книги / Статистический анализ геофизических полей

процессов и негауосовоких АР-процесссв АД статистика 7 ( 7 # ,

7 )

и ПЕЙнматрица Г # (& ) удовлетворяют условиям теоремы Т.3.2,

и для

вде на функциях 7 ( 7 # ,

0 ) и Г # ( 0 ) ,

которые могут быть вычислены

по однощ^из трех следующих алгоритмов

(см. раздел Т.З):

а)

0 ( 7 / , )

- решение сиотемы уравнений

1 (7 # ,7 )^ 0 , Т е

0 ;

(Я.2.5)

где Т % (7 # ) - произвольная

/ 7

-состоятельная

сценка;

в) Рм ( Т „ ) ~ Л Пм( Г „ , Ж * }

- п # - я

итерация оператора

0 ( ^ , 0

+ ~

г ;\ Г

)7

[7 „ ,

6

) ,

(П.2.?)

где T#

-

начальная точна итераций,

равная

(Г ° (7 #

)- произволь­

ной состоятельной оценке или произвольному вектору

Т ве ®

из об­

ласти оходимости оператора

J ( f y , 9

) ;

-

некоторая возрас­

тающая пооледовательнооть.

В оледущих разделах выводятся конкретные вычислительные

процедуры для /7

-состоятельных и АЗ-оценок гауосовских АРСС-про-

цеооов и негауосовоких АР-процеооов.

Уравнения для оценок по методу моментов. Рассмотрим оценки

параметров АРСС-процеосов,

алгоритмы вычисления которых не зави­

сят от

распределения Р£ (у~ )

порождающего белого шума и которые

являются

/ 7 -ооотоятелыгами при всех

/* # (7 ),

удовлетворяющих ус­

ловию ограниченности

момента степени 4 + 0 :

I \

f \Vt&Pe

( . 0 ) 0 f < ~ ,

(П.2.8)

где 0 >

0 любое число.

Это оценки по методу моментов, основанные

го уравнения APGC-процесса (Т.1.4) на

T t~ i > г-це

£

. и пользу­

ясь некоррелированноотью величин

и

при

г > £ ,

получим

цесоов, у которых порождающий процесо

Tt имеет момент порядка

4 + & , где & >

0 , т .е .

L

[т /Г ф Ц Г ,) ~Cr ) }

* г ) ,

Щ .2 Л 4 )

где

*г ~[<(г*)(рг) >

п * е ъ » ;

Р> 2 е ?, т ] ;

к г

= П т Е Г H ~r ~ l J r )

j r i H p i )

/к

Pf.<nt)(fit) 3

(Н ){/Л ) *£[ ( %Чгг ~ Сг \гм)

V П+ г ит/(pХ рг)i) / ‘

Из r fF -состоятельности

и асимптотической

нормальности оценок

С *(Т у )

вытекает /^-состоятельность и аоимптотическая

нормаль­

ность оценок А *{Т # )„ g * ( Т# ) ,

получаемых из уравнений

(П .2 .9 ) и

(Ц .2Л 2)

описанным способом.

Действительно,

как указывалось,

уравнения

(П .2 .9 ) и (Д .2 Л 2 )

задают взаимно

однозначное преобра­

зование

между параметрами Ар, Вк АРСС-процесоа и его автокова­

риациями

Ср, т е О,

причем якобиан этого преобразования всю­

ремы Г . 4 .2 из /287 0<5 оценках по методу моментов,

нетрудно полу­

чить требуемое утверждение.

Рекуррентные процедуры вычисления оценок для АР-дараметров.

D олучае

чистого

АР~процесса из (П .2 .9 ) и (П .2Л 2)

вытекают урав­

нения для

оценок,

которые обычно назнваютоя оценками Юла - Уоке-

Ра /®17:

р

___

^ } К С*-г ~ сг >

1е7>Р »

С* - Сд - £ В* С*г,

§* = g*S* т .

(П.2Л5)

Если

системы матричных уравнений

(П .2 .9 ) и (П .2 Л 5 )

записы­

вать как

обычные системы из т гр

линейных уравнений и применять

стандартные процедуры их решения на ЭМ,

то требуемый объем па­

мяти должен иметь порядок ( т*р

+ i f ,

а

число операций -

( т 2р f .

При использовании рекуррентных процедур,

аналогичных описанной

выше, необходимо иметь память порядка

*»>2(р + 7 ), а число

опера­

ций можно оценить величиной 2 т»3+ 2 р т г . Таким образом, с

помо­

ности m векторов наблюдений и порядка р

авторегреооии.

Линейные \/7Г-состоятельные оценки спектра АРСС-процеоса.

Использование

нелинейной системы уравнений

(П.2Л 2 ) для вычисле­

ния оценок СС параметров, по-втшмоцу, возможно лишь в одномер­

ном случае:

1 . В работе /9/ приведено

описание итерационных

процедур для

решения системы (П .2Л 2) при

1 . При размерно-

ти т > 1 подробные процедуры становятся слишком громоздкими и вы­

цедура,

которая

не требует

решения оистемы нелинейных уравнений,

однако

остается

достаточно

громоздкой.

Оценивание

параметров

йк>

, 6к , А еО ^ разностного .

можно параметризовать по-разному, т .е . формулу (1 Л .З )

можно за­

писать в эквивалентной форме:

Р(л) * Г Т(л)£(л)й~г(л )

(П .2 .19)

гг * ш »

Я-р “

г

^ е 0,% .

В форме записи

(1 .1 .3 )

параметрами спектральной плотности являга-

оя элементы матриц

Ак

,

к е fj> , gi t

A <s F

f , в (ff.2 .1 9 ) -

эле­

мента матриц

,

к

е

f,p и

к е П д .

Поскольку матрицы

выражаются через

АР-параметры процесса At

,

к е 7j>

и его

авто -

ковариащонную функцию

Ст , г

е F~P+i

согласно формуле (П .2Л 0),

для оценивания спектра АРСС-процеоса нет необходимости решать

систему

нелинейных уравнений

(П .2 Л 2 ). Асимптотически нормальные

и sfN -ооотоятелыше

оценки параметров

J> ,

к е F ,i

СО части

опектра

(П .2 Л 9 )

получаются простой подстановкой в формулу

(П .2Д 0)

асимптотичеоки нормальных и

<ЛГ-состоятельных оценок

Сг*С1?„и

р+ц

и

А* (/ * ),

k e i^ p , где

С * получаются по фор­

муле (П .2 Л З ),

а

А* -

в результате решения системы линейных

уравнений (П .2 .9 )

о

Ск = 8f ( F y ) . При таком подходе

самой трудо­

никакой информации о законе распределения

р £ ( у ) порождающей этот

процесс независимой

последовательности

. Для широкого класса

распределений Р£ (.у )

получаемые оценки оказываются фк-оостоя-

тельнш и.

Однако, если

закон Pe ( f ) известен, можно, используя

результаты

разделов

Г .З

и 1 ,4 , построить АЭ-оценки для параглет-

при этом

также гаусоовокий,

и его естественно использовать для

аппроксимации наблюдений

Tt

,

t e f , N ,

когда они представляют со­

бой реализацию гаусоовского временного ряда.

Конкретизируем для гауссовского АРСС-процеооа общие формулы

(Д .2 .3 ),

определяющие АД статистику и ПНФ-матрицу гауссовского

многомерного

временного ряда

со опектром, зависящим от парамет­

ров,

причем будем использовать параметризацию спектра

(П .2.19)

через

матрицы

tl,

*

к е F i

и предполагать,

что пара­

*

А .

**

Г-—’—---------- 1

----—.А--

метр

8 ** уес

| Ак ,

i e l , p ,

,

принадлежит ограниченно­

му множеству

® ,

такому,

что

корни уравнения Ай* Г г ~ т> л

простой,

не требующей больших вычислительных ресурсов

и вполне

реализуемой даже на малых ЭВМ. Тем не менее отметим,

что

исполь­

зуемые ниже методы вполне пригодны и для построения алгоритмов

АЭ-оценки параметров

,

k e ? J>

и

В/., к е

В,q,

АРСС-процесоов

при параметризации его

спектра в виде (Г Л .З ) .

Для' матричной спектральной плотности гауссовского АРСС-про­

цеооа при любой из параметризаций ( J . 1 . 3 )

или (Д .2 .1 9 ) при ука­

занных выше предположениях выполняются условия Ц теоремы

Г .4 Л ,

и раопределение наблюдений этого процесса

обладает

овойотвсм ЛАН

о АД статистикой и ПНФ-матрицей, определяемыми формулами

(П .2 .3 )

/3§7. При конкретизации общих выражений (Д .2 .3 )

на

случай AFCC-

спектра

(П .2Л 9)

о целью сокращения

запиои будем попользовать

следующие обозначения:

1 )

к *

t Л*

(при

т -7

а 0 = 2 я еа ) ;

2)

Irj. -

Г

= д

при

7 к г , s Ф к)

-

т *т -ю гр и -

ца,

состоящая

из

нулей

за

исключением ( Л к )- г о

элемента,

равно­

го

единице;

з)

еЬ(»)± irketU

Отметим свойства

матрицы

, используемые в дальнейшем. Если

записать матрицу

Я как последовательность

столбцов:

Л = Г * 7

J ,

(П .2 .20 j

то

**rk

'

’

Of

* ОH " 1 о ] t

т . е . в матрице

Л1Г^

только

к -й столбец

отличен от

нуля,

и этот

столбец равен

г -му

столбцу матрицы

Л . Аналогично,

если

>/■

■

0 ‘

(П .2. 21)

/ = К

>

то

.

к

о .

Из условий (П .2 .20)

и (П .2 .21)

следует, что

t r (T r f g )

= В(гм )

,

t r

)

- »( k r )

■

(Й .2. 22)

Легко проверить

также,

что

х ^г а 9

" х(г-)Уи-)

'

-

[ в L

j.r j .

(П .2 .23)

ставить в виде составного вектора: в

- ( 9 Г,

а~т ) т ,

где в е к т о р /

составлен из

элементов матрщ

J)z ,

I е 0^

: Г

= rec(P Urtt), 1 ^ 9,'i ,

г, к

),

а

вектор

/ - и з

элементов

Аг ,

г <т i p :

S"^yec (9Z(rZ),

l e l .P >

г,

к e

i m

) .

Вектор T c T ^ - ,f)K Д

статистики для AFCC-

процеоса также

представляет

собой

ооотавной вектор: 4 ( 7# ;

/ )

=

и ( $ , 2. 20) ,

Используя условия (П .2 .3 ),

(В .2 Л 9 )

нетрудно показать,

что компоненты вектора

равны

и г к) J

w

f j f [

4*Г

’ %

Г

Ч

Z ~

t 7

] j

■

(П.2 . 24)

г>де для

краткости использована

запись

6 (* j)

• ZQ lj .

Аналогично,

компоненты вектора

Тд

выражаются в виде

A c r k f J W V j j l ^ ^ k T j ^ ~ t r l

•

(3 .2 .2 5 )

Выражениям

(0 .2 .2 4 ) и

(П .2 .25)

для

АД

статистики гауооовокого

АРСС-процесса можно придать простую и краоивую форму,

если объ-

едийить

совокупность элементов

п±

( 4 ш

у

Г, к £7, тп )

в матрицы

A® «

) > г>к

£

]>

г £ 4 I

’

а

совокупность

элементов

уел

;

г, к е 77л?

)

- в

матрицы

Л *,

?7р

и записать вы­

ражения для этих матриц как функций выборки

i £ .

Обозначив

Г. =

- [ 3 '7k ]j

,

T j° ,[T * ]jK j

и используя

свойства матриц

7 ^ ,

не­

трудно вывести,

что

llZj

f ] ; >; - 1 7 j V W ' m ; * [ 7 ; 7 ‘j i w

‘

(П .2.26)

‘ r [ r P J - ' i -

* ^ r h e / Uj

где

4

И Л:

/С1 * 4 »

\nr%4 V e

(П .2 .27)

1

пне

Т

1)~7е~*гл

в- Г * !>Т

—

№ j £ i J 6

можно придать выражению (П .2 .2 4 )

следующую матричную форму:

(Z - Z *

~

{ Г 7] ' ) е

чг;1к

,

.

(П .2 .28)

1 г { Т у = ;4 J J

J '

Аналогичными преобразованиями из

формулы

(П .2 .25)

получаем

где .

(П .2 .30)

с -

контур единичного круга на комплексной плоокости.

Поскольку функция комплексного переменного

7

( «

) =

[ ~

аналитическая в единичном круге и полином det

Л( и )

не имеет кор­

ней внутри единичного круга, функция

А~т( « ) и г

-

также аналитиче­

ская, не имеющая полюсов внутри круга. Поэтому оогласно

теореме

Коши интеграл по замкнутому контуру в формуле

(П .2 .3 0 )

равен

ну­

лю. Благодаря аналитичности функции

/~ ; ( л ) е г!л

на отрезке

Римановы интегральные суммы в левой части (П .2,30)

сходятся

к

значению интеграла в ее правой части оо скороотыо

О ( ? / # ) , поэто­

му

у/Г<fy - о (1 /Y & ) , и окончательное

выражение для

АД статистики

равно:

.

•

(П .2 .31)

рицу

А* (ооглаоно (П .2 .28)

- симметричную) верхней треугольной

матрицей, у которой все элементы ниже диагонали равны нулю.

Согласно

теореме 1 .4 .1

ПНФ-матрица для гаусоовского процес­

са

со

спектром

F ( A ,T ) , зависящим от параметров, имеет

общую фор­

му

( 1 .2 .3 ) . В

соответствии с

представлениями (Д .2 .2 4 )

и (Д .2 .25)

П

r d ( 9 )

r

da( h

» ) ‘

(П .2.32)

г Ц

$ )

r f ( B )

Элементы этих блоков, как следует из уравнений

(П .2 .3 )

и (П .2Л 9),

равны:

^

[ а 'я ^

г 7^ М

л

;

K r t) .4(us) 8х

/г

rt L r k ) v t u s f ~ b

\*г [ * * р ~1£*г*]л

Fh

d*

'

^*(гк)1 (а » )“ lx

J

^ ] я * *

>

(Д .2 .3 3 )

/ й= [ Г * ^ ] Г -

l,r > e fy -

t ,v e ? ^ - ,

г, к, и , s

е 7~т .

Используя свойства

матриц

JrJt

,

можно показать,

что

rL

)

H

«

,

> в - 2-34»

Следовательно,

рт 2*/>тг матрицу [

rt(rk)^(us)> А v £

Ъ А, я ,

s e f ^ v ] можно заш оать как

блочно-тешшцеву матрицу,

состоящую

из р 2 блоков

размером

» w

i

Г *

* [

4~у>

* ' * е * 7 р ],

(П .2.35)

гд9

’

л

Р (л)Гг*гМл

-

• S

г

* *

t

А 9 S - кронекеровское произведение матриц

А, 8 .

Для остальных блоков П№-матрицы также возможна компактная

за ш о ь :

^

Г ? =

, I, » е * 4 ]

•

(П .2 .36)