книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

ftmax

Зависимости kmm = /1 (а) и k2 = /2(а) при различных зна­ чениях р, представлены на рис. 12.4 и 12.5.

Рассмотрим теперь модель случайного процесса, представлен­ ного в виде двух составляющих, имеющих энергетические спек­ тральные плотности, показанные на рис. 12.6. Спектральную плотность первого процесса можно описать соотношением

( 12.6)

s *<B) = ^ 7 s “ p { - % ) •

а второго процесса

Sz (“ ) = s2^ (“ — со2).

где со* и о)2— заданные параметры.

Для определения эффективных частот рассматриваемого про­ цесса по нулям, экстремумам и точкам перегиба, а также для

122

определения параметра сложности структуры процесса получаем следующие соотношения:

Рассмотрим задачу о формировании (моделировании) случайного процесса qx (t) с заданной спектральной плотностью Sx (©) послучайному процессу q0 (t) со спектральной плотностью 5 0(©). Будем считать, что процесс qt (t) может быть описан спектральной

Для решения поставленной задачи рассмотрим систему, опи­ сываемую уравнением

123

где линейные дифференциальные операторы Li и 12определяются соотношениями

(12.13)

Из (12.13) следует, что поставленная задача всегда может быть решена соответствующим подбором коэффициентов щ и bj

Сопоставив соотношения (12.13) и (12.17), заметим, что они будут совпадать в случае, когда S0(©) = с = 4а (а24 р*)/я; m = 0; = 1; л = 2; а, = 1; Oi == 2а; а, = а* 4 Р*.

124

12.1. Нелинейные преобразователи и их характеристики

в общем случае не сохраняет вид нормального распределения, если оно было таковым на входе. Рассмотрим несколько элемен­ тарных примеров нелинейного преобразования, когда закон рас­ пределения на выходе может быть определен без особых вычисле­ ний. Так, если характеристика у = f (х) состоит из двух прямых

126

средним квадратическим отклонением 5 , то распределение на вы­ ходе будет состоять из двух различных нормальных законов: при

При k f+ O левая часть плотности ру (у) переходит в дельта-функ­ цию -j б (у). Если характеристика у = f (х) описывает идеальный

ограничитель, то распределение на его выходе будет ограничено справа и слева, а на концах оно будет иметь вид дельта-функ­ ций (рис. 12.9).

Корреляционную функцию процесса у (t) на выходе нелиней­

127

Чтобы определить Ку (т) через вероятностные характеристики входного процесса х (О, запишем уравнение (12.23) в виде его

g (и, v, т) = M (exp [iuy (t) + ivy (t + x)]}.

Энергетический спектр процесса на выходе

00

от спектра процесса х (t). В общем случае этот спектр будет иметь более сложную структуру, чем спектр исходного процесса. Так, например, если первоначальный процесс представляет собой сумму двух гармоник

х = A sin ©!< + В sin ©2/

с энергетическим спектром в виде дельта-функций на частотах ©х и ©2, то после нелинейного преобразования процесс у (t) будет, очевидно, иметь линейчатый спектр с частотами

128

Рис. 12.10. Характеристика идеального ограничителя (а) и его при­ ближенное описание (б)

Отсюда следует, что если процесс на входе х (t) имеет одну частоту со0, то процесс на выходе у (t) имеет линейчатый спектр

+-J-'COS (©! — (I)J) t,

Вэтом случае на выходе нелинейного преобразователя полу­

чаем процесс с частотами 2<0х, 2(оа, (юх + (о2) и (©х — (о2). т. е. если процесс на входе имеет характерные частоты ©х и <о2, то на выходе получаем процесс с более сложным спектром. Аналогичные выводы справедливы и для случайных процессов.

Конкретное определение корреляционной функции на выходе нелинейного преобразователя рассмотрим для случая преобразо­ вания случайного стационарного процесса двусторонним ограни­ чителем. Такой ограничитель часто используется в механических системах в качестве защитного устройства. Идеальная характе­ ристика такого ограничителя показана на рис. 12.9 и 12.10, а. В аналитическом виде эту характеристику можно представить следующим образом:

где А и С = tg у — предельная амплитуда и жесткость системы. Для упрощения вычислений и учета того, что в реальных меха­ нических системах изменение жесткости происходит более плавно, чем это описывается идеальной характеристикой, целесообразно

заменить ее на характеристику, показанную на рис. 12.10, б, которую можно описать, например, соотношением

< 1 2 - 3 0 >

где а и р — параметры, определяемые в простейшем варианте из условия равенства начальных жесткостей и равенства пре­ дельных амплитуд для двух рассматриваемых характеристик. При этих условиях

а = 1/2Л;

Р = 2п~1С-2А2.

Подставив (12.30) в формулу (12.26), получим

Теперь по формуле (12.28) получаем корреляционную функ­ цию процесса у (t):

где Кх (т) — корреляционная функция исходного процесса х (t). Из соотношения (12.32) при т = 0 получим дисперсию про­ цесса на выходе. Эту дисперсию, а также одномерное распределе­ ние выходного процесса можно получить непосредственно из анализа исходного соотношения (12.29). Так, плотность распре­ деления на выходе идеального ограничителя, имеющего жест­

кость С, можно записать в следующем виде:

-А /С

6(у + A) j px (x)dx, У < —А ;

—00

P v i y ) = j \ р х (У/С) —А < у < А ;

00

Ь (У - А ) J px (x)dx, у ^ А .

а / с

При гауссовском входе

» < ~ А -

CsVSi ехр( й ’? ') ’ —'А с у < А ;

130