книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

всегда выполняется условие равновесия, справедливое для сил, полученных осреднением по набору реализаций возмущенной конфигурации атомов (как и для произвольного момента времени в методе МД). Сила на

задает номер грани, n – число атомов на ребре куба. Сумма квадратов сил представляет собой «квазиквадратное» выражение относительно a / α :

межатомное расстояние при заданной амплитуде тепловых колебаний атомов находится по формуле

Для каждого значения амплитуды A строились 10000 реализаций случайных конфигураций решетки, и по ним с помощью (2.69) определялось среднее значение межатомного расстояния. Также для каждой реализации при расстоянии a = a* определялась величина U потенциальной энергии всей системы атомов, отнесенной к числу атомов.

Для исключения больших «выбросов» при определении удельной потенциальной энергии U для некоторой амплитуды возмущений A ≠ 0 атомы отклонялись не от своих начальных положений, соответствующих значению межатомного расстояния a0 и амплитуде A = 0 , а от положений

в решетке с параметром aA−∆ A , полученным при амплитуде A − ∆ A , где

∆ A – шаг увеличения амплитуды. Например, сначала исследуется амплитуда 0,1a на исходной решетке со стандартным межатомным расстоянием a0 . При этом определяется равновесное расстояние a0,1 = k a0 , k >1, соот-

ветствующее этой амплитуде. В следующем опыте для большего значения амплитуды 0,2a берется уже не исходная решетка с параметром a0 ,

а решетка с межатомным расстоянием k a0 , полученным ранее. Такая

процедура позволяет исключить излишнее сближение отдельных атомов с ростом случайных отклонений их положений в решетке, то есть с ростом температуры (амплитуды теплового движения) и, следовательно, уменьшить неизбежное во многих случайных процессах число «выбросов» значений удельной потенциальной энергии взаимодействия.

163

Зависимость безразмерных величин U / β и A / α для ГЦК-решетки при разных значениях n числа атомов на ребре образца (от 2 до 12) приведена на рис. 2.30. Для реализации алгоритма, отработанного в пакете «Mathematica», далее использовались языки программирования Intel Fortran Composer XE и PGI Accelerator Fortran v.12. Вычислительные эксперименты проводились на рабочей станции с процессором AMD Phenom X6 1055T и графическим ускорителем Nvidia GeForce GTS460.

Расчеты показали более чем двукратное преимущество вычислений на графическом ускорителе (с использованием технологии PGI Accelerator) по сравнению с наиболее эффективными реализациями OpenMP-распа- раллеливания как для переменных одинарной, так и для переменных двойной точности.

Рис. 2.30. Зависимость безразмерной потенциальной энергии образца с ГЦК-решеткой от безразмерной амплитуды теплового движения атомов при различных размерах образца

Результаты показывают, что все кривые удельной потенциальной энергии пересекаются в одной точке с критическим значением амплитуды A* ≈ 0, 46 . Кривые для разных значений n довольно быстро сходятся к не-

которой кривой, которую можно отождествить с макроскопической. При условии A < A* наименьшей удельной потенциальной энергией обладает

самый большой из рассмотренных образцов. После точки пересечения кривых картина изменяется, и меньшая удельная энергия соответствует наименьшему из возможных образцов с 2 атомами на ребре. Это значение

164

амплитуды можно сопоставить с температурой плавления. Удельная кинетическая энергия системы атомов, совершающих колебания с одинаковой частотой ω и амплитудой A, осредненная по периоду колебаний, равна A2ω 2 / 2 . Принимая, что частота колебаний не зависит от амплитуды и является параметром материала, ее можно найти из условия

A*2ω 2= 2k T* ,

где T* – температура плавления выбранного материала.

Задания:

1.Провести исследование изменения равновесного межатомного расстояния и удельной потенциальной энергии для образцов различного размера с ОЦК-решеткой.

2.Найти такие значения n1 и n2 числа атомов на ребре кубического

образцов с ГЦК- и ОЦК-решеткой соответственно, что общее количества атомов в кубических образцах с такими решетками будут мало отличаться.

3. Изобразить на одном рисунке графики зависимостей удельной потенциальной энергии образцов с ГЦК- и ОЦК-решетками атомов одного сорта от амплитуды теплового движения при найденных значениях n1 и n2

числа атомов на ребре образца. Исследовать возможность появления значений амплитуды, соответствующих фазовым переходам.

4.Провести исследование изменения равновесного межатомного расстояния и удельной потенциальной энергии для образцов различного размера с ГПУ-решеткой.

5.Провести исследование изменения равновесного межатомного расстояния и удельной потенциальной энергии для образцов различного размера со структурой терморасширенного графита и его отдельные слоев – образцов графена.

Список литературы к главе 2

1.Атомно-дискретное описание влияния анизотропных межатомных взаимодействий на упругие свойства ГПУ металлов / М.А. Баранов [и др.] //

Физика твердого тела. – 2004. – Т. 46. – Вып. 2. – С. 212–217.

2.Бертяев Б.И., Реут И.И. Об уравнении состояния, сжимаемости

ивнутреннем давлении в металлах с ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-решeтками // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2008. – № 2 (17) . –

С. 215–223.

165

3. Васильев Д.М. Физическая кристаллография. – М.: Металлургия, 1981. – 248 с.

4.Зубко И.Ю., Трусов П.В. Определение упругих постоянных ГЦКмонокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия // Вестник ПНИПУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-

техн. ун-та, 2011. – № 1. – С. 147–169.

5.Вывод упругого закона монокристаллов металлов из потенциала межатомного взаимодействия / И.Ю. Зубко [и др.] // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. – № 4. Ч. 5. – С. 2181–2183.

6.Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. – М.: Физматлит, 2007. – 304 с.

7.Кривцов А.М. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учебное пособие. – СПб.: Изд-во С.Петерб. гос. политехн. ун-та,

2010. – 144 с.

8.Кривцов А.М., Подольская Е.А. Моделирование упругих свойств кристаллов с гексагональной плотноупакованной решеткой // Механика твердого тела. – 2010. – № 3. – С. 77–86.

9.Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластическиедеформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука. 1986. – 232 с.

10.Симонов М.В., Зубко И.Ю. Определение равновесных параметров решетки различных ГПУ-монокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия Ми. // Вестник ПНИПУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – № 3. – С. 205–218.

11.Метод молекулярной динамики в физической химии / под ред.

Ю.К. Товбина. – М.: Наука, 1996. – 334 с.

12.Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. – М.: Наука,

1988. – 190 с.

166

ГЛАВА 3. МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

В предыдущей главе были показаны возможности дискретного подхода при исследовании параметров равновесных состояний кристаллического тела или последовательности таких состояний (квазистатический процесс). Во многих разделах естественных наук ставятся задачи теоретического изучения процессов, протекающих в условиях, не допускающих перехода к состоянию термодинамического равновесия. Для теоретического исследования «сильно» неравновесных процессов развивается аппарат неравновесной термодинамики и физики открытых систем. Дискретный подход для неравновесных процессов позволяет получить оценки эволюции свойств системы при изменении набора параметров внешних воздействий для обоснования принимаемых в этих разделах гипотез. Применение дискретного подхода здесь также связано с реализацией модели на вычислительной системе. В теории математического моделирования такой подход к изучению поведения систем называется имитационным [2]. По сути, в предыдущей главе также был использован простейший вариант имитационного подхода, хотя внимание на этом и не акцентировалось. Рассмотрим принципы применения имитационного подхода и варианты его реализации для исследования процессов необратимого деформирования твердых тел на примерах метода клеточных автоматов.

3.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМИТАЦИОННОГО ПОДХОДА

Развитие моделей, использующих имитационный подход, связано с необходимостью исследования очень сложных неравновесных систем. Аналитические и численные методы, позволяющие провести наиболее полное исследование математической модели объекта, применимы далеко не для всех систем. Для многих сложных систем при построении аналитических моделей исследователю зачастую приходится идти на серьезные упрощения, чтобы получить представление о некоторых общих свойствах моделируемой системы, например оценить устойчивость стационарного состояния системы. Моделируемая система может быть настолько сложна, а поведение ее так многообразно и непредсказуемо, что принятая система гипотез может приводить не только к существенным количествен-

167

ным, но и качественным отличиям результатов моделирования от поведения системы в реальных условиях. При этом повышение степени адекватности модели может оказаться невозможным по многим причинам: вследствие неразвитости существующих аналитических и численных методов, невозможности построения аналитического описания поведения отдельных элементов системы или взаимодействия между элементами и так далее. В [6] перечислены ситуации, когда исследователю можно рекомендовать применять модели, имитирующие поведение реального объекта:

1.Если не существует законченной постановки задачи исследования и идет процесс познания объекта моделирования или отдельных его элементов.

2.Если аналитические методы имеются, но математические процедуры трудно реализуемы, сложны и трудоемки.

3.Когда кроме оценки влияния параметров сложной системы желательно осуществить наблюдение за поведением отдельных компонентов этой системы в течение определенного периода времени.

4.Когда имитационный подход оказывается единственным способом исследования сложной системы из-за невозможности наблюдения явлений в реальной обстановке.

5.Когда необходимо контролировать протекание процессов в сложной системе путем замедления или ускорения процессов в ходе имитации.

6.При подготовке специалистов и освоении новой техники, когда имитатор обеспечивает возможность приобретения необходимых навыков в эксплуатации новой техники.

7.Когда изучаются новые ситуации в сложных системах, о которых мало что известно. В этом случае имитация служит для предварительной проверки новых стратегий и правил принятия решений перед проведением экспериментов на реальной системе.

8. Когда основное значение имеет последовательность событий в проектируемой сложной системе и модель используется для предсказания узких мест в функционировании системы и других трудностей, связанных с добавлением в систему новых элементов.

Имитационный подход, в частности, оправдан, если вопросы, на которые должна ответить модель, относятся не к выяснению фундаментальных законов и причин, определяющих динамику реальной системы, а к анализу поведения системы, как правило, выполняемому исключительно в практических целях [3].

168

Суть подхода, используемого при разработке имитаторов, состоит

втом, что процесс функционирования сложной системы представляется

ввиде определенного алгоритма, реализуемого на компьютере. Для систем, состоящих из множества элементов, приходится строить модель не только всей системы, но и модели отдельных элементов. Как и для аналитического подхода, разработка имитатора ведется с использованием некоторой совокупности гипотез. Изменение даже одной гипотезы для одного из элементов системы может привести к необходимости пересмотра всей модели системы и поиску новых методов исследования (именно поэтому аналитические и численные подходы к моделированию сложных систем применяют после длительного и всестороннего изучения поведения как всей системы, так и отдельных ее элементов). Имитационный подход позволяет «максимально использовать всю имеющуюся в распоряжении исследователя информацию о системе» [3].

Например, пусть требуется построить модель популяции живых существ с учетом взаимодействия с конкурирующими видами, хищниками и окружающей природой. Объектом моделирования в данном случае является сложная система, состоящая из живых существ разного вида, взаимодействующих друг с другом. При некоторых ограничениях можно описать изменение численности животных с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако биологи, наблюдающие за реальной биосистемой, могут описать поведение отдельных особей только в виде совокупности правил и приближенно контролировать общую численность различных животных. Использовать эти наблюдения для определения констант, входящих в систему уравнений, достаточно сложно. В то же время построить алгоритм, реализующий указанную таблицу правил поведения одной особи, гораздо проще. Если известны правила взаимодействия с особями другого вида и с окружающей природой, то несложно разработать алгоритм, имитирующий поведение всей системы. Если в процессе дальнейшего наблюдения за реальной биосистемой будут уточняться или изменяться некоторые правила поведения или взаимодействия особей, то их учет можно выполнить, несколько поправив соответствующий алгоритм, без существенной модификации всей модели. Таким образом, на самом раннем этапе исследований реальной системы можно получить ее рабочую модель, которая будет достаточно легко совершенствоваться по мере накопления экспериментального материала.

Имитаторы обычно используются для моделирования сложных динамических систем. При этом моделируется не только структура систе-

169

мы, но и процесс ее функционирования во времени. При моделировании обычно используется три представления времени:

–реальное время моделируемой системы;

–модельное время, по которому организуется синхронизация событий в системе;

–машинное время имитации, отражающее затраты ресурсов времени ЭВМ на организацию имитации.

Для сложных систем возможна ситуация, когда различные события

вразличных частях системы происходят одновременно с точки зрения реального времени. Если устройство, поддерживающее распараллеливание вычислений, не доступно, то возникает необходимость введения модельного времени, с помощью которого реализуется квазипараллельная работа компонентов имитатора. Приставка «квази-» в данном случае вводится для подчеркивания последовательного характера обработки событий в имитаторе, одновременно происходящих в разных частях реальной системы. В отличие от реального времени, модельное время изменяется не непрерывно, а пошагово. При этом величина шага по времени может быть фиксированной или переменной. При фиксированном шаге изменение модельного времени происходит всегда на одну и ту же величину. В случае переменного шага его величина соответствует интервалу времени между соседними событиями в системе. На практике большее распространение получил способ переменного шага.

Еще одной особенностью имитационного подхода является относительная простота учета стохастической неопределенности исходных параметров моделирования. Метод Монте-Карло достаточно хорошо подходит для моделирования параметров имитатора. Использование преобразования случайных величин позволяет получать распределения случайных параметров, соответствующие практически любому закону распределения случайных величин. Работа с имитатором представляет собой вычислительный эксперимент, осуществляемый на компьютере, который во многом сродни эксперименту с реальной системой. В связи с такой особенностью имитатор обычно дает ответы на вопросы лишь в статистическом смысле, что является неизбежным при работе со сложными системами и более соответствующим поведению реальных объектов.

Процесс построения имитатора можно представить как технологический процесс, в котором можно выделить восемь этапов его построения [6]:

1. Содержательное описание объекта моделирования: формули-

руются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на ко-

170