книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfимеем |
следующий |
переход от производных X по хх к производным Ъ |
||
по ^ |
и 1Х\ |
|
|
|
|
ьъ |
_аг_ |
, |
ш_ |
|
дх. ~ |
ы. |
+ ^ |
« я ’ |
(22.19)
*=I
ф
Здесь г)г есть указанные интегралы с обратным знаком, в которых после
интегрирования |
хг и I заменены, |
согласно (22.10), |
на |
и ср (^,|), т. е. |
||||
т|* — известные |
функции от новых |
переменных ^ |
и |
т. е. записать |
||||
Если температуру Г, О выразить в новых переменных 1Х, |
||||||||
т = |
т (1Х, I), |
|
# |
= |
О (<я), |
|
(22.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ат = а7 = ат(**, 1), |
Ъ= |
§ ат Л х = <р (<*, 1), |
|
|||||
то имеем другое выражение г)г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
да™ |
|
|
|
|
|
(22.21) |
|
|
~яёд\.х—&Х- |
|
|
|
|
||
На основании (22.19) формулы Коши принимают вид |
|
|||||||
2е^ : |
ди. |
ди. |
ди. |
|
ди. |
|
|
|
|
— |
+ ть я г - + ти в г - ’ |
|
|
||||
|
|
«5* |
|
|
|
|
|
(22.22) |
~ |
5м. |
5м. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
0 = |
5?“ |
+ 114 ~дГ~ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
^<1 |
|
.Т |
|
|
|
|
|
и уравнения |
равновесия |
(22.7) |
|
|
|
|
|
|
да.. |
|
да.. |
о4^ |
= |
^ |
на 2. |
|
(22.23) |
— ^ |
+ И} — |
|
||||||
|
13 дЪт |
|
|
|
|
|
|
Вопрос о целесообразности использования преобразования Лапласа — Карсона в рассматриваемых задачах выясняется в зависимости от метода их решения.
В случае динамических задач в правых частях дифференциальных уравнений (22.23) необходимо добавить рд2иг/д!2
д2и1
(22.24)
р ~дёг
Учитывая (22.6), для простоты письма можно не отмечать волной свер ху искомые и данные величины, подразумевая, что все они в зависимости от выбора переменных (2, х) или (гх, 1) рассматриваются (а заданные — выражены) как функции тех или других.
Метод однородных (в изображениях — упругих) решений задач третьего типа. Пример. За редким исключением задачи рассматриваемого типа являются весьма сложными. Если температура Т не зависит от х (сле довательно, ат не зависит от х), т. е. поле температур нестационарно, но однородно, то из (22.19) = 0, и получается задача, рассмотренная ра нее (§ 16, 17).
Следовательно, можно построить метод однородных приближений, аналогичный методу упругих решений в теории пластичности, если в ка
честве |
независимых |
переменных |
выбрать |
(1Х, | е). Для этого |
обозначим |
||||
|
2Е |
|
ди. |
|
ди. |
|
|
|
|
|
|
=т1»'д ^ |
^~аГ~ ’ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
«х |
|
|
(22.25) |
|
|
|
|
|
|
ди. |
|
|
||
|
0 = «чА* = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
х |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и перепишем соотношения Коши (22.22) в виде |
|
||||||||
|
®I) |
|
( ^I] “Ь |
|
|
"Ь Еу, |
|
|
|
|
0 = Щ,1 + 0, |
|
|
|
|
|
(22.26) |
||
а их изображения Лапласа по переменной 1Х — в виде |
|
||||||||
|
еу |
= |
{и*,, + |
и|,г)/2 + Е у, |
|
(22.27) |
|||
|
6* = щл + ©% |
|
|
|
|
|
|||
причем |
|
|
оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
®у = |
р ^ Еу (1Х, \) е~р1х сНх, |
©* = |
р ^ @(1Х, %) е~р*х сНх. |
(22.28) |
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
о |
|
Соотношения (22.8) в изображениях имеют обычный вид |
|
||||||||
|
Оц = |
8ц -{- 0 |
|
|
8ц = |
И 6ц, |
0 = Дх0Г. |
|
|
Внося |
сюда |
(23.3), получим |
|
|
|
||||
|
<3у = |
— Я*(и* |
+ |
и]л) + |
{п[---- |--#*) Щ'кЬ{}— ЗссЯ^Убу + ,5у, |
||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
(22.29) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
= |
Л*Е« +(л1 - |
4 - **) 0*6у, |
|
|
|||
|
|
|
*х |
|
|
|
|
|
|
|
За = |
5 {л («*- |
Г,) 4 - Е„(*« 1)+ [X («, - тя) - |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22.30) |
Уравнения равновесия (22.23) в изображениях принимают вид обыч ных уравнений однородной линейной теории упругости с фиктивными объемными силами Р\, фиктивными поверхностными силами *$%• 1$и пере
менным по объему температурным полем Ф* (р, %)
^ 1 ^ и к,къ + - 2 “ ^ ^г, ЛгЛ: — = О»
|
л* К* ,• + ии г) Ц Г (#1 — -у- -й*) |
= ЗаД^*/* • - |
<5у^ на 2. |
||
Причем введено обозначение фиктивной массовой силы |
(22.31) |
||||
|
|||||
|
|
дв.. |
|
|
|
|
^ = - а Г + 2*’ |
2» = ‘п , - ^ 2-. |
|
|
|
|
/К* |
°° |
|
|
|
|
р * = - д ;Г + 2 *» |
^ = о ^ |
р 1 х М х • |
|
( 2 2 -3 2 ) |
Метод однородных решений состоит в последовательности решения |
|||||
следующих задач. |
|
|
|
|
|
1- е приближение: полагая Р* = 8ц |
= 0, получаем задачу в изобра |
||||
жениях второго типа с |
массовой силой — ЗаДх §га<1 О* и |
неравномер |
|||
ным растягивающим нормальным напряжением ЗоеКг О* на |
поверхности |
||||
2. Эта |
задача решается |
развитым ранее методом аппроксимаций: нахо |
|||
дится |
поле перемещений иг и напряжений Оц как функции (1Х, |). Пос |
||||
кольку г]1{1Х, |) нам всегда заранее известны |
из (22.19), по найденным |
||||
иг, Оц находим в первом приближении Ец, © |
(22.25), затем их изобра |
||||
жения |
(22.28) и, следовательно, 8 ц (22.30), поскольку /?*, |
— извест |
ные изображения ядер Я, Яг. По полю Оц определяем величину 2* и ее
изображение (22.32), а в |
результате находим фиктивную силу Р\. |
||||||
2- е |
и дальнейшие |
приближения: |
при найденных |
в предыдущем |
|||
приближении Р{ и |
8 ц для |
следующего (второго) приближения (22.31) |
|||||
вновь представляют |
краевую задачу с массовыми — ЗаД^гай |
О* + Р\ |
|||||
и поверхностными |
ЗаДх '0'*/* — 8цЦ |
силами, которая |
также |
решается |
|||
методом |
аппроксимаций |
и |
позволяет найти следующее (второе) приб |
||||
лижение |
их, Оц, а |
значит |
Е*,*, ©, 2* и их изображения, т. е. следующее |
приближение Р\ и 8 ц .
Сходимость этого метода обеспечена по крайней мере для нестационар ных температурных полей малой неоднородности по координатам. Усло вия и границы сходимости для сильно неоднородных полей температуры должны еще быть выяснены.
Изложенный метод, конечно, не требует перехода к изображениям на каждом шаге приближений, если известно решение задачи однородной теории упругости для произвольных массовых и поверхностных сил, т. е. известно общее решение уравнений (22.31) в изображениях для произ
вольных Рг и 8ц , так как оригинал такого решения строится по методу аппроксимаций. Алгоритм просто сводится к вычислению последователь
ных приближений 8 ц , |
2* по полю иг, Оц, определяемому значениями |
8 ц , 2* в предыдущем |
приближении. |
Задачи с контактными граничными условиями 1-го и 2-го рода по су ществу ничем принципиальным не отличаются от рассмотренной основной задачи термовязко-упругости.
В качестве примера рассмотрим простейшие задачи термовязко-упру гости с неоднородным напряженным состоянием, неоднородным и неста ционарным заданным температурным полем.
Растяжение тонкого бруса массовыми силами. Пусть напряжение в сечении х бруса известно о — о (I, #), температура Т = Т0 + 'в' (I, х) задана. Местное время
I
**= $л /вт<*,*) = /(*»*)
О
вычислено (построен график 1Хпо I при различных х). Найти перемеще ние и {I, х) вдоль оси, зная кривую ползучести при растяжении Пг (I). Имеем согласно (22.14) разрешающее уравнение
Ъ = оЛ + $Пг [/ (*, х) - / (х, х)) |
<1х. |
О |
|
Если поле сил стационарно, т. е. о (^, х) = о (х) Н (I), то X х
~ = ад + Пг (1Х) о (х), и = а ^д (^, х) Ах 4- ^ о (х) Пг (1Х) йх.
о о
(22.33)
Деформация полой сферы внутренним давлением. Перемещение на внутренней поверхности г = а обозначим V (2), давление аг = —р (I), наружная поверхность свободна, распределение температуры д (*, г) дано, так что / (2, г) найдено. Принимая условие упругой несжимае мости 0г = 0 — Зад = 0, получаем
ег + 2еф = диг]дг + 2иг/г = Зад,
затем находим
г
иТ= -±- [С/ (0 а2 + Зое $г*Ъ (I, г) <1г] ,
8ф = иг/г, |
а |
гг = Зад — 2иг[г. |
Из (22.14) находим
от— <зф= |
[/ (г, г) — / (т, г)]-^[вт(х, г) — е„(т, г)] ёх = |
|
|
О |
|
= |
X, г ) [ а й ( т , г ) — |
(Т) — |
О |
|
о |
где Д (*, т, г) — В [/ (2, г) — / (г, г)]. Теперь из уравнения равновесия находим
а
и из условия г = 6, аг — 0 находим связь между давлением р (2), тем пературой д (2, г) и перемещением II (г)
причем это уравнение может быть упрощено за счет перестановки поряд ка интегралов и введения обозначений
ь |
|
|
Р (г, т) = $ Я (*, т, г)-^ , |
|
Р (а, 1,х) = Р (г, I, т) |г_в, |
V |
Ъ |
I |
I |
||
= а2 ^Р (а, I, х) <Ш(т) + За^ г2йг ^Р (г, I, т) —~ — дх — |
||
О |
а |
О |
г ) ^ < 1 т.
аО
При заданном давлении р (*) перемещение Л (г) находится из этого ин тегрального уравнения Вольтерра 2-го рода обычным методом итераций. При заданном Л (1) явно получен закон изменения р (2) внутри шара. В частности, релаксация давления р (I) при достаточно быстро созданном
перемещении и стационарном поле температур, |
Л (I) = Л0к (0> ^ |
г) = |
||
= О (г) к |
(I) определяется формулой |
|
|
|
Р_ |
ъ |
ъ |
|
йг |
а^Л^Р (а, 1, 0) + За ^ Р (г, 1, 0) Ф (г) гЫг — а ^Я (*, 0, г) '&(г) |
||||
6 |
а |
а |
|
г |
|
|
|
или в явном виде — через ядро релаксации К (1Г)
Р (О |
ъ |
ъ |
йг |
|
|
^ ( г ) |
йг ^Зг2^Я (2Г) |
-4 д(*г)} |
|||
6 |
~г* |
||||
|
а |
г |
|
(22.34) |
Рассмотренная задача о шаре может быть решена методом последова тельных приближений без предположения об упругой несжимаемости, с учетом сдвиговой и объемной релаксации материала.
VI. Динамические задачи
§ 23. Метод усреднений в динамических задачах
Интегро-дифференциальные уравнения динамики и малый параметр.
Выражения |
напряжений |
а^ — о8^ + 8 ц |
через |
деформации |
[ег7- — |
|||||
= 1/306^- + ец] и |
избыточную |
температуру г<>= Т — Т0 (2.37) |
могут |
|||||||
быть записаны в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|||||
= (Ь - |
П |
+ 2 (р- |
р*) е„ - За (2р- |
Г^) |
(23.1) |
|||||
где к, р — константы Ляме, |
|
|
|
|
|
|||||
Х = |
В г (0) - |
уЛ (0) = |
|
|
2р. = Н (0) = 2С |
(23.2) |
||||
и к \ р*, Гх — операторы |
по времени, |
умножение которых на некоторую |
||||||||
функцию времени и координат ъ (2, х) означает: |
|
|
||||||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
к*%= |
^ |
(I — т ) ---- -- Г (I — |
2 (т, |
х) йх, |
|
|
||||
|
|
оI |
|
|
|
|
|
|
|
|
2р*2 = |
^ Г (I — т) 2 (т,х) йх, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гх2 = |
^ 1\ (I — т) 2 (т, х) с?т, |
|
|
|
(23.3) |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем 1\ (0, Г (0 — производные В 1 (0 и В (0 с обратным знаком, т. е. положительные, монотонно убывающие функции времени
г (о = - д ' (*). |
11(0 = - д ; (о. |
(23.4) |
|
Г, Г \> 0 , |
Г', г ; < 0 |
|
|
|
|
||
с интегрируемыми на любом интервале I ^ |
0 квадратами. |
||
Используя соотношения |
Коши 2е^- = |
иг^ + |
и внося выражения |
(23,1) в (15.1), получим динамические уравнения вязко-упругости в сле дующем виде:
или в векторной форме |
|
|
|||
|
ри = Ь (и) + |
рР — бцос §гас1 д — I* (и) + ЗаГ^ §гас1 Ф, |
(23.6) |
||
причем Е (и) — оператор Ляме, |
|
|
|||
|
Ь (и) = |
(к + |
р,) §гай (Иу и + |
цДи, |
(23.7) |
Ь* (и) — то же для к* и р* и Ь х (и), Ь*{ (и) — их компоненты |
|
||||
|
Ьг(и) =(&+ ?)-&:+ |
|
(23.8) |
||
|
|
|
* |
|
|
|
Ц (п) = |
(Х* + |
ц* ) ^ + и.*Ли,. |
|
|
Для уравнений(23.5) имеем обычные граничные условия в перемеще |
|||||
ниях |
на |
|
|
|
(23.9)' |
|
и = и0(*, х) |
|
|
|
|
и в |
напряжениях на |
|
|
||
|
== к$1^ |
2\№ц 1] — |
— Зое (2р — Р1*) |
(23.9)" |
|
|
Ы 1 = <5*о(*, |
х) |
|
||
и начальные условия, например, в виде |
|
||||
|
I = 0 |
и = |
II (х), й = У (х), |
(23.10) |
где и0(г, х), *У*0 (х), II (х), V{х) — заданные вектор-функции указанных аргументов.
Таким образом, краевая динамическая задача для вязко-упругого тела при заданном поле температуры сводится к системе интегро-дифференци- альных уравнений и граничных условий простой заменой констант Ляме к и р, входящих в динамические уравнения классической теории упруго сти, на операторы X — к* и р — р*, определяемые формулами (23.2) и (23.3).
Естественно, что то же правило сохраняется и для других уравнений динамики, используемых в прикладной теории упругости, строительной механике и сопротивлении материалов. В динамические уравнения теории оболочек, балок и стержней входят цилиндрическая жесткость
2) = |
Е1г* |
12(1 — V2; |
изгибная жесткость ЕУ или жесткость на растяжение ЕЕ, где к — толщи на оболочки; У — момент инерции площади поперечного сечения балки Е относительно поперечной оси. Входящий в выражение 29 коэффициент Пуассона V слабо влияет на ее величину и может считаться постоянным (0,33 ~ 0,5). Следовательно, все жесткости пропорциональны Е и потому, заменяя Е оператором Е — 2?*, где Е — мгновенный модуль Юнга, и имея правило умножения Е* на некоторую функцию времени / (2), обра щающуюся в нуль при I = 0, получим
I
Е*% = Е ^ Гг (Ь— т) 2 (т) <2т,
о
1 <тг (о
Гг(*) = е <и *
причем В т(2) — универсальная функция релаксации материала при рас тяжении. Таким образом, в прикладной теории вязко-упругости динами ческие уравнения получаются из соответствующих уравнений упругих колебаний заменой модуля Е на оператор, однозначно определяемый функ цией релаксации В г (2).
Уравнения продольных колебаний однородного стержня, поперечных колебаний неоднородной по толщине балки и пластинки имеют вид [95]
р дпи |
д'и - $ Г Г( * - Т ) ^ |^ Й Т ; |
|
|
|||
Ж Ш ~ д Ж |
|
|
|
|
||
М д2ю |
д*ю |
д*1У(Х1Г) |
, |
<? . |
(23.12) |
|
В д1г |
дх4 |
дх‘‘ |
аТ ' |
В ’ |
||
|
||||||
|
+ у4ц; = 5 Гг^ — |
|
у,х)йх + ^ \ |
|
||
|
о |
|
|
|
|
здесь и (х, 2), ю (гг, I), ю (х, у, %) — соответствующие продольные и попе речные перемещения; Е — мгновенный приведенный модуль, () — нагруз ка на единицу длины балки; Р — на единицу площади пластинки, М — масса единицы длины балки или единицы площади пластинки; В и й — приведенные жесткости. В случае анизотропных тонкостенных конструк ций каждый из модулей Е ш анизотропии должен быть заменен оператором
Еш — Ет, аналогичным (23.11). Например, согласно результатам § 14 уравнение поперечных колебаний ортотропной пластинки из гомоген ного полимера, армированного упругими нитями или пленками, получает ся из (23.12) заменой
Д4г^* |
д*ш |
0 |
дЧо |
д*ю |
' ^ |
+ 2“з дх°'ду2 |
|
где а<1 — некоторые структурные постоянные.
В силовых конструкциях из полимерных материалов всегда приме няется армирование. Армирующая структура практически часто яв ляется вполне упругой и несет основную нагрузку, связующие же силы создают пространственную неизменяемость конструкции, воспринимая относительно малые или второстепенные напряжения, и одновременно по вышают вязкость конструкций и влияют на их колебания. Из этого следу ет, что для силовых конструкций положительные ядра Г операторов (23.3), (23.11) и входящие в (23.12) Гг пропорциональны некоторым поло
жительным малым параметрам, т. е. все они удовлетворяют |
условиям |
ч |
|
0 < $ Г ( т И т < 1 , ' . Г (0->;о |
(23.13) |
о |
|
для любого I. При этом во всех указанных уравнениях мы можем операто ры X*, р,*, Е* заменить на ек*, ер,*, гЕ*, рассматривая е как малый поло жительный параметр. Излагаемый ниже метод усреднений для решения динамических задач теории вязко-упругости предполагает существование малого параметра, в качестве которого мы принимаем е, причем в оконча тельных результатах, получаемых этим методом, следует положить е = 1,. так как малость интегральных членов обеспечивается условием (23.13).
Одним из многих известных методов динамическая задача для вязкоупругого тела может быть сведена к конечной или бесконечной системе
обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений по времени [96]. Замена дифференциальных операторов второго порядка по координатам
(х) от вектора и конечно-разностными их представлениями в (23.5), (23.9) непосредственно приводит задачу к такой системе. .Значительно меньшее число уравнений при подходящем выборе координатных функций, умно жаемых на искомые амплитудные функции времени, будет получаться по методу Бубнова — Галеркина.
Точно или приближенно одним из указанных или другими методами динамическая система линейных уравнений вязко-упругости, т. е. (23.5), (23.9), (23.12) и другие, может быть приведена к системе обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений вида
I |
|
9» + Рп А = 85 Г«4 (* — т) 0» (т) ^ |
(0. (га, г = 1 , 2 , . . ЛГ), |
|
(23.14) |
где N — число «степеней свободы» тела; 0П(I) — амплитудные функции времени; Рп1 — известные действительные постоянные величины; Тп1 (г) — линейные функции всех входящих в исходные уравнения ядер Г (например, Г, Г2, Гг. . .) с действительными постоянными коэффициентами; еь Рь (I)— амплитуды малых внешних нагрузок; повторяющийся индекс I означает суммирование от 1 до N
N
РпА = 2 ^ 0 * , - . .
2= 1
Предполагается, что система уравнений 0П+ Р п$г = 0 определяет сво бодные нормальные колебания около положения устойчивого равновесия тела, т. е. характеристическое уравнение
I №&пг + Рп11= 0 |
(23.15) |
имеет 2И чисто мнимых сопряженных корней к%, = — |
&п,п+1 = |
р п > 0 — действительные. Методом вариации произвольных постоянных |
|
или другим методом решения системы 0П+ Р п*0* = 0 |
|
0П= Ап{ соз р$\+ Вп181п р^ |
(23.16) |
систему (46.14) можно привести к «стандартному» виду [96], |
если ех = е, |
вообще же — к виду |
|
I |
|
*§* = е/ж, (*)Сх+ е $сот{ (*, т) Сх(т) йх + гхРт (*), |
(23.17) |
0 |
|
где — некоторый параметр; Сш (т = 1 , 2 , . . ., 2Л) — 2Р1 независимых функций времени, которым пропорциональны А п1, В п1. В матричной фор ме система (23.17) имеет вид
г |
|
~ = е/ (0 С + е Цсо {I, т) С(т) Лх + еХР (I), |
(23.18) |
о |
|
ядра типа
5трт Т5трп2, з1прт т соз рп1 соз рт Т81прп2, соз рт х соз рп1 *'
где Г (2 — т) — входящие в исходные уравнения ядра; рт , рп — частоты свободных колебаний. Согласно (23.13) существует и мал интеграл по лю бому интервалу I ^ 0 нормы ||со||, т. е. параметр е, отличающий малость правой части (23. 18), можно считать равным 1.
Метод усреднений, предложенный Боголюбовым для решения систем дифференциальных уравнений[97, 98], распространен на системы интегродифференциальных уравнений в работах [99,100], в [96] даны первые фун даментальные результаты применения его к задачам динамики вязко-уп ругих систем. Рассмотрим частный вид изученных в указанных работах «стандартных» систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которые являются естественным обобщением системы (23.18) и могут иметь приложения в нелинейной динамике вязко-упругих тел
I |
|
^ = еР(г,С) + е ^ Н (*, т, С (т)) йх, |
(23.20) |
о |
|
где С, Р и Н — ^-мерные векторы. В линейном случае (23.18), е — малый параметр порядка интеграла (23.13),
гН (2, т, С) = со (г, т) С (т), е Р (г, С) — / (2) С (2),
причем, согласно, (23.19) и учитывая свойства Г и ^т^^ со и / ограничены по норме, и потому выполнены условия Липшица
(*, |
Сг) - |
Р |
{г, Са)|| < ^ \\Сг - Са||, |
|
||н (I, |
X, Сг) - |
Н (*„ х, С2)|| < ц2 ||СХС2|| |
(23.21) |
|
при любых I, |
х ^ |
0. |
|
|
Приводящий задачу динамики вязко-упругих тел к наиболее простым дифференциальным уравнениям вариант усреднения системы (23.20) состо ит в следующем [95]. Рассматривая входящий в Р и Н (23.20) вектор С как параметр, допустим, что существует предел
ГI
8 (С) = 11т |
|
I. |
(*. С) + ^ Н (*, х, |
С) йх | Л. |
(23.22) |
Т—►оо ^ |
о |
«; |
-1 |
|
|
|
|
о |
|
|
Существование такого предела для линейной системы (23.18) очевидно. Функция $ (С) представляет собой среднее по I значение правой части (23.20) на бесконечном интервале времени (при е = 1).
Вектору С поставим в соответствие Л^-мерный вектор |
удовлетворяю |
|
щий уравнению |
|
|
а ш = |
Ц). |
(23.23) |
В случае линейной системы (23.18) уравнение (23.23) будет линейным с по стоянными коэффициентами.
Утверждается, что при весьма общих условиях решение системы (23.23) будет как угодно близко к решению системы (23.20) на как угодно боль шом конечном интервале времени при достаточно малом конечном е, где е — величина порядка значения интеграла (23.23), взятого по этому ин тервалу; следовательно, с определенной точностью С — Это верно и для