33), вычислим соответствующее значение /-'-статистики:

Критическое значение /'-критерия при 5 и 34 Степенях свободы и 5%-ном уровне значимости 2,49. Так как вычисленная ста­ тистика превосходит это критическое значение, то можно за­ ключить, что существует различие между векторами средних двух изучаемых совокупностей. Иными словами, имеется ста­ тистически значимое различие в среднем составе воды из двух водоносных горизонтов. С помощью этого простого критерия нс удалось выделить те переменные, которые обусловливают раз­ личие в химическом составе воды, но подтверждено мнение населения о том, что вода из этих двух источников различается по своим свойствам.

Можно также использовать многомерные методы, являю­ щиеся обобщением процедур дисперсионного анализа, изложен­ ных в гл. 2 (см. кн. 1). Все они основаны на сравнении двух матриц порядка mXm, являющихся многомерными эквивален­ тами внутригрупповых и межгрупповых сумм квадратов, ис­ пользуемых в обычном дисперсионном анализе. Проверяемая статистика основана на наибольшем собственном значении матрицы, используемой для сравнения. Мы не будем рассматри­

Из этого, однако, не следует делать вывод, что потенциальные возможности этих методов уже исчерпаны. Заинтересованные читатели могут обратиться к книге Кули и Лопеса [II], в ко­ торой имеются вычислительные программы многомерного дис­

держится краткое изложение процедуры исследования геохими­ ческих данных с помощью многомерного дисперсионного

анализа.

244

КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ

Классификация — разделение объектов на более или менее однородные группы и установление соотношений между груп­ пами— важная особенность работы таксономистов, занимаю­ щихся определением происхождения живых организмов на ос­ новании их характеристик и сходства. Таксономия — в высшей степени субъективная наука, в которой выводы определяются интуицией ученого, выработанной годами опыта. В этом отно­ шении таксономия очень сходна с многими разделами геологии. Ряд ученых, в том числе геологи, неудовлетворенные субъек­ тивностью и капризностью традиционных методов, разработа­ ли новые способы классификации, которые находятся в соот­ ветствии с возможностями современных вычислительных ма­ шин. Эта группа исследователей называет себя численными таксоиомистами, н им мы обязаны многими достижениями

вчисленных методах классификации.

Внастоящее время численная таксономия — предмет оже­

сточенных споров среди биологов, очень напоминающих острые дебаты психологов вокруг вопросов факторного анализа, имев­ ших место в 30—40-х годах XX в. В этих обсуждениях некото­ рые практики рьяно отстаивают методы численной таксономии, заявляя, что они позволяют пенять происхождение групп орга­ низмов лучше, чем любой другой метод классификации. Конеч­ но, доказательств они представить не могут, так как в настоя­ щее время теоретическое обоснование анализа групп недоста­ точно удовлетворительно, плохо исследованы статистические основы методов численной таксономии, нет соответствующих критериев значимости. По-видимому, здесь дело обстоит так же, как и в случае факторного анализа. Однако уже многие методы численной таксономии нашли применение в геологиче­ ских исследованиях, в особенности при классификации ископае­ мых беспозвоночных и при изучении палеобстановок.

Кластерный анализ предназначен для классификации на­ блюдений в более или менее однородные группы. Аналитиче­ ского решения этой задачи, наподобие численной таксономии, которая была бы общей для всех областей классификации, не существует.

Хотя имеются альтернативные классификации классифика­ ции [58], большинство из них может быть сгруппировано в че­ тыре общих типа.

1. Методы разделения на части, применяемые к самим мно­ гомерным наблюдениям или к проекциям этих наблюдений на плоскости более низкой размерности. В их основе лежит пра­ вило объединения областей в пространстве, определенном ш-переменными, которые бедно представлены наблюдениями, и отделения от них тех областей, которые плотно представлены

245

наблюдениями. Математически «разбиения» помещаются в раз­ реженных районах, подразделяя пространство в дискретные классы. Хотя анализ делается в m-мерном пространстве, опре­ деленном этими переменными, а не в «-мерном пространстве, определенном наблюдениями, его итерационная реализация мо­ жет оказаться весьма времяемкоп [59].

2. Произвольные исходные методы основываются на сходст­ ве между наблюдениями и множеством произвольных исходных точек. Если п наблюдений подразделяются на к групп, то необ­

играют роль исходных центроидов групп. Самое близкое наблю­ дение или наиболее сходное с начальной точкой комбинирует­ ся с нею и образует кластер. Наблюдения последовательно до­ бавляются к ближайшему кластеру, после чего центроид для расширенного кластера вычисляется заново.

3. Процедуры взаимного сходства соединяют вместе Ноблюдения, которые имеют общее сходство с другими наблюдения­ ми. Сначала вычисляется матрица сходства порядка пХп меж­ ду всеми парами наблюдений. Затем итерационным методом оценивается сходство между столбцами этой матрицы. Столб­ цы, представляющие члены одиночного кластера, имеют внут­ ренние корреляции, близкие £+1, в то время как их корреляции

сдругими элементами значительно ниже.

4.Иерархическая кластеризация состоит в объединен.:н наи­ более сходных наблюдений, затем последовательно к ним при­ соединяются Следующие наиболее близкие наблюдения. Снача­

в науках о Земле, вероятно, потому, что развитие этих методов было тесно связано с численной таксономией ископаемых остат­ ков, которые в силу их широкого распределения будут рассмот­ рены подробнее.

Предположим, что мы располагаем некоторым множеством объектов, которые желательно иерархически расклассифици­ ровать. В биологии эти объекты обычно называются «операци­ онными таксономическими единицами», или ОТЕ. На каждом объекте мы проводим ряд измерений, которые составляют наше множество данных. Если у нас п объектов и измерено т харак­

246

теристик, то множество данных образует матрицу порядка пХт. Далее между каждой парой объектов вычисляется неко­ торая мера сходства или подобия. Коэффициенты сходства мо­ гут быть разными, как, например, коэффициент корреляции или стандартизованное m-мерное евклидово расстояние dtj. Послед­ нее вычисляется по формуле

/™

(6.39)

где Х1к—'Значение k-и переменной на г'-м объекте и Хц:-—зна­ чение k-й переменной на /-м объекте, Естественно ожидать, что малое значение этого расстояния указывает на то, что объек­ ты подобны или близки друг другу, в то время как большое значение указывает на отсутствие подобия. Обычно матрица исходных данных до вычисления расстояний подвергается стан­ дартизации. Это позволяет учитывать каждую переменную с одинаковым весом, В противном случае расстояние опреде­ лялось бы переменной, имеющей наибольшее значение. В неко­ торых случаях это даже желательно, однако неразумный выбор единиц измерения может иногда привести к нежелательным последствиям. Яркой иллюстрацией этой зависимости Служит пример измерения трех осей образцов гальки. Если измерить две оси в сантиметрах, а третью — в миллиметрах, то третья ось будет иметь в десять раз большее влияние на расстояние, чем две другие переменные.

Множество мер сходства между всеми парами объектов можно представить в виде симметричной матрицы порядка пХп. Для вычисления элементов этой матрицы с использова­ нием уже написанных подпрограмм требуется транспонировать матрицу исходных данных, порядок которой п Хт, в матрицу порядка тХп . В результате получим матрицу сходства поряд­

ской группировки объектов, при которой объекты с наивысшимп коэффициентами сходства размещаются вместе. Затем груп­ пы объектов соединяются в другие группы, с которыми они наиболее тесно связаны, и так, продолжается до тех пор, пока не будет получена полная классификация объектов. Сущест­ вует много методов анализа групп; рассмотрение всех разно­ видностей этих методов и их сравнение выходят за рамки на­ стоящей книги. Однако мы рассмотрим один простой метод, называемый методом взвешенной парной группировки с ариф-

247

разновидности этой схемы. Подробное изложение этого и дру­

сификации излагаются с точки зрения экспериментальной фи­ зиологии, во второй — численной таксономии.

В табл. 6.11 приведена полная симметричная матрица ко­ эффициентов корреляции между шестью объектами, названны­ ми А, В, .... F. Объекты — это шлифы песчаника, а перемен­

ные— характеристики структуры породы, включающие разме­ ры и показатели формы зерен, размеров н формы пор п плот­ ности заполнения. Е этом примере в качестве меры сходства взят коэффициент корреляции.

Первый шаг анализа групп методом попарного объединения состоит в нахождении в корреляционной матрице наибольших коэффициентов корреляции с целью выделения центров групп. Наивысшие коэффициенты корреляции в каждом столбце матрицы (см. табл. 6.11), выделены жирным шрифтом. Объек­ ты А и В образуют пару с высокой мерой схотства, так как -1 наиболее близок к В и В наиболее близок к А. Однако С и В не образуют пары с высокой мерой сходства, так как хотя С близок к В, В ближе к Л, чем к С. Для выделения пары с вы­

группы.

Далее матрицу сходства вычисляют снова, причем сгруппи­

2<8

в том, что новые коэффициенты корреляции между всеми груп­ пами и объектами, не включенными в группы, вычисляются заново с помощью простого усреднения. Например, новый ко­ эффициент корреляции между группой АВ и объектом С равен

результаты этих вычислений. Наиболее высокие значения коэф­

249

мепення в дендрограмме, сопоставив на графике каждый эле­ мент исходной корреляционной матрицы с каждым элементом кофепетической матрицы (рис. 6.7). Если обе матрицы совпа­ дут. то график этой зависимости будет представлен прямой ли­ нией. Отклонения от нее указывают на изменения в дендрогра мме: если точка оказывается выше прямой, то корреляция, соответствующая дендрограмме, оказывается слишком высо­ кой. Наоборот, если точка попадет в область под прямой, то усреднение коэффициентов корреляции приводит к более низ­

25