книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

А.Н. Катулев Н.А. Северцев

Математические методы

всистемах поддержки принятия решений

Допущено Министерством образования Российской Федерации

в качестве учебного пособия для студентов высшихучебных заведений,

обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов

«Информационные системы» и «Прикладная математика»

Москва «Высшая школа»

2005

Оглавление

3

5.1.4.Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий в кон­ фликте, аппроксимируемом многошаговой стохастической игрой . . . . 131

4

Предисловие

Для успешного достижения целей проектирования сложных систем и управления их функционированием объективно необходимо принятие (выбор) соответствующих решений. Выработка решений может осуще­ ствляться алгоритмически либо эвристически, а окончательное приня­ тие решения, как правило, выполняет ЛПР — лицо, принимающее решение, группа людей, ответственных за принятие решения. Алгорит­ мическая подготовка решений основывается на применении обосно­ ванных правил — алгоритмов, эвристическая — выполняется согласно неформальным творческим возможностям ЛПР. Решение должно быть устойчивым и наилучшим, а его реализация не должна грозить коллек­ тиву исполнителей недопустимыми отрицательными небезопасными исходами и последствиями.

Предмет настоящей книги непосредственно связан с одним из ос­ новных блоков системы поддержки принятия решений (СППР) — бло­ ком выбора решений и представлен в основном только объективными математическими методами и их программно реализуемыми алгоритма­ ми выработки решений при различных условиях: определенности, не­ определенности, конфликта и риска (аспект программной реализации алгоритмов непосредственно на ПЭВМ в книге не затрагивается). Оче­ видно, что такие методы не подменяют действия ЛПР, а составляют ос­ нову для количественного анализа результатов использования исходных данных, допущений и ограничений при принятии им окончательных решений в соответствующих условиях; они строятся на необходимых и достаточных условиях. Необходимые условия составляются и использу­ ются с целью получения оптимального (наилучшего) решения в иссле­ дуемой задаче выбора, а достаточные — отвечают на вопрос, существует ли такое решение и корректно ли поставлена задача выбора решения как задача оптимизации.

В задачах выбора решений используются различные механизмы. Последние определяются в зависимости от цели выбора решения, тре­ бований и условий, в которых осуществляется достижение цели. При­ чем требования и условия могут формулироваться как в традиционной количественной форме с введением скалярных или векторных критери­ ев качества решений и ограничений, так и в форме бинарных отноше­ ний. Не исключается и то, что для ЛПР в конкретных условиях могут оказаться более приемлемыми качественные правила выбора реше­ ния — правила, основанные только на сравнении качественных призна-

6

ков различных пар исходных альтернатив или различных пар подмно­ жеств — классов множества их предъявлений.

Для задач выбора решений, поставленных в количественной форме, необходимые и достаточные условия основаны, как правило, на диффе­ ренциальном и субдифференциальном исчислении, а для тех же задач, поставленных в форме бинарных отношений, такие условия основаны на порядковых шкалах и информации, получаемой от соответствующих экспертов.

Структурно настоящая книга состоит из девяти глав. В первой главе описаны сущность проблемы и математические механизмы выбора ре­ шений в различных условиях. Во второй, третьей, четвертой и пятой главах дано современное изложение необходимых и достаточных усло­ вий оптимальности выбора решений в статических и динамических за­ дачах соответственно при определенности, целевой неопределенности, при риске и при конфликте. В последующих шестой, седьмой, восьмой

идевятой главах рассмотрены совокупности конкретных вычислитель­ ных методов принятия решений и построены алгоритмы для их реали­ зации на компьютере. Доказательства сходимости алгоритмов не рас­ сматриваются; они составляют самостоятельный важный раздел и при необходимости их можно найти в приведенной литературе. Алгоритмы могут быть использованы при исследовании показателей качества соот­ ветствующих методов, условий их применения и обосновании направ­ лений совершенствования математического обеспечения СППР. Изло­ жены эффективные методы выбора решений по многим критериям, и в том числе в порядковых шкалах, по негладким критериям и с использо­ ванием функций принадлежности; изложены также методы классифи­ кации текущего состояния технических объектов, пригодные при оцен­ ке безопасности их функционирования, такие методы основаны на применении статистических правил выбора решений. Применение ме­ тодов иллюстрируется решением конкретных задач. В целом материал книги охватывает современное состояние математических методов и ал­ горитмов выбора решений и соответствует требованиям подготовки специалистов с высшим образованием в области компьютерных инфор­ мационных систем и технологий.

Основная задача книги — ознакомление студентов старших курсов

иаспирантов, обучающихся на факультетах прикладной математики вузов, с элементами основ теории методов принятия (выбора) реше­ ний и с принципами их алгоритмизации при решении практических социально-экономических, производственных и управленческих задач

сприменением вычислительной техники и математического моделиро­ вания. Книга может быть полезной также научным работникам и специалистам-менеджерам, использующим в своей работе методы при­ нятия решений. Дополнительные примеры решения задач авторами изложены в [73; 74]. При решении задач активно участвовал Г.М. Соломаха.

7

Глав а п е р в а я

Сущность проблемы принятия решения

1.1.Введение. Классификация задач

иусловия принятия решений

Общая схема выбора решения включает

—определение цели решения и требований для ее достижения;

—обоснование типа, содержания задачи и принципа оптимально­ сти решения;

—разработку и описание необходимых исходных данных, которы­ ми реально может распоряжаться ЛПР, выявление ресурсных ограни­ чений;

—анализ и описание противоречий и условий-ситуаций выбора ре­ шения, непосредственно исходящих от внешних, неконтролируемых ЛПР факторов;

—разработку критериев (показателей, функционалов) эффектив­ ности решений, принципов их формирования и множества альтер­ натив;

—разработку математической модели для исследования задачи вы­ бора решения;

—анализ результатов исследования и выработку рекомендаций для принятия окончательного решения ЛПР в соответствующих условиях — ситуациях.

Содержательно решение представляет собой альтернативный исход (акт, направленное действие), выбранный ЛПР из множества возмож­ ных согласно поставленной им цели и соответствующий текущим и/или прогнозируемым условиям ее достижения. Отсюда непосредственно вы­ текает необходимая совокупность исходных данных для принятия (вы­ бора) решения; она включает:

—цель решения или конечное их множество;

—момент или отрезок времени принятия решений;

—множество исходных допустимых альтернативных действий (ре­ шений) ЛПР;

—множество факторов или математических моделей, определяю­ щих характер и динамику параметров условий принятия решений усло­ вий достижения цели ЛПР;

—априорную информацию о текущих, прогнозируемых значениях параметров условий или совокупность результатов наблюдений за со­ стоянием условий;

9

— функционал качества (в скалярной, векторной форме) и прин­ цип оптимальности принятия ЛПР решения или систему предпочтений ЛПР, позволяющие получить оценки количественного или качествен­ ного характера альтернативных решений.

В зависимости от полноты и характера описания исходных данных проблемы принятия решений классифицируют [1] на хорошо структуризованные, неструктуризованные и слабо структуризованные. Первые из

них формулируются количественно, вторые — выражаются качественно с описанием важнейших исходных факторов, количественные зависи­ мости между которыми неизвестны, а третьи — содержат качественные и количественные описания исходных факторов с доминированием ка­ чественных малоизвестных неопределенных факторов. Так, если из-за неполноты количественной информации на множестве своих возмож­ ных действий ЛПР не может определить функционал качества приня­ тия решения и вводит только свою систему бинарных отношений пред­ почтения, то имеет место слабо структуризованная задача принятия решения. Для ее постановки, очевидно, требуется введение неколичест­ венной шкалы - порядковой шкалы, а при ее решении — участие экс­ пертов в формировании и выдаче недостающей информации. В свою очередь хорошо структуризованные проблемы формулируются в зависи­ мости от условий принятия решения. Последние принято классифициро­

вать на условия определенности, неопределенности в выборе цели, рис­ ка, конфликта, в том числе и конфликта при неопределенности, и условия с нечеткой исходной информацией.

В условиях о п р е д е л е н н о с т и не возникают неопределенные и случайные факторы и последствия принятого решения определены од­ нозначно, т.е. каждому решению всегда соответствует строго определен­ ный результат. При этом задача выбора решения сводится к задаче ма­ тематического программирования или к вариационной задаче теории управляемых систем.

Условия н е о п р е д е л е н н о с т и в выборе цели определяются на­ личием не одной, а нескольких целей, и результат принятия ЛПР реше­ ния характеризуется набором (вектором) значений скалярных функций. Задача выбора решения в таких условиях сводится к статической или динамической задаче векторной оптимизации и ее компромиссному разрешению.

Условия р и с к а имеют место тогда, когда при принятии решения возникают случайные факторы с априори известными для них законами распределения вероятностей и последствия принятого решения пред­ ставляются не одним результатом, а некоторым множеством с извест­ ными вероятностями их осуществления; и задача выбора решения сво­ дится к задаче принятия статистических решений при простых и сложных альтернативных гипотезах в статических или динамических ситуациях.

Условия к о н ф л и к т а определяются тем, что каждому решению соответствует результат, являющийся функцией от действия противо­ действующей стороны или совокупности противодействующих сторон. Причем противодействующие стороны действуют в конфликте как

10