книги / Многомерный анализ и дискретные модели

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.1.Комбинаторная* прямая (10). 1.2. Умножения, (12).

1.3.Уравнения и задачи (14). 1.4. Нормировка, ступен­ чатые функции, аппроксимация (17).

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние десятилетия была проделана большая работа по изучению топологических, геометрических и алгебраических структур, лежащих в основе конструк­ ций классического анализа. Полученные при этом ре­ зультаты позволили в уряде случаев строить внутренним образом определенные дискретные (конечные или «счет­ ные») модели задач анализа и математической физики. Имеется в виду, что в таких моделях речь идёт не про­ сто об аппроксимации (в том или ином смысле) задан­ ного континуального объекта, а 6 построении аналога этого объекта, отправляясь от понятий, допускающих «дискретную» трактовку.

Можно отметить, что в последнее время использова­ ние соответствующих идей находит применение-и в вы­ числительной практике. В ряде случаев рассмотрение дискретной модели представляет методический интерес, позволяя глубже понять природу той или иной структу­ ры или связи.

.С формальной точки зрения основным предметом кни­ ги является описание некоторых регулярных методов сопоставления специальным классам ; континуальных объектов их внутренним образом определенных дискрет­ ных аналогов. В действительности автор ставил перед собой более широкую задачу: продемонстрировать пере­ плетение идей и методов таких разделов математики, как классический и функциональный анализ, риманова геометрия и алгебраическая топология на возможно бо­ лее «низком»- уровне. Последнее, означает, ^что указанное переплетение демонстрируется, к,примеру, не на иссле­ довании такойутрудной и специальной задачи, как ин­ декс общего эллиптического оператора на гладком много­ образии, а на разборе связей между записанными в ин­

анализа и их разностными аналогами.

Книга адресована в первую очередь тем, кто центром

своих интересов избрал математическую физику. Пред­ полагается цри этом, что потенциальный читатель хотел бы глубже понять природу ряда объектов, с которыми ему приходится сталкиваться, не имея одновременно же­ лания (или времени, или энергии) заняться изучением трактатов, посвященйых римановой геометрии, геометри­ ческой теории интегрирования, алгебраической топология и т. п. Автор думает, что в ряде ^случаев весьма полез­ ным приемом, облегчающим знакомство со смежными разделами математики, может служить обращение к спе­ циальным конечным моделям.

Приведенная установка заметно отразилась на харак­ тере изложения. ^Неявно предполагается,' что читатель в той или иной мере знаком с уравнениями /математиче­ ской, физики и элементамифункционального анализа, имеет некоторое представление о дифференциальной геометрии, но никогда не задумывался над тем, что та­ кое теория гомологий.

Несколько слов 6 расположении материала. Вступи­ тельная . глава должна дать достаточно чёткое, представ­ ление о том, что* понимается под конечной моделью, а

на римановом многообразии рассматривается как теория специального класса систем уравнений с частными про­ изводными первого порядка, тесно связанных с операто­ рами классического векторного' анализа, с оператором Лапласа и волновым. Упоминаний о кривизне, связности, параллельном переносе" и т. п. не имеется.

Главы I I I - V посвящены собственно моделям. Третья рассматривает объекты классической математиче­ ской физики; четвертая — квантовую механику й теорию поля;, пятая— некоторые общие вопросы теории дискрет^ ных уравнений, не претендующие на связи с физикой.

Для более и л и менее подготовленного читателя все главы являются, по; существу, независимыми (по модулю минимума необходимых обозначений и терминов).

^Выходящую за рамки сделанных замечаний достаточ­ но полную формальную картину содержания можно по­ черпнуть из подробного оглавления. Менее формаль­ ную— из введений и предварительных замечаний' к гла­ вам и параграфам.

ПАМЯТКА ЧИТАТЕЛЮ

Книга разбита на главы, главы — на параграфы, па­ раграфы — на пункты. Формулы, теоремы, утверждения нумеруются внутри параграфа. При ссылках внутри , па­ раграфа указывается номер; при ссылках на другой параграф данной главы указывается дополнительно пара­ граф (или параграф и йункт). В остальных случаях ука­ зывается. и глада.

' Число в квадратных, скобках означает ссылку на соответствующий источник в списке литературы. Нали­ чие ссылки не означает, что указываемая книга или статья является единственным (или первоначальным) носителем нужной информации.

Использование «знака Халмоша» ш, обозначающего конец доказательства (быть может, лишь намеченного) или подчёркивающего отсутствие такового, не является до конца формализованным. В некоторых случаях он, нс употребляется.

Определения, как правило, не выделены в специаль ный абзац. Обычно они находятся непосредственно i тексте. Определяемое понятие набирается при этом кур сивом. Элементы текста, на которых желательно сделат! логическое ударение,, набраны разрядкой.

Г Л А В А О

ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ

§ 0. Введение

Как. отмечено в предисловии, данная глава должна дать представление о важнейших принципиальных чер­ тах моделей, рассматриваемых в основной части: кнйгй. При этом модели на прямой соответствуют моделям

'является внимательный анализ аксиоматических цепо­ чек (цепочек определений), дающих описание сопостав­ ляемых объектов. Перечисление определений занимает значительное местог и в нашем изложении. Непосред­ ственное описание и достаточно подробный разбор дис­ кретных структур, моделирующих (с выбранной точки зрения) анализ на прямой и окружности, должен сделать

до известной степени убедительной необходимость вни­ мательного рассмотрения формальных определений (и неформальных дополнительных замечаний), осущест­ вляемого в гл. I.

Само собою разумеется,. что приводимое «непосред­ ственное описание» использует неизбежно: ряд. стандарт^ ных понятий, к обсуждению которых' возвращается гл. I. Одновременно для вводимых нестандартных объектов связь их с- более изощренным формализмом, излагаемом

. в дальнейшем; по возможности указывается. , ♦ Дополнительно отмети^, что рассмотрения п. 1:3, ко­

точками на бесконечную систему интервалов, каждый из которых конечен. Разбиение считаем регулярным, т. е. определяющие его точки це могут сливаться. Подчерк­ нем, отсутствие масштаба — произвольность длин интер­ валов. Выбрав базисную точку хо, обозначим ближайшую

Открытый интервал (хк, ххк) обозначим через .ек. Множе­ ства {жА}, {еА} будем рассматривать как множества базис­ ных элементов вещественных линейных пространств 6°, 6 1, т. е; будем считать имеющими смысл линейные комбинации

называемые обычно цепями (размерности 0 и 1 соответ­ ственно). При записи сумм вида (1) предполагается, ес­ ли не оговорено противное, что лишь конечное число членов отлично от нуля. Будем обозначать через .6 == =6° $ S 1 прямую сумму введенных пространств. Опре­ делим в © граничный оператор— отображение д:

сопоставляющий ориентированному интервалу его грани­ цу и аннулирующий точки. Определение распространяет­ ся по линейности на цепи (1) . Введенный объект © на­

ший бесконечный одномерный комплекс. Но пока мы из­ бегаем подобной терминологии. ,

Перейдем/к важнейшему для нас понятцю функций над ©. Функции эти мы будем задавать, вводя линейные пространства К°, К \ сопряженные с ©°, ©*, т. е. облада­ ющие базисом {я*}, {е*}, для элементов которого опреде­