книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

[a] = [a] − = [a]e − + [a]p− ,

k 1 k 1 k 1

т.е. принимают параметры упругости, соответствующие напряженному и деформированному состоянию в конце предыдущего этапа нагружения. Принимают сначала, что характер нагружения (нагрузка или разгрузка) остается таким же, как и на предшествующем этапе. Аналогичное предположение принимают для вектора

{φc } = {φc }k −1 .

Далее проводят расчет k-го этапа нагружения упругого тела с эффективными упругими коэффициентами и заданными дополнительными деформациями ползучести. После расчета проверяют условия возникновения пластической деформации:

σi(k ) = σт (εip*(k ) ),

где σ i(k) – интенсивность напряжений в конце k-го этапа нагружения; σт (εip*(k ) ) – предел текучести, соответствующий накопленной интенсивно-

сти пластической деформации в конце k-го этапа нагружения.

Если характер нагружения на k-м этапе остается таким же, как и на предыдущем (k – 1)-м, то корректировка значения [a]k–1 не требуется. Если на k-м этапе предполагали нагружение, а после проверки критерия пластичности он оказался невыполненным, то расчет этапа следует провести заново, положив

Если на k-м этапе предполагали разгрузку (т.е. решалась чисто упругая задача без пластики), но в действительности было нагружение, то расчет следует провести заново, принимая

[a] = [a] − = [a]e − + [a]p− .

k 1 k 1 k 1

В результате рассмотренной процедуры в первом приближении устанавливают приращение напряжений и деформаций на k-м этапе и зна-

чение [a]k.

Если принятые в начале этапа величины [a]k–1 иполученные после расчета [a]k достаточно близки, то расчет этапа заканчивают и приступают к следующемушагу. Еслирасхожденияпараметровупругостивелики, полагают

281

[a] = 1 ([a]k −1 + [a]k ) 2

и проводят расчет второго приближения.

При проведении расчетов подобным образом уточняют значения вектора деформаций текучести {ϕ c}.

Одним из существенных недостатков метода переменной жесткости является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицу жесткости и решать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становится неэкономичным и более приемлемыми оказываются другие методы, например описанные

вследующем разделе.

4.6.2.Методы начальных (дополнительных) напряжений

Если определяющие уравнения разрешены относительно напряжений

σ = f (ε ),

то их можно свести к соотношениям типа (4.77) для упругого материала, задавая соответствующим образом {σ 0}. Tак как {σ 0} влияет на силы {F}, то приходим к уравнению

ψ = (0) − { ( )} =

{ } K {u} F {u} 0 .

Итерационный процесс организуется следующим образом. Сначала решаетсячистоупругаязадачасзаданными приложенныминагрузками {F (0)}:

Процесс продолжается до тех пор, пока решение не перестанет меняться (изменения решения меньше наперед заданной точности).

Другой метод состоит в определении только изменений {F}, обуслов-

ленных изменениями требуемого начального напряжения. В этом случае находим приращения перемещений:

282

∆{u(1)}= K (0) −1∆ {F (1)} и т.д., (4.85)

иитерации продолжаются до тех пор, пока их величина не станет меньше заданной точности.

При вычислениях более удобен второй подход, кроме того, он имеет ясный физический смысл. На каждом этапе во всех точках рассматривае-

мой области определяется разность между истинными напряжениями при соответствующих деформациях и напряжениями, найденными из упругого решения. Эта разность напряжений распределяется затем в соответствии с упругим законом, чтобы восстановить равновесие. Величину

силы ∆ {F (n)}, вычисленную на n-м шаге итерации, можно физически ин-

терпретировать как неуравновешенную невязку силы в теле, и, следовательно, она является удобной мерой ошибки.

В этом методе на каждом итерационном шаге используется одна и та же матрица жесткости.

Для определения матрицы жесткости [K(0)] следует использовать начальные значения упругих констант, если поведение материала в основном описывается соотношениями линейной теории упругости и отклонения от него локализованы. Однако если нелинейность появляется для всех напряжений, то для ускорения сходимости можно скорректировать упругие постоянные после первой итерации.

4.6.3.Методы начальных (дополнительных) деформаций

Внекоторых задачах, особенно в задачах ползучести, действующие напряжения нельзя выразить в явном виде через деформации, но можно определить деформации (или их приращения) через напряжения:

Приведение соотношения (4.86) к виду (4.77) может быть достигнуто соответствующим выбором {ε 0}. Уравнение (4.78) опять решается итерационным методом, но теперь упругие деформации, получаемые на каждом шаге, сравниваются с деформациями, соответствующими определяющему соотношению (4.86), и их разность используется для оценки невязки силы ∆ {F (n)}. В остальном процесс идентичен описанному выше. Матрица же-

сткости остается постоянной на любом шаге.

В некоторых законах ползучести деформации ползучести явно отделены от упругих деформаций (гипотеза аддитивности) и, следовательно,

283

при каждой итерации определяются непосредственно неупругие начальные деформации.

Метод дополнительных деформаций при простом нагружении.

В [15] рассматривается алгоритм применения метода дополнительных деформаций для задач пластичности (деформационная теория пластичности). В этом методе, в отличие от метода переменных параметров упругости, деформация пластичности рассматривается как дополнительная деформация. Основной в этом случае является обычная упругая задача с постоянными параметрами упругости, что существенно упрощает «упругое решение». Однако структура процесса последовательных приближений оказывается сложнее.

Определяющие соотношении запишем в виде

формации (разностьмеждудействительными иупругими деформациями). Так как девиаторы напряжений и полных деформаций, согласно де-

формационной теории пластичности, связаны соотношением

e = 1 + νψS ,

E

тензор пластической деформации можно записать в виде

Впервом приближении, которое совпадает с первым приближением

вметоде переменных параметров упругости, решается упругая задача при отсутствии дополнительных деформаций. По найденному полю переме-

щений определяются компоненты тензоров деформаций ε (1), затем напряжений σ *(1), интенсивность напряжений σ i*(1) и вычисляется параметр пластичности (рис. 4.24).

σ*(1) ψ1 = σi(1) .

i

284

мации остаются неизменными в процессе последовательных приближений, используемых для нахождения деформаций пластичности на данном этапе нагружения.

Метод дополнительных деформаций при сложном нагружении.

В [15] рассматривается алгоритм применения метода переменных параметров упругости для задач пластичности и ползучести при сложном нагружении.

Вектор приращения полных деформаций представляют в форме

{d ε} = [a]e{d σ} + Fσ(σi ){S}d σi + {φc }d t ,

пластическую деформацию и деформацию ползучести считают дополнительными (к упругой). Интегрируя по времени для k-го этапа нагружения, получим

{∆ k ε}= [a] {∆ k σ+} Fσ(σi ){S}∆ k +σi {φc∆} t .

Основная трудность состоит в том, что приращение пластической деформации (второе слагаемое правой части) неизвестно и находится в про-

(рис. 4.25). В первом приближении проводят расчет напряжений и деформаций, предполагая материала упругим, а дополнительные деформации отсутствующими. Далее считают, что из расчета предшествующего

этапа известны величины εip*(k −1) , σт(k −1) = σт(εip*(k −1) ) и, следовательно, – положение изображающей точки Аk–1 на кривой деформирования. Если точка Аk–1 находится внутри отрезка Оk–1Аk–1 (например, А’k–1), то первое приближение завершает расчет. Рассмотрим случай, когда точка Аk–1 расположена на кривой деформирования и σ = σ (рис. 4.25).

При расчете первого приближения значения [a]e, {ϕ c} принимают соответствующими точке Аk–1.

После проведения расчета проверяют выполнение условия нагружения σi (k ) = σт (εip*(k ) ). Если имеет место нагружение, то определяют вели-

чину интенсивности приращений деформации ∆ (1)k εi* .

286

σ

∆ε 0(1)

ε

Рис. 4.26. Методы начальных деформаций и начальных напряжений

напряжения ∆ {σ 0}(1), тогда как в методе начальных деформаций значения деформаций корректируются поправочным членом ∆ {ε 0}(1). Отметим, что когда с ростом напряжений деформации быстро увеличиваются, предпочтительнее использовать первый метод, а когда с ростом деформации быстро увеличиваются напряжения – второй.

4.6.4. Метод Ньютона для решения нелинейной системы уравнений, полученной для физически нелинейной задачи

Заметим, что систему уравнений (4.80) можно рассматривать как систему нелинейных уравнений ψ (х) = 0, для которой применимы все известные методы решения нелинейных систем уравнений и, в частности, метод Ньютона (метод Ньютона–Рафсона) [7]:

и его модификация (Ньютона–Канторовича)

Очевидно, что методы переменных параметров упругости, начальных напряжений и деформаций относятся к этим двум категориям [8].

Рассмотрим еще одну итерационную схему для решения физически нелинейных задач, построенную на основе метода Ньютона.

288

Используя принцип виртуальной работы, вновь запишем равенство изменений внешней и внутренней работ:

d{u}Т{ψ} = ∫ d{ε}Т{σ}dΩ − (d{u})Т {F}= 0 ,

Ω

где вектор {F} содержит все внешние силы, обусловленные приложенными нагрузками. Если для вариации деформации справедливо соотношение

d{ε } = [B] d{u},

то, исключая d{u}Т, получаем справедливое в общем случае соотношение

{ψ({u})} = ∫[B]Т{σ}dΩ − {F}= 0 ,

Ω

в котором {σ } – истинные напряжения, зависящие от достигнутого уровня деформаций. Если можно установить зависимость {σ } от деформаций и, следовательно, от перемещений, то задача сводится к решению нелинейного уравнения

ψ ({u}) = 0.

Для определения производной { ψ ′({u}(n) ) }, необходимой для реализации метода Ньютона, рассмотрим вариацию {ψ } по d{u}

d{ψ} = ∫[B]Тd{σ}dΩ ,

Ω

так как {F} не зависит от {u} и d{F} = 0. Если записать

где [Dт] – матрица упругих постоянных для приращений (или касательных модулей), учитывая, то, что d{ε } = [B] d{u}, вариацию можно записать в виде

289

где [Kт(n)] – матрица касательных упругих постоянных, определенная для перемещений и деформаций, соответствующих приближенному решению {u(n)}. Заметим, что формула справедлива, если для любого приближения {u(n)} матрица [Kт(n)] имеет обратную.

Записанный метод отличается от метода переменных параметров жесткости (4.81) тем, что здесь применяется не секущая, а касательная жесткость. Этот метод удобнее для практического применения, так как обычно определяющие соотношения формулируются с использованием касательной жесткости (записываются в виде связи дифференциалов мер напряжений и деформаций, а не в виде связи приращений).

Кроме того, если вместо касательной матрицы можно использовать постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жесткости, то метод – по сути модифицированный метод Ньютона, называемый методом Ньютона–Канторовича, становится тождественным рассмотренным ранее методам начальных напряжений и деформаций [8].

Вопросы для самопроверки

1.Что такое физически нелинейные задачи? Приведите примеры постановок в МДТТ таких задач.

2.Объясните суть метода переменных параметров упругости для решения физически нелинейных задач.

3.Представьте алгоритм решения упругопластической задачи в рамках деформационной теории пластичности с помощью метода переменных параметров упругости (используйте схему расчета на рис. 4.23).

4.Представьте алгоритм решения упругопластической задачи при сложномнагружениис помощью метода переменных параметров упругости.

5.В чем суть метода дополнительных нагрузок для решения физически нелинейных задач?

6.В чем суть метода дополнительных деформаций для решения физически нелинейных задач?

7.Представьте алгоритм решения упругопластической задачи в рамках деформационной теории пластичности с помощью метода дополнительных деформаций (используйте схему расчета на рис. 4.24).

8.Опишите алгоритм решения упругопластической задачи при сложном нагружении с помощью метода дополнительных деформаций (используйте схему расчета на рис. 4.25).

9.В чем принципиальное отличие применения метода дополнительных деформаций при простом и сложном нагружении?

290