книги / Статистический анализ геофизических полей

ностью до "амплитуды" /и

при указанных ограничениях на

сигнал и

помеху существует асимптотически равномерно наиболее мощный

(AFHM) тест для проверки гипотезы

•/г -

о

против сложной аль­

тернативы Нг

ija > о,

который имеет вид:

i ,

если

(Щ .2Л2)

О,

если J ( f v )< xoC,

где J ( i ^ ) = *?(*#)

при детерминированном оигнале, 4 (* # ) = 0

( f # )

при случайном сигнале,

находитоя из уравнения

Ь

Y

*

Ш .2Л З )

Асимптотически оптимальные тесты для обнаружения квазидетер-

минированного

сигнала

f / s^(8~), форма которого

известна

с точно­

стью до параметра

0 е

®

, а

также случайного

гауссовского

сигна­

ла со спектром р

(А ), зависящим от

неизвестного параметра

0^

рассмотрим в

ситуации,

когда

параметры

-

линейные;

*

(Щ .2Л4)

При такой

зависимости

сигнала

от мешающих параметров 0

АД статис­

тика (Ш .2.7) имеет вид

¥>(/%,

0 г^ (х ^ ) ,

а

инфор­

мация Фишера Щ .2. 8) равна

8*Вг

<Pi t

Г‘РГ

& ,

где

выражения для

% (Тм)

и

Ф#цг

легко получить,

подотавив в

Щ .2 .7 )

и ( f .2 .8 )

ш есто

^

оумму

5~ =

&к ,

где

-

Д ®

.

Аналогично преобразуются АД

статистика

Ш .2 Л 0 )

и информация Фи­

шера Щ .2 Л 1 )

для

случайного^сигнала

оо

спектром

(Ш .2Л 4): ч* (*#,

0 г,Р(хм),

1М(8 )~ Ж Т ^

.

Для рассматриваемого случая можно построить байесовский асимп­

тотически

оптимальный

(ЕАО) тест для проверки гипотез

(Щ .2.2) и

(Щ .2.3),

если

задаться

априорным распределением

0 ( 0 )

параметра

ЦТ. Этот

теот

имеет вид

Н

:

если / > ( ^ ) ^

Ki>

(Щ .2Л5)

если /> ( $ )<

пределения

иссшеловаяа в

/52/. Для БАО теста

(И.2 Л 5) оо

статистикой

(Ш .2Л6)

аналогично

(ffl.2.22)

получаем

Г' ( / Г } '

' ~ А(~ 7 7

Щ ^

)

^

(1 .2 .2 4 )

Предельную функцию мощности БАО теста

со

статистикой

(Щ .2.17)

f>2 ( ftf) В \Г (.

}

(Тя )

(1 .2 .2 5 )

Из асимптотичеокой нормальности АД статистики

T (xjy ) следует,

что

предельное распределение вектора

*(><*) при близких альтернативах

fB / { н

нормально с

параметрами ( j r W

(f,

Т ) . Следовательно, пре­

дельное

распределение статистики

рг (Т№ при близких альтернати­

вах

нецентральное

распределение

о g

степенями свободы и

параметром нецентральности аг * у 10

тГ/Г .

Таким образом,

г2 ( г ? )

- /

яг = / г В г Г 0 ,

(Ш .2.26)

где

//^ а2 (х) -

интегральный закон

нецентрального

распределе­

ния с

g

степенями свободы и параметром нецентральности

а^;

-

квантиль уровня ?-°с

центрального

^-распределения с

g

степе­

нями свободы.

Анализируя функцию мощности

(Ш .2.24),

видим,

что

качество

БАО теста со статистикой (Ш .2Л6)

зависит

от

проекции вектора

0 -

параметр обнаруживаемого сигнала - на

направление

rg

.

Если

эта

проекция

отрицательна, то вероятность

правильного обнаружения

меньше вероятности ложной тревоги. Следовательно,

этот

тест не

он является АРНМ тестом длн-проверки гипотезы согласия

ju «= О

против альтернативы

/У;

; ju >0,

и вектор f

лежит

на полупрямой

/ивд,

р > 0 .

Качество

БАО теста

оо

статистикой

(Ш .2Л7)

зависит

только

от нормы век то р

в , рвной

Гд ,

поэтому вероятность

првильного

обнаружения постоянна

на эллипсоидах

в тг & .

Вслед­

ствие

положительной опрделенности матрицы

Г

рассматриваемый БАО

функции мощности

t y r # )

оледует подставить в

них вместо ?

ве­

личину /и-/Ж ,

где

/ и -

действующая амплитуда

сигнала,

л/ -

ре­

альный размер выборки. При этом нужно иметь в

виду, что действи­

тельная функция мощности

Д ^ Ч /» , в )

применяемого

теста

аппрок­

симируется асимптотической функцией в

соответствии

о формулой

/34/:

а )

•*

—

*

в

+ Ш / г )

•

(Щ.2.27)

А л

(А>6)

)

Отсюда оледует, что зта

аппроксимация достаточно надежна лишь при

га ть ,

что

сигналы s ( r j ,

f ) , действующие

на выходах приемных

эле­

ментов регистрирующей системы, представляют собой

результат про­

хождения одного и того

же сигнала

a (t, в ) , генерируемого источ­

ником, через линейные системы с частотными характеристиками

Ьг ( л ) ,

которые описывают пути распространения сигнала от источ­

ника до

/ -го приемного элемента. Если

u ( t , в ) -

случайный про­

ц есс,

то матрица энергетического спектра векторной последователь­

ности

tt ( $ ) (отсчетов

сигнального

поля)

равна:

= Л*(л)

*

х

A )hQi),

где к ( л )

* ( hjU i), ...» Вт(я))

-

вектор

частотных ха­

рактеристик

среды,

( л ) - энергетический

спектр

сигнала источ­

ника. Если

и U* ,? ) -

нвазвдетермшированный

сигнал, то вектор

*

//

•*/ *Jjrj///,

(§.2,28)

где

'

)

лг

,

U f' -

-руг- E u t c t ) e

X

,

j е j,/r

отсчетов сигнала

источника

«г

10

) -

« ( ///^, В ) .

Для локализованного источника

оигнального поля выражения

( § .2 .7 ) ,

( § . 2 ,И )

Для АД статистики и информационного количества

Фишера могут быть записаны в виде

г (Г* ’ r

'>x w %

ue / j * rj ;

f e 1

rj ) ;

Щ .2 .2 9 )

где

Vj*/t'*(*; ) f ~ r( i , ) h U ; l

~ Я(Л; ) •>Г~\л; ) J ? ( A j

) - " ГРУППО­

ВОЙ ф ильтр".

Обнаружение сигнального поля в жцущом режиме при неизвест­

ном моменте появления

оигнала требует периодического (через ин­

тервалы времени

A t )

вычисления значений статистик АО тестов,

соответствующих

выборкам наблюдений, накопленным в

"скользящем

окне": 7М (г.) -

, .... x ^ f , г « t a t , При этом желательно,

чтобы интервалы

At были много меньше ожидаемой длительности сиг­

нала

Г - fl/fg.

Такие условия предъявляют высокие требования к

вычислительному устройству

обнаружителя, которое должно работать

ботку выборки fx (ty

за время

A t . Асимптотически оптимальные

алгоритмы обнаружения

основаны

на АД статиотике А (Т# ,& ) ,и

образования Фурье

(ДПФ) р гО и теорему о циклической свертке для

ДПФ /8Q7 , можно записать выражение

(Щ .2.29) для

V ( x ‘/e, 3 )

во вре­

менной облаоти в виде корреляционно-фильтрового алгоритма

У (

ш

( 3 ) ,

(Ш.2.Э0)

/г

для в. -Z7

- выходной сигнал группового фильтра

о им-

пулъоной переходной характеристикой

1 ^

~rU ) е~ ,лг^л,

ut ( S ) - квазщетерлшированный оигнал источника. Аналогично

мож­

но преобразовать выражение (1 .2 .2 9 ) для АД отатистики

tpC*г ,

0 ) -

AL

Р ( % , 3 " ) = ~ Е я гг т/ ? }( 3 ) - с ( 3 ) ,

( I .2 .3 D

г - ?

в

где

г. e? L i

-

выборочная (циклическая)

автокорреля­

ционная функция выходного

сигнала

группового фильтра; />7 и)СВ')

~

~2х

|

( л ) е

-

автокорреляционная функция случайного сиг­

нала

источника;

с ( В

) д

~

у.

- константа,

не зависящая

от

выборки;

t e r -

циклический одвиг

индексов

ж-мерного вектора

на

г позиций вправо (по чаоовой

отрелке).

Если зависимость

энергетического спектра

сигнала

слу­

чайного источника от

неизвестных

параметров

Те Bs описывается

линейным выражением,

аналогичным выражению

(Щ .2Л 4), то АД ста­

тистике

(Ш .2.31)

можно придать более удобную для

практического

использования форму

7

s

м

р ( х , , 0 )

Т, в, ( £ ,

i t

(Ш .2 .3 2 )

' г 1 Г

7-7 Vt~f

где

a r

-

результат

прохождения выходного

сигнала

группового фильтра

через дополнительный фильтр с импульсной

переходной характеристикой

4 г

t

где

^ ( * ) / * U ) тд^( Л) ,

т .е .

/ ^ ( л ) -

результат

(минимально-фазовой)

факторизации

/-й компоненты спектра

сигнала

источника.

Существенную чаоть

алгоритмов вычисления компонент АД ста -

ляют одинаковые операции

групповой

фильтрации

а

= S {fl.it

С/*

.

В )

gt

’'с

“

*

При вычислении

сигнал

на выходе группового фильтра

подвергается дальнейшей фильтрации с частотными характеристиками

возводится в

квадрат и интегрируется, а

при вычислении

¥ (? к , 9 )

коррелируется с

Ut (B ) .

Если импульсные отклики &7 и

г*^г , г е j f j

имени; длитель­

ность, существенно меньшую,

чем

В ,

то циклические

свертки

в

формулах

(ff .2 .3 0 ) - (S .2 .3 2 )

можно

заменить на обычные, т .е .

появ­

лом

° 7 f / g

дискретизации

наблюдений). При этом число опера­

ций,

требуемое

для вычисления АД статистики во временной области,

оказывается меньшим, чем яри

вычислениях в спектральной области.

Реализация АО алгоритмов обнаружения локализованных источни­