книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

В В Е Д Е Н И Е

Предельное сокращение сроков лабораторных исследований инженерно-геологических объектов является одной из важнейших задач при внедрении их результатов в производство.

Статистические методы оптимизации эксперимента направле­ ны на повышение эффективности, исследований* позволяет сущест­ венно сократить сроки и затраты на проведение опытов, повы­ сить достоверность выводов по результатам исследования.

Грунты, минералы, горные породы, минеральные и органиче­ ские вяжущие, полиминеральные омеси, обработанные и необрабо­ танные различными вяжущими материалами, относятся к класоу сложных систем, характеризующихся значительным количеством взаимосвязанных входных параметров - ф а к т о р о в , а про­ исходящие в них явления нооят сложный вероятностный характер.

Устанавливаемые экспериментом технологические параметры и показатели свойств указанных.оистем представляют ообой слу­ чайные величины, для.исследования которых необходимы соответ­ ствующие знания основ теории вероятностей и математической статистики. Поэтому учебное пособие включает два взаимосвязан­ ных раздела, один из которых поовящен ооновам теории вероят­ ностей и математической статистика, а другой - современным ме­ тодам планирования эксперимента в впяятовеДении и инженерной геологии.

8адача пособия - развить у ОДдентов навыки практическо­ го применения методов и приемов планирования .эксперимента, вы­ бора модели, составления плана.эксперимента, обработки полу­ ченных данных я принятия решения о необходимых действиях пос­ ле получения и анализа модели» Для более глубокого изучения методов планирования эксперимента отуденты должны попользовать рекомендуемую литературу.

РА З Д Е Л I . ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ,

Глава X. ОБЩИЕ П0Л02ЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

I . I . Первичные понятия теории вероятностей

Исходный или основный понятней теории вероятностей явля­ ется понятие события. Событиеи в теории вероятностей.называ­ ется любой факт, явление или результат испытания, которые мо- 171 произойти или не произойти.

События ыогут быть простые и сложные. Сложными называют события, представляющие совокупность совпадающих или последо­ вательно осуществляющихся нескольких проотых иди единичных

купность таких србытий, когда в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. Например: а) при броса­ нии монеты: выпадение герба и выпадение цифры представляют со­ бой полную группу событий; б) яри испытании образца горной по­ роды заданной нагрузкой на сжатие: нераарушение образца, обра­ зование мелких трещин, образование крупных трещин, полное раз­ рушение образца и т .д . - полная группа событий;

Таким обрагом, полной группой событий является совокуп­ ность всех возможных событий, которые могут иметь место в ре­ зультате данного опыта или испытания.

В экспериментальных исследованиях связанное с событием понятие испытание также следует отнести к исходным. При этом под испытанием следует понимать комплекс условий или всевоз­ можных наперед заданных воздействий, при выполнении которых

сного грунта он может разрушиться частично или полностью, по­ крыться сетью мелких или крупных трещин, набухнуть, резко снизить прочность и т .д . Все перечисленные состояния грунто­ вого образца следует рассматривать как исход испытания при осуществлении заданных условий выдерживания его в воде. В дан­ ном случае исход испытания представляет собой более общее по­ нятие, чем простое событие и может соответствовать сложному событию. В результате погружения образца в воду его состояние может характеризоваться сразу некоторыми событиями (набухнуть,

монеты,исход испытания,согласно наперед заданному условию(вы­

случае под событием понимают такое явление, которое происхо­

единичное или простое событие, как указано выше, не может быть эквивалентным исходу опыта, определяемого множеством раз­ личных по своей природе единичных событий, как ато имеет ме­ сто при исследовании инженерно-геологических объектов (образ­ цов горных пород, массивов и т . д . ) .

По своей природе или характеру осуществления при различ­ ных условиях или в результате заданных испытаний события мо­ гут быть: достоверные, невозможные, совместимые, несовмести­ мые, равновозыонные, противоположные, независимые, случайные.

Достоверное событие - происходящее неизбежно в данном и

пременно осуществится. Аналогично достоверным явлением будет смена дпя ночью, зимы летом и т .д .

Невозможное Событие - такое, которое не может произойти ни в одном из испытаний, как бы ни было велико число их повто­ рений. Например, невозможным является событие, когда бы день не сменился ночыо.

Несовместными называются случайные события, если в уело-

виях испытания возможно появление только одного из них или од­ новременное появление их невозможно (например, при бросании монеты не может выпасть одновременно герб и цифра).

Рассмотрев понятие несовместное событие, можно сформули­ ровать более конкретное понятие полной группы событий для слу­ чаев, когда в исходе испытания происходят те или иные простые события. В данном случае события образуют группу попарно не­ совместных событий, если появление одного исключает появление другого. Тогда полная группа событий - минимальное число по­ парно несовместных событий, причем, одно из них обязательно должно осуществиться при испытании.

Если появление одного события не исключает второго, тре­ тьего и т .д ., то эти события называются совместными или сов­ местимыми. Например, при погружении в воду образца горной по­ роды он может увеличить свой объем, набухнуть, снизить проч­ ность, увеличить влажность, объемный вес и т .д . Все эти явле­ ния, которые претерпевает в воде образец горной породы, впол­ не естественны и совместимы»

Равновозыояныы событием называется такое, когда появле­ ние одного из двух или более событий отличается одинаковой возможностью. Например, при бросании кости любая из ее шести граней может оказаться сверху; при бросании монеты в равной степени возможности может выпасть герб и цифра, естественно, при прочих равных условиях» Аналогично равновозможными собы­ тиями являются увеличение влажности образца горной породы при погружении в воду и увеличение ее объемного веса и т .д .

Противоположными называют два несовместимых и единствен­

падение цифры или герба - два противоположных несовместимых события. То же самое можно сказать и о случае стрельбы по ми­ шени: попадание в мишень и промах - два противоположных собы­ тия. При испытании грунтовых образцов противоположными собы­ тиями являются набухание и усадка и т .д .

События называются независимыми, если осуществление од­ ного (или нескольких) из них не изменяет степени возможности

(или вероятности) появления другого (или других) из их группе или совокупности.

значение частоты события А, величина которой выражается в до­

или,что то не самое: V/д * V/H+... + v/x » 2 Wi =■ i .

Рассмотрим пример. Пусть: п.д =10,Л* =30, тоУд = 12=0,3 или

30

1.3. Вероятность, Подсчет численных значений вероятностей

В прямом смысле вероятность - мера объективной возможно­ сти осуществления события. Случайное событие всегда является результатом одновременного действия ряда факторов. Поэтому, когда осуществление того или иного события непосредственно

предвидеть невозможно, его считают случайным. Наблюдения за случайными событиями, показали, что существуют определенные закономерности их осуществления, позволяющие определить с до­ статочной надежностью общий результат большого количества слу­ чайных бобытий.

При достаточно большом количестве опытов частость появле­ ния события А (\х/А) будет сколь угодно мало отклоняться от не­ которого устойчивого численного значения, характеризующего возможность осуществления события А при заданных условиях.Эту величину называют вероятностью осуществления события А и обо­ значают Р(А) или Рд . Чтобы определить численное значение ве­ роятности, необходимо иметь результаты испытаний, подтвержда­ ющие, что случайное событие А может произойти в 11т ." случаях из общего числам . Вычисление численного значения вероятности

Предельные значения вероятности 0 и I логически вытекают из определений понятий невозможного и достоверного событий..

В других случаях значение вероятности больше нуля или меньше единицы.

Непосредственный подсчет численных значений вероятностей по классической формуле (I) приемлем только для тех опытов, результаты которых непосредственно вытекают из условий самого опыта. Эти случаи характеризуются одинаковой возможностью ис­ ходов испытаний, отличаются своеобразной симметрией результа­ тов, когда вероятные события попарно несовместимые или диаме­

трально противоположные. При бросании нонеты в равной иере возможно появление цифры и герба. При бросании игральной кос­ ти - выпадение любой грани с тем или иным количеством очков. Это гарантируется условием опыта (симметричность игральной ко­

Таким образом, применимость способа непосредственного подсчета вероятностей ограничивается опытами, которые сводят­ ся к схеме случаев, когда исходы характеризуются полными груп­ пами событий несовместимых и равнозначных.

Пример I . I .

На складе имеется 200 буров, 25 из которых имеют дефекты. Геологической партии необходимо получить I ручной бур. Опреде­ лить, как велика вероятность того, что отобранный бур окажется без дефектов?

Решение: согласно определению вероятности,событию А (выбору бура без дефекта) благоприятствуют глА =200-25=175 случаев, следовательно,

дефектами. Необходимо получить I бур. Определить на каком складе целесообразнее получить I бур?

Решение: событию А, благоприятствующему получению бура без де­ фекта, на складе "Си благоприятствуют ГС1Аслуч =234-14=220

Т44

Рд а - i s - = 0 ,9 1 . 167

ср

Получим, что Рд >Р* , следовательно, вероятность получения I

1 .4 . Основные теоремы теории вероятностей

Как указывалось выше, непосредственный прямой подсчет ве­ роятностей наиболее приемлем для событий, сводящихся к схеме случаев и приближенного вычисления вероятности события по ча­ стоте, если оно не сводится к схеме случаев (например, вероят­

чаев и в особенности при выполнении экспериментальных исследо­ ваний применение классической формулы(1) для прямого подсчета вероятностей случайных событий сопряжено с громоздкими вычис­ лениями, значительными трудностями и не всегда возможно. В этих случаях применяются не прямые, а косвенные методы вычис­ ления вероятностей, состоящие в том, что вероятности рассмат­ риваемых событий устанавливают по известным вероятностям свя­ занных с ними других событий, что и позволяет сокращать экспе­ риментальные исследования.

При использовании различных косвенных методов вычисления вероятностей применяют в той или иной форме основные теоремы теории вероятностей: теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей г их следствия.

Рассмотрим понятия суммы и произведения событий.

Суммой двух или более событий называется событие, вклю­ чающее осуществление хотя бы одного из зтих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, со­ стоящее в совместном осуществлении атих событий.

Теорема I . Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пуоть А и & несовместимые события, Рд и Р& - соответст­ венно вероятности этих ообытйй; Р-(Д+Ь) - вероятность суммы событий А и Ь . Тогда