книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Академия наук СССР

Научный совет

«Научные основы прочности и пластичности

И л ь ю ш и н ] А. А. П о б е д р я Б. Б. Основы математической теории термовязко - упругости. Изд-во «Наука». 1970.

В книге изложены механика и термодинамика сплошных деформируемых тел и сред ввязко-упругом твердом состоянии при постоянных и переменных температурах с уче­ том теплообразования. Изучены статические и квазистатические течения, а также ди - намические процессы в изотропных и анизотропных телах при малых и конечных деформациях. Дана теория накопления макроскопически однородных повреждений усталости. Предложен эффективный метод решения задач линейной и нелинейной теории термовязко-упругости. метод аппроксимаций) с примерами интересных расчетов на прочность и деформируемость дисков, цилиндров, пластин.

Рассчитана на научных и инженерно-технических работников, аспирантов и студен» тов, занимающихся вопросами прочности тел и конструкций из полимеров и других не вполне упругих материалов.

Иллюстраций 31. Библиогр. 105 назв.

Алексей Антонович Ильюшин, Борис Ефимович Победря

Основы математической теории термовязко-упругости

Утверждено к печати Научным советом «Научные основы прочности и пластичности»

Оглавление

II.Механические модели вязко-упругих тел и температурно­ временная аналогия

Посвящается памяти

Ольги Константиновны

Ильюшиной

П р е д и с л о в и е

Книга посвящена механике и термодинамике вязко-упругих сплошных сред при изотермических и неизотермических процессах деформирова­ ния. Областью применения этой теории является механика полимерных материалов и конструкций, а также металлов и других не вполне упру­ гих тел.

Дан доступный для инженеров-исследователей вывод соотношений «напряжение—деформация—время—температура» с использованием общих свойств функционалов и моделей вязко-упругих сред; получены выраже­ ния функций и параметров состояния, являющихся функционалами де­ формации и температуры, выведены термодинамические соотношения, необходимые при решении инженерных задач с переменной температу­ рой и учетом теплообразования.

Даны постановки основных и контактных задач о деформациях и прочности вязко-упругих тел и методы их решения. В качестве основно­ го предложен метод аппроксимаций, дающий эффективное решение за­ дач как изотермических, так и с нестационарным и неоднородным полем температуры, существенно влияющим на механические свойства материа­ ла. Метод проиллюстрирован на достаточно большом числе задач о на­ пряжениях и деформациях в дисках, цилиндрах, оболочках и др. Рас­ смотрены задачи о квазистатических и динамических периодических движениях тел, колебаниях и волнах. Указаны разнообразные методы экспериментального определения основных физических функций вязкоупругих тел (статические, волновые, резонансные), а также — решений некоторых основных интегральных уравнений, типичных для многих задач. Даны постановка и методы решения нелинейных задач линейной термовязко-упругости, так называемых связанных задач, с учетом тепло­ образования, вызванного деформированием тела, и контактных задач для однократных и повторных нагружений—разгрузок.

Установлены соотношения между напряжениями и деформациями физически нелинейной теории термовязко-упругости изотропных и ани­ зотропных сред; даны методы обращения нелинейпых операторов, опре­ деляющих эти соотношения. Нелинейная теория неупругого поведения тел значительно упрощена на основе постулата изотропии (квазилиней­ ная теория), выделения главных б-образных сингулярностей ядер ползу­ чести и релаксации (главная теория) и требования симметрии (аналог постулата Онзагера). Теория обобщена на случай конечных деформаций.

Дана теория тензора повреждений, приводящая к критериям длитель­ ной и усталостной прочности, подробно рассмотрено ее линейное представ­

ление с учетом внутренних моментов. Теория повреждений позволяет мо­ делировать разрушение тел и служит основой для ускоренных методов испытаний на прочность.

Изложение основного эффективного аппарата теории, необходимого для прикладных исследований в области термовязко-упругости, содер­ жится в главах I —VI, IX и XII, которые можно читать независимо от других.

Монография предназначена для инженеров, научных работников, ас­ пирантов и студентов, занимающихся вопросами прочности, пластичности и ползучести тел и конструкций, а также общими вопросами механики и физики сплошных сред.

Материал монографии соответствует специальному годичному курсу лекций по математической теории вязко-упругости, который читается авторами на механико-математическом факультете МГУ с 1966 г. и был прочитан в Ташкентском ГУ в 1968 г.

Автроы

I.Общие линейные соотношения между напряжениями1

идеформациями для изотропных сред

§ 1. Характеристики деформаций и напряжений

Механическими параметрами, характеризующими внутреннее состояние сплошной среды в некоторой точке М, являются вектор перемещения и, тензоры деформаций Е и напряжений 5. В первой части книги рассмат­ риваются только малые деформации и потому всегда можно выбрать не­ которую ортогональную декартову систему координат хг (г = 1,2,3), в которой перемещение будет малой величиной. Выбирая, например, три бесконечно близких не лежащих на прямой физические точки среды,

В указанной системе координат перемещение будет малым порядка б, т. е.

При любых перемещениях среды и любом определении тензора де­ формаций Е этот тензор однозначно определяется через вектор перемеще­ ния и и его первые производные по координатам х*в момент I, т. е. каждая компонента Е есть однозначная функция иг и диг1дху, это утверждение

В случае малых деформаций с точностью до б (т. е. ошибкой не более б)'

т. е. при сложении двух полей перемещений тензоры деформаций склады­ ваются.

В любой системе координат тензор деформации е = (е^-) связан с перемещением и формулами Коши

Тензор напряжений при малых деформациях в системе координат однозначно определен; его компоненты есть истинные (и с точностью 6 совпадающие с ними условные) компоненты векторов внутренних напря­ жений на основных ортогональных площадках 5 = {(Уц).

В механике начально изотропных сплошных сред, с которой в основ­ ном связаны рассматриваемые нами вопросы, существенное значение имеют разложения тензоров Е и 5 на девиаторы и шаровые тензоры. Для компонент ец и Оц в системе координат х% эти разложения имеют вид1

—единичный тензор Кронеккера; Зе = 0— объемная деформация; а= 0/3

—среднее гидростатическое напряжение. Очевидно, для всякого девиатора Ог или В 0

При ортогональных преобразованиях системы координат хг,

если повторяющийся индекс заключен в угловые скобки, например, ац < О» зна­ чит суммирования нет.