книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

18.2. Расчетные и экспериментальные данные для построения функций отклика

П р и м е ч а н и е. [х-- расчетные значения.

планы, минимизирующие величину шах D (Е), — минимальными

а

в пространстве параметров.

При необходимости использовать одновременно несколько критериев следует возвратиться к скалярному или векторному их объединению.

Рассмотрим в качестве примера * построение функции отклика для системы, состоящей из испытательного рельсового стенда и трактора Т-4 [451. Для качественного выявления зависимости темпа накопления усталостных повреждений в металлоконструк­ циях трактора от скорости его движения на стенде (си км/ч) и высот установленных препятствий (сг, мм) проведены испытания с тремя различными скоростями и тремя различными высотами имитаторов неровностей. В процессе испытаний регистрировались уровни напряжений, возникающих в следующих трех узлах: 1 — в раме тележки гусениц; 2 — в кулаке раскоса тележки гусениц; 3 — в лонжероне рамы трактора.

Для каждого режима испытаний вычислялись долговечность Т г и усталостное повреждение \ i t( i = 1, 2, ..., 9), накапливаемое в исследуемых узлах за один час испытаний. Результаты расчетов

иисходные экспериментальные данные приведены в табл. 18.2

ина рис. 18.6—18.8.

Из приведенных данных можно сделать вывод, что функция р = р (си сг) является возрастающей и по параметру сг, и по

* Работа выполнена совместно с В. Я- Тетерятннковым.

192

Рис. 18.8. Зависимость усталостного повреждения f a от скорости движения а и высоты имитатора неровностей с*

факт, может быть нелинейная однопараметрическая функция отклика

где параметр а также определяется по формуле (18.21). Результаты вычислений по формулам (18.21) и (18.26) приводят

к следующей линейной оценке для функции отклика:

Дисперсионная матрица параметров этой модели (при одном измерении на каждом уровне) получена в следующем виде:

При использовании модели, определяемой соотношением (18.27), получено: для р, имеем ах = 1,50-10-4, для р, имеем а%=

Дисперсия параметра а (при одном измерении на каждом уровне)

18.3. Значения дисперсии величины

194

Рис. 18.9. Коридоры ошибок в определении уста­ лостного повреждения

получена равной D {а} — 0,185КГ8. Из приведенных данных следует, что модель, выраженная соотношением (18.27), вполне удовлетворительно описывает полученные экспериментальные данные. Оценку точ­ ности полученных результатов можно сделать по дисперсии величины р. Из со­ отношения (18.27) следует, что

рис. 18.9 дана картина коридора ошибок

шириной 2s (s— среднее квадратическое отклонение величины рх). Точность вычислений может быть существенно повышена и

коридор ошибок сужен путем увеличения числа испытаний. Определим оптимальный режим испытаний, соответствующий

некоторому выбранному эксплуатационному режиму нагружения.

рассматриваемого эксплуатационного режима нагружения на выбранном испытательном стенде может быть подобран только

* t t

где К — среднее значение коэффициента ускорения испытаний. Критерий (18.30) выбран таким образом, чтобы при минималь­ ном различии в коэффициентах ускорения испытаний для различ­ ных узлов 1, 2, 3 конструкции получить наибольшее среднее значение этого коэффициента для конструкции в целом. Анализ полученных данных приводит к выводу, что предпочтительными

следует считать режимы испытания № 2, 8 и 9.

§19. Расчеты усталостной долговечности по моменту полного разрушения

Как правило, оценка усталостной долговечности производится по моменту появления в элементе конструкции усталостной тре­ щины. Однако появление трещины не означает немедленного

Рис. 19.1. Кривые усталости:

N l {a) — для момента появления трещины; Nt (а) — для момента полного разрушения

тые приближенные оценки долговечности с учетом двух стадий

появления усталостной трещины и для момента полного разру­ шения (рис. 19.1). Уравнения этих кривых можно представить в следующем виде:

где ти тг, о_1у 0* — параметры.

Долговечность, определяемая по моменту появления усталост­ ной трещины, вычисляется методами, приведенными в гл. 4. Приращение долговечности, обусловленное развитием трещины до полного разрушения конструкции, будем определять из условия линейного суммирования повреждений. Тогда условие полного

где Т — время до разрушения, отсчитываемое от момента зарожде­ ния трещины; I — средний интервал времени между циклами нагружения; f (о) — плотность распределения амплитуд напря­

жений.

Примем, что распределение амплитуд напряжений подчи­ няется закону Релея с плотностью, определяемой по формуле (14.2).

196

Подставив соотношения (19.1), (19.2) и (14.2) в уравнение (19.3), получим долговечность для стадии роста усталостной тре­ щины, т. е. для стадии живучести

Т - f / T f ( o) da \ _

0” *+’

— з - е х р

Соотношение (19.6) совпадает с ранее полученной формулой (14.10) и определяет долговечность без учета первой стадии разру­

(N J N о — 1). В этом случае долговечность по сравнению с первой стадией разрушения возрастает в N J N 0 раз.

Полная долговечность складывается из долговечности до появ­ ления усталостной трещины Т_г и времени работы с трещиной до

пг представлены на рис. 19.2. Из графиков следует, что учет двух стадий усталостного разрушения может дать существенные по­ правки в расчетах долговечности.

197

а —m = 4; б — т = 6

Приведем в качестве примера результаты натурных испытаний на усталость и живучесть серийных рам тракторов ДТ-75. Урав­ нение кривой усталости по моменту образования трещины полу­ чено в следующем виде:

4,48 lg а + lg N = 7,78. (19.9) Уравнение той же кривой по предельному состоянию описы­

вается соотношением

можно вычислить ожидаемую долговечность рам для любого режима нагружения. Так, для случая, когда процесс нагружения характеризуется средним квадратическим отклонением распре­ деления амплитуд напряжений s = о_х = 24 МПа, найдем долго­ вечность рам по моменту образования трещины, равную 1,4-105 циклов нагружения, а по предельному состоянию — 6-10® циклов.

Приведенная методика расчета живучести конструкций осно­ вана на предположении, что кривые усталости (см. рис. 19.1), полученные при испытаниях с постоянной амплитудой напряже­ ний, отражают прочностные возможности конструкций и при переменных уровнях амплитуд напряжений. В частности, пред­ полагалось, что результаты таких испытаний можно использовать и для случайных процессов нагружения. Однако, если при по­ стоянном уровне амплитуд напряжений в диапазоне о* н- а_г разрушения не происходит, то при переменных амплитудах воз­ можность разрушения в этом диапазоне напряжений зависит уже от длины имеющейся в конструкции трещины. Так, если в про­ цессе нагружения с переменными амплитудами уровень напря­

198

жений в некоторых циклах превышает предел живучести о*, то при переходе в диапазон напряжений о* o_t уже возможно увеличение длины трещины. Этот вывод находится в полном соот­ ветствии с основным положением механики разрушения: возмож­ ность разрушения материала зависит не только от уровня дей­ ствующих напряжений, но и от длины имеющейся на данный момент трещины. Учесть наличие трещины в расчете живучести можно путем введения изменяемых (по мере увеличения длины трещины) кривых усталости (рис. 19.3). Полагая, что при этом изменяется лишь значение предела живучести <т„, а произведение

остается неизменным, получим для определения живучести конструкции, выраженной в числах циклов нагружения на этапе роста трещины N, следующее соотношение:

При обосновании закономерности снижения предела живучести по мере роста усталостной трещины можно исходить из различных представлений. Так, в первом приближении можно, например, считать, что скорость снижения предела живучести пропорцио­ нальна его начальному значению о? и приращению длины трещины за один цикл нагружения, выраженному мерой усталостного повреждения MN:

09.12)

где точка сверху означает производную по числу п циклов нагру­ жения.

Интегрируя дифференциальное уравнение (19.12), получаем

Рис. 19.3. К расчету живучести:

а — кривые усталости (I) и живучести (2) с переменным значением а*; б — плотность распределения амплитуд напряжений

199

Из уравнения (19.13) определим значение числа /г* циклов нагружения, при котором предел живучести снизится до уровн^ предела выносливости:

Тогда уравнение для расчета живучести (19.11) принимает следующий вид:

Подставив в формулу (19.15) соотношения (19.1), (19.2) и (14.2) и выполнив необходимые преобразования, получим при тх — Шг — т долговечность конструкции на этапе живучести

Интеграл / в протабулирован. На рис. 19.4 приведены графики функции Ja = f (а) при различных значениях параметров Р и т . На рис. 19.5 представлены графики функции Jx = f (Р).

Рис. 19.4. Графики функции Ja = /(a ): a — m = 4; б — т = 6; в — m = 8

200

Если в приведенных выше расчетах учесть, что по мере накопле­ ния усталостных повреждений предел выносливости постепенно снижается и становится равным нулю в момент появления уста­ лостной трещины (см. § 13, 14), то в соотношении (19.16) следует принять Ja = 0. В этом случае различие в оценках долговеч­ ности, полученных без учета снижения предела живучести (фор­ мула (19.5)) и с учетом этого снижения [формула (19.16) при J a — 0], можно оценить параметром

По формуле (14.10) определим долговечность по моменту появле­ ния усталостной трещины N да 3 JV0. П о формуле (19.5) получим долговечность на этапе роста усталостной трещины без учета постепенного снижения предела живучести N да 4 6 N 0 . С учетом снижения предела живучести по мере роста усталостной трещины по формуле (19.16) получим долговечность на этапе роста уста­ лостной трещины N да 16,5 JV0. В рассматриваемом случае долго­ вечность на этапе живучести выше, чем долговечность до появле­ ния усталостной трещины, примерно в 5 раз. Неучет снижения предела живучести в результате роста усталостной трещины за­ вышает расчетное значение долговечности почти в 3 раза.

201