книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfБ. В. КУЧЕРЯЕВ
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Теоретические основы обработки давлением композитных металлов
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучат- щихся по направлению «Металлургия» и специальности «Обработка металлов давлением»
МОСКВА
• МИСИС•
2000
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие....................................................................................................................... |
6 |
Список принятых обозначений и сокращении........................................................... |
8 |
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД.................. |
12 |
1.1. Формализация понятий.......................................................................................... |
12 |
1.1.1. Идеализация форм существования материи....................................... |
12 |
1.1.2. Топология сплошных сред....................................................................... |
13 |
1.1.3. Классификация композитных сред.......................................................... |
15 |
1.1.4. Понятие о математической постановке и решении краевых задач... |
18 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
19 |
1.2. Кинематика............................................................................................................... |
20 |
1.2.1. Основные понятия и определения.......................................................... |
20 |
1.2.2. Описание движения в лагранжевых координатах............................. |
26 |
1.2.3. Описание движения в эйлеровых координатах.................................. |
30 |
1.2.4. Тензор малых деформаций...................................................................... |
37 |
1.2.5. Условия совместности деформаций...................................................... |
42 |
1.2.6. Поле скоростей............................................................................................ |
43 |
1.2.7. Тензор скоростей деформаций................................................................ |
54 |
1.2.8. Кинематические граничные условия....................................................... |
61 |
1.2.9. Кинематика сплошных композитных сред.......................................... |
63 |
1.2.10. Двухмерное стационарное течение двухслойной среды............... |
64 |
1.2.11. Двухмерное стационарное течение многослойной среды............. |
74 |
1.2.12. Объемное стационарное течение слоистых композитов............... |
76 |
1.2.13. Кинематика сплошных сред с включениями....................................... |
81 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
84 |
1.3. Статика...................................................................................................... |
85 |
1.3.1. Механическое силовое воздействие....................................................... |
85 |
1.3.2. Формула О.Коши....................................................................................... |
87 |
1.3.3. Тензор напряжений.................................................................................... |
90 |
1.3.4. Напряжения на характерных площадках в главных |
|
координатах тензора напряжений.................................................................... |
93 |
1.3.5. Статические граничные условия............................................................ |
98 |
1.3.6. Статика сплошных композитных сред.................................................. |
98 |
Контрольные вопросы...................................................................................................... |
100 |
3
1.4. Динамика.................................................................................................................... |
100 |
1.4.1. Уравнение неразрывности........................................................................ |
100 |
1.4.2. Уравнение движения.................................................................................. |
102 |
1.4.3. Симметрия тензора напряжений............................................................ |
105 |
1.4.4. Баланс мощности (работы)....................................................................... |
106 |
1.4.5. Уравнение теплопроводности................................................................. |
112 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
115 |
1.5. Реология композитных сред................................................................................. |
116 |
1.5.1. Свойства идеальных кристаллов и реальных металлов.................... |
116 |
1.5.2. Определяющие уравнения......................................................................... |
127 |
1.5.3. Математическая постановка краевых задач........................................ |
130 |
1.5.4. Кинематическая постановка задач......................................................... |
136 |
1.5.5. Статическая постановка задач................................................................ |
140 |
1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов................................ |
142 |
1.5.7. Модели пластичных сред.......................................................................... |
154 |
1.5.8. Пластическая деформация анизотропных сред.................................. |
156 |
1.5.9. Оценка эффективных свойств сплошных композитных сред......... |
165 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
177 |
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД... |
179 |
2.1. Вариационные принципы механики сплошных сред.................................... |
179 |
2.1.1. Принцип Ж.Лагранжа................................................................................ |
179 |
2.1.2. Принцип А.Кастилиано............................................................................. |
185 |
2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил................................. |
190 |
2.1.4. Изопериметрическая постановка вариационных задач.................... |
192 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
195 |
2.2. Движение идеальных жестко-пластичных сред............................................... |
195 |
2.2.1. Метод тонких сечений................................................................................ |
195 |
2.2.2. Метод линий скольжения.......................................................................... |
199 |
2.2.3. Метод разрывных полей скорости......................................................... |
211 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
219 |
2.3. Методы построения непрерывных полей скоростей....................................... |
218 |
2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей................................................... |
220 |
2.3.2. Интеграл К.Шварца-Э.Кристоффеля.................................................. |
223 |
2.3.3. Суперпозиция гармонических течений................................................. |
226 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
233 |
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ |
|
СПЛОШНЫХ СРЕД)........................................................................................... |
234 |
П 1. Элементы тензорного исчисления....................................................................... |
235 |
II1Л. Теизоры в декартовых координатах...................................................... |
235 |
4
П l .2. Действия иад тензорами различного ранга......................................... |
241 |
П 1.3. Инварианты тензоров............................................................................ |
247 |
П1.4. Физические и геометрические аналоги тензоров............................ |
250 |
П 1.5. Методы анализа тензорных полей......................................................... |
252 |
П 1.6. Основные интегральные зависимости................................................. |
257 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
259 |
П2. Основы вариационного исчисления.................................................................... |
260 |
П2.1. Элементы функционального анализа................................................... |
260 |
П2.2. Некоторые сведения из вариационного исчисления......................... |
265 |
П2.3. Примеры реализации вариационных задач........................................... |
268 |
П2.4. Проекционные методы............................................................................. |
282 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
284 |
ПЗ. Методы построения координатных функций................................................... |
285 |
ПЗЛ. Глобальная аппроксимация с учетом граничных условий.............. |
285 |
ПЗ. 1.1. Метод М.М.Филоненко-Бородича................................... |
285 |
ПЗЛ.2. Метод ВЛ.Рвачева................................................................ |
286 |
ПЗЛ .3. Метод конформных отображений................................... |
287 |
ПЗ. 1.4. Метод интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля............... |
294 |
ПЗЛ.5. Метод суперпозиции гармонических течений............... |
297 |
П3.2. Склейка локальных аппроксимаций...................................................... |
301 |
Контрольные вопросы..................................................................................................... |
309 |
Библиографический список............................................................................................. |
310 |
Предметный указатель................................................................................................. |
311 |
Именной указатель................................. |
316 |
5
Моим учителям: по ж изни
дорогому папе КУЧЕРЯЕВУ ВИКТОРУ НИКОЛАЕВИЧУ,
шнауке
КЛЯЩИЦКОЙ ЕВГЕНИИ АЛЕКСАНДРОВНЕ, СЕГАЛУ БЕНИЦИОНУ ИЗРАИЛЕВИЧУ, ГУНУ ГЕННАДИЮ ЯКОВЛЕВИЧУ
посвящается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник предназначен для студентов технических вузов, специализирую щихся в области обработки давлением композитных металлов. Потребность различных отраслей народного хозяйства в композитных металлах постоянно увеличивается, и этим объясняется необходимость подготовки инженерных кадров, получающих в процессе обучения специальные знания, необходимые для проектирования технологии производства изделий Ъ цехах по обработке таких металлов давлением.
В широком смысле под термином "композитный материал" можно пони мать любой материал со значимой в рассматриваемых условиях неоднородно стью свойств. В учебнике этот термин представлен в более узком смысле, озна чающем материал, получаемый в общем случае совместной пластической де формацией разнородных металлов. Специфика свойств композитных металлов, особенности совместной пластической деформации разнородных металлов требуют акцента на определенных подразделах "Механики сплошных сред", связанных со спецификой описания движения неоднородных теп. Естественно, что однородные тела можно рассматривать как частные варианты неоднород ных тел с малозначимой в определенных условиях неоднородностью свойств последних. Поэтому при упрощении, а в ряде случаев, и при сокращении неко торых специальных подразделов, относящихся к особенностям описания дви жения композитных металлов, учебник может быть использован студентами, специализирующимися в области обработки давлением однородных металлов.
При изложении материала учебника автор придерживался концепции о дуальности окружающего нас мира: информация как форма существования ма терии, так же как и материя никогда не возникала и никогда не исчезает, а лишь преобразовывается из одного вида в другой. Вечное существование мате риального мира можно рассматривать как результат постоянного обмена ин формацией одних его частей с другими внутри этого мира в самом широком смысле этого слова (механическом, тепловом, химическом, электромагнитном идр.),
Описание движения композитных металлов рассмотрено с позиции меха ники деформируемого твердого тела (МДТТ) с использованием гипотезы сплошной среды, что позволяет в структурном построении учебника в основ ном сохранить порядок представления его содержания, присущий традицион ному изложению курсов "Механика сплошных сред", "Механика деформируе мого твердого тела", "Теория пластичности".
б
Учебник состоит из двух разделов: в первом излагается механика компо зитных сплошных сред, во втором приведены основные методы решения задач теории пластичности. В учебник ие включены разделы, связанные с вопросами разрушения; вязкости и ползучести деформируемых металлов. В достаточном объеме для специалистов в области обработки металлов давлением этот мате риал изложен в книгах ГЛ.Гуна "Математические основы обработки металлов давлением", В.Л.Колмогорова "Механика обработки металлов давлением", Г.Э.Аркулнса и В.Г.Дорогобида "Теория пластичности", Н.Н.Малииина "При кладная теория пластичности и ползучести", которые наряду с настоящим учебником должны быть включены в список основной литературы учебных программ.
Используемый математический аппарат преимущественно в информатив ном виде приведен в "Приложений", ссылка на которое в тексте учебника по зволила отказаться от многократного описания большого количества стан дартных процедур и избавить его объем от рутинных нагромождений. Все под разделы заканчиваются контрольными вопросами, часть из которых составле на с учетом творческого подхода к изложенному материалу при подготовке ответов.
Помещенные в учебнике упражнения можно рассматривать как объект для самостоятельной работы, а также как задачи для работы с аудиторией на прак тических занятиях. Конец текста упражнений обозначен значком 3 . Основной теоретический материал иллюстрирован примерами решения задач.
В тексте использована трехпозициониая индексация параграфов. Напри мер, 2.1.4 означает четвертый пункт первого подраздела второго раздела. Таб лицы и рисунки имеют сквозную нумерацию по всему тексту учебника. Форму лы и упражнения нумеруются в естественном порядке внутри каждого подраз дела. Напримзд запись (1.2.27) означает формулу 27 из второго подраздела первого раздела. Точно также запись " Упражнение 1.3.5" означает упражнение 5 из третьего подраздела первого раздела. Если в основном тексте перед номе ром формулы или упражнения поставлена буква "П\ например (П1.31), то это означает, что формулу нли упражнение следует смотреть в "Приложении".
Автор выражает глубокую благодарность кафедре "Пластическая дефор мация специальных сплавов" Московского государственного института стали и сплавов (технологический университет) за поддержку идеи написания учеб ника, а также коллективному рецензенту - кафедре "Материаловедение, каче ство и сервис металлургических и машиностроительных технологий" во главе с заведующим кафедрой профессором Г.С.Гуном и рецензенту профессору Л.Г.Степанскому.
Автор с благодарностью примет от читателя любые замечания и предло жения по улучшению содержания учебника, которые можно отправить по ад ресу: 117936, ГСП, Москва, В-49, Ленинский проспект 4.
7
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНА ЧЕНИЙ
ИСОКРАЩЕНИЙ
М- материальный объект, сплошное тело, сплошная среда
Ма -сплошная а-среда
м - материальная частица
Ша - материальная частица а-среды
R - пространство, заполненное множеством сред
N - пространственная область, занимаемая телом М
Na - пространственная область, занимаемая а-средой
0 - |
свободное (пустое) пространство (множество) |
п - |
пространственная точка |
S, s - |
поверхность тела М и ее точка |
Saр - |
поверхность раздела тел М а и Мр |
Q - |
объем тела М |
Q a - |
объем а-среды |
Р - |
совокупность свойств |
Ра- |
совокупность свойств а-среды |
t - |
время |
Ma= |
((fl//c)) - матрица с компонентами |
п |
|
Та —[[«!*...*]] - тензор ранга п с компонентами ai k (скалярная величина
п |
п |
|
О
а = Т а ~ тензор нулевого ранга, векторная величина а= Та с компонен-
2
тами т - тензор первого ранга, тензор второго ранга Та с компонентами
з
аос обозначается Та, тензор Т а с компонентами аяд'- третьего ранга и т.д,) ||Ь|| - длина (модуль, норма) вектора b
п- единичная (||n|| = 1) внешняя нормаль к поверхности S
т! -транспонированный тензор с компонентами аш тензора Та с компонента
ми аос
gtk - символ Л. Кронекера
8
М$ = ((5ft)) - единичная матрица с компонентами Т5 = ЦБ*]] - единичный тензор с компонентами 5»
€$л- |
символ Т. Леви-Чивиты |
|
а - |
орт или единичный вектор (||е/)| = 1), направление которого совпадает с i-й |
|
|
координатной осью |
|
Sa - сферическая часть тензора Та, Sa= а0Т5 |
||
Da - девиаторная часть тензора Та, Da= Ta-Sa |
||
д0- среднее значение тензора Та, а§ = |
* |
|
3
®- символ скалярного типа р произведения двух тензоров различных рангов с
риндексами суммирования (свертки) их компонент (при умножении тен
зора любого ранга на скаляр символ р опускается; при р = 0 (® = © ) вместо ® используется символ ® тензорного произведения; при p f равном наи меньшему рангу одного из тензоров-сомножителей, символ ® заменяется скалярной точкой как символом полного скалярного произведения
хр - символ векторного произведения тензоров различных рангов (при р у рав ном рангу одного из тензоров-сомножителей, символ х заменяется симво лом х полного векторного произведения)
V - векторный дифференциальный оператор У.Р.Гамильтона (набла) с компо-
д
нентами — ; dxi
V" - тензорный ранга п дифференциальный оператор У.Р.Гамильтона, Vrt=V®...®V (полное скалярное произведение V" на тензор ранга т при m 'tn называется дивергенцией /t-го порядка этого тензора, тензорное про изведение Vя на тензор любого ранга называется градиентом /t-го порядка этого тензора, векторное произведение Vя на тензор ранга т прн m 'tn на зывается ротором или вихрем n-го порядка этого тензора)
Л= V*V —оператор П.С.Лапласа (гармонический) Д2=АЛ - бигармонический оператор
* В учебнике используется правило А. Эйнштейна н исключение нз него А.И. Лурье. Правило А.Эйнпггейна: если в одночлене (например, ajbt или k f kt или CjdJ и т.п.), со держащем индексированные переменные, встречаются повторяюцлеея индексы или оди наковые с индексами буквы, то по этим индексам или индексам и буквам производится
суммирование (яД=Я1Ь1+в2 Ьг+... или k f k= / 1+2/ 2 +..., или cy</y=ci</+ сг<*2+... и т.п.) Исключен* А.ИЛурье: суммирование в одночлене по повторяющимся индексам
или индексам и одинаковым с ними буквам не производится, если такие индексы или бу квы в любом виде встречаются с обеих сторон знака равенства (неравенства, тождества и т.п.) в уравнениях или равенствах (неравенствах, тождествах и т.п.), например: = => с\=аф\\ С2=в2^2;... или sk= kfk =>J I = /I ; s i = 2/г;..., или gj-CjdJ => g\ = Ы ; g2=C2<n...
9
п |
|
n |
|
aja |
- |
||
частная производная тензора Та по времени t |
|||
dt |
|
|
|
п |
|
п |
|
d Та |
- |
||
полная производная тензора Та по времени г |
|||
d t |
|
|
|
L |
- |
лагранжев радиус-вектор с компонентами Lt - лагранжевыми (матери |
|
|
альными) координатами частицы т в начальный t = to момент времени |
||
Е - эйлеров радиус-вектор с компонентами Et - эйлеровыми (пространствен ными) координатами материальной частицы I», находящейся в произ вольный момент времени t в пространственной точке п
d L , dE - радиусы-векторы точек малой окрестности материальной частицы т в начальный го и произвольный t моменты времени соответственно
xt - общее обозначение координат (обобщенные координаты)
и - вектор перемещения материальной частицы с компонентами т
un, UP, ux - полный, нормальный и касательный векторы перемещения иа по верхности S с нормалью п
d v, u®V - вектор и тензор искажения (дисторции) окрестности материальной час тицы
Тц Те - лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций с компонентами L* и Eik соответственно
JL, JE - якобианы взанмнообратного преобразования лагранжевых и эйлеровых координат
Т8- тензор малых деформаций с компонентами ел
8о-средняя деформация, е0 =-^-
Se - сферическая часть Те, Se = s0Ts
DBдевиаторная часть Те с компонентами ел=ел-еоб* Г - интенсивность сдвиговых деформаций
dQht d£lе - элементарные объемы окрестности материальной частицы в началь ный Го и произвольный Г моменты времени
v - вектор скорости перемещения материальной частицы с компонентами v,-;
vn, |
|
vTполный, нормальный и касательный поверхностные векторы скоро |
|
сти на поверхности S с нормалью п |
|
*/V, V0V - вектор и тензор скорости искажения (скорости дисторции) окрест |
||
|
ности материальной частицы |
|
Т$ |
- |
тензор скоростей деформаций с компонентами |
|
- |
средняя скорость деформации, £0= ■“ |
|
- |
сферическая часть Т$, S? = £oTs |
D$ |
- девиаторная часть с компонентами |
|
Н |
- |
интенсивность сдвиговых скоростей деформаций |
А- степень деформации сдвига
Р- поверхностная сила
т- масса
F - массовая сила, приходящаяся на единицу массы
10