книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

и подставить в (1.2.1), то, используя (1.2.65) для произвольного объема П, из (1.4.1) получим (1.2.143) в эйлеровых координатах. В лагранжевых координатах уравнение неразрывности (1.2.145) также получается из закона сохранения массы

Воспользуемся соотношением (1.2.38). После преобразования перемен­ ных в правом интеграле получим

(1.4.3)

= 0 *

О

Отсюда с помощью (1.2.S4) и (1.2.63) для произвольного объема С1 по­ лучаем уравнение (1.2.145). Рассмотрим частные виды уравнения не­ разрывности среды (1.2.143).

Первому виду соответствует уравнение (1.2.144) или (1.2.98). Физи­ чески этим уравнениям соответствует постоянство плотности и нет -

менность объема в окрестности одной и той же движущейся матери­ альной частицы т.

В отличие от первого частного случая, когда приравнивается к ну­ лю полная производная плотности по времени, во втором частном виде уравнения неразрывности среды рассматривается равенство нулю ча­ стной производной плотности по времени

Физический смысл этого уравнения - постоянство плотности окрест­ ностей разных материальных частиц, попадающих при движении в одну и ту же пространственную точку я. При этом плотность окрестностей самих материальных частиц меняется при переходе от одной простран­ ственной точки к другой. С помощью (1.2.16) и несложного преобразо­ вания представим уравнение (1.2.143) в виде

Тогда условие (1.4.4) можно записать, используя (1.4.5), в другом экви­ валентном виде

101

Условие (1.4.4) называется условием стационарного изменения плотности в окрестности материальных частиц. При таком движении материальных частиц произведение плотности на скорость должно быть соленоидальным.

к

При описании движения сплошной среды М = |J М а (1.1.1) в об-

а=1

щем виде уравнение неразрывности композитной среды либо в эйлеро­ вых координатах

должно быть записано для каждойa -среды- Частный вид (1.2.144) уравнения (1.4.7) может выполняться как для всей композигаой среды, так и дня отдельных Па объемов

В первом случае все составляющие КМ являются несжимаемыми и для всего движущегося объема Q поле скоростей должно быть соле-

Другому частному виду (1.4.4) уравнения неразрывности среды (1.4.5) соответствует движение материальных частиц композитной сре­ ды с направленной по траектории материальных частиц изотропией плотности. Например, такому случаю соответствует стационарное те­ чение многослойной среды, когда изменение плотности каждого слоя связано с изменением его скорости соотношением (1.4.6):

1.4.2. Уравнение движения

Рассмотрим движение a -среды в объеме Оа с замкнутой поверхно­

стью S a = U £ae >находящейся во взаимодействии с другими р-средами.

Р

102

Вследствие произвольности объема Q из (1.4.15) имеем уравнение движ ения КМ:

Таким образом, уравнение движения имеет универсальный вид как для всей композитной среды (1.4.16), так и для каждой ее составляющей (1.4.14). Только в первом случае параметры уравнения (1.4.16) описы­

вают движение всей композитной среды в общем объеме Q = UQa , а a

во втором - движение отдельной a -среды в индивидуальном объеме О,,. В дальнейшем все соотношения, имеющие в указанном смысле универ­ сальный вид, будем записывать для всей композитной среды, полагая, что для описания движения в индивидуальном объеме какой-либо ком­ поненты такой среды параметрам этих соотношений достаточно при­ писать соответствующий рассматриваемой компоненте индекс.

Частный вид уравнения движения, когда инерционные силы (1.3.3)

называется уравнением равновесия. При обработке давлением инерци­ онные силы становятся значимыми лишь в высокоимпульсных процес­ сах. Кроме того, для большинства процессов ОМД массовые силы имеют несущественное значение. Если они не принимаются во внима­ ние, то уравнение равновесия (1.4.17) принимает вид, наиболее часто применяемый в решениях задач теории ОМД:

V-T„=0. (1.4.18)

Воспользуемся тождеством (П1.89). Для этого представим тензор напряжений с помощью тензора Т«, называемого тензором функций напряж ений Э.Бельтрами, в виде:

T„=VjxT*. (1.4.19)

Учитывая, что тождество (П1.89) справедливо в любом множестве координат тензора Тф, этим тождеством целесообразно воспользовать­ ся в главных координатах тензора Тф. В этом случае тензор Тф называ­ ется тензором функций напряж ений Дж М аксееляа. Выгода примене­ ния в (1.4.19) тензора Дж.Максвелла вместо тензора Э.Бельтрами со­ стоит в том, что в первом случае построение тензора напряжений, удовлетворяющего уравнению равновесия (1.4.18), в трехмерном мно-

104

жестве координат сводится к построению лишь трех главных компо­ нент тензора ТФ, а во втором - всех шести, так как Т« - симметричный тензор (см. следующий пункт).

В декартовых координатах скалярная форма записи компонент тензора напряжений через компоненты тш зора Э.Бельтрами (1.4.19) имеет вид (см. П1.82):

Это же соотношение можно записать через компоненты тензора Дж.Максвелла (главные компоненты Фт тензора Тф):

дхjdx,

Упражнение 1.4.2. С помощью (1.4.21) показать, что в двухмерном пространстве, когда все компоненты топора напряжений зависят толь­ ко от двух координат х\ и x i, эти компоненты полностью определяются

1.4.3. Симметрия тензора напряжений

Воспользуемся теоремой курса теоретической механики о главном моменте всех действующих сил:

Здесь х - радиус-вектор материальной частицы. С помощью (П 1.103) и (1.3.13) преобразуем поверхностный интеграл формулы (1.4.23) в де­ картовых координатах

После подстановки результата этого преобразования в (1.4.23) имеем

105

где T$ определяется формулой Дж.Стокса (1.2.137).

Упражнение 1.4.5. Показать, что разложением тензоров напряже­ ния Т0 и скоростей деформаций Т; на девиаторную и сферическую час­ ти (П1.53)...(П1.56), формулу (1.4.30) при N = 3 можно представить в

где оо - среднее напряжение (1.3.20); £о - средняя скорость деформации (1,2.148) Э

Подстановкой (1.4.29) в (1.4.28) при вьшолнении уравнения движе-

В левой части уравнения (1.4.32) представлена мощность активных (поверхностных и массовых), по отношению к рассматриваемому телу М а, сия, а в правой - мощность реактивных (инерционных и внутрен­ них) сил. Таким образом, (1.4.32) следует рассматривать как баланс мощ-ности всех действующих на тело М а сил.

Теперь рассмотрим сплошную композитную среду М =M JJ М ? с объемом Q и поверхностью S. Для объема Qp с поверхностью £ р по аналогии с (1.4.32) запишем баланс мощности

Пусть в области П тензор напряжений Та, поле скоростей V, мас­ совые силы F и плотность р таковы, что в областях Па и Пр, они при­ нимают значения Т® и Т р, Va и Vp, Fa и Fp, pa и рр соответственно. Кроме того, часть границ Sa и £р является общей границей двух рассматриваемых тел, а оставшиеся части границ этих тел S = 5aU5p\5 ap образуют замкнутую поверхность всего тела Л/. Баланс мощности всех действующих на тело М сил можно получить двумя способами.

107

Первый способ сводится к суммированию (1.4.32) и (1.4.33) с уче­ том обозначений параметров, действующих в объеме £2 и на его по­ верхности 5. При суммировании приращений мощности, развиваемой поверхностными силами на соответствующих скоростях в точках s раз­ личных участков поверхностей, ограничивающих тела М* и Л/р компо­ зитной среды М , необходимо учитывать действие на S напряжения о" и

Ранее (1.2.182) отмечалось, что разрыв (скачок) вектора скорости KB-поля скоростей на какой-либо поверхности может осуществляться лишь за счет тангенциальной к этой поверхности составляющей, а нормальная составляющая вектора скорости должна быть непрерыв­

то с учетом (1.4.34) эту мощность можно записать в двух эквивалент­ ных формах (рис. 31).

ИЛИ

Si*

Более подробно первое подынтегральное выражение (1.4.38) на ос­ новании (1.3.16) имеет ввд: р" • (vI - )+ • (v* —Vp ). К аналогич­ ному виду приводится второе подынгаральное выражение (1.4.39):

10S

При решении конкретных задач о движении композитных материалов обозначения типа (1.4.40) назначают в зависимости от свойств контак­ тирующих сред.

Окончательно сумма (1.4.32) и (1.4.33) или баланс мощности всех действующих на композитное тело М сил имеет вид:

Jo£-VdS+ J x J V ap</5+JpFVdn = J— VdQ + jT o (V0V)dn. (1.4.42)

5 e 5 * О О d t о

Здесь мощность активных, по отношению к телу М , сил представ­ лена первым и третьим слагаемыми левой части уравнения (1.4.42), а мощность реактивных сил - слагаемыми правой части уравнения. Учи­

тывая, что вектора и AV„p всегда направлены на S^ противопо­

ложно друг другу, второе слагаемое в балансе мощности (1.4.42), ха­ рактеризующее ее рассеяние на межкомпонентной границе, относят к мощности реактивных сил.

Если на всей границе отсутствует скачок вектора скорости (1.4.40), то для всего композитного тела М можно использовать единое

109