книги / Многомерный анализ и дискретные модели

мени независимость от t оператора Н влечет независи­ мость от t и оператора U. В континуальном случае вы­ бор Н определяет U равенством -U = e~im с обязатель­ ной зависимостью от t.

Выбор оператора Н при анализе той или иной-физи­ ческой ситуации (как, впрочем, и запись динамических уравнений в .нетривиальных задачах классической меха­ ники) есть искусство. Источником вдохновения служит здесь так называемый «принцип соответствия»: рецепту­ ра, позволяющая по гамильтониану классической систе­ мы записать оператор Н «соответствующей» квантовой. Математическим оправданием принципа соответствия служит возможность получения в пределе классической мех!аники из квантовой при стремлении к нулю некото­ рого параметра (не участвующего в наших построениях), характеризующего масштабы измерений. Однако тща­ тельный инадиз показывает, что соответствующий пре­ дельный переход, вообще говоря, неоднозначен [32] и должен ^быть проведен -весьма специальным образом.

Для нашей модели мы сможем в следующем пункте (превратив Q в «однородное пространство») получить-ра­ зумный ответ на вопрос: «Каким должен быть оператор Н в (18), если это уравнение определяет траекторию классической свободной материальной точки?» А пока рассмотрим переход к другому способу описания измене­ ния во времени квантованной системы, использующий так называемую «картину Гейзенберга».

Запишем для нашего изменяющегося во времени со­ стояния !/(£)> среднее значение наблюдаемой А в мо­ мент t+ Г.

Л|/(Н-1)> = </(*+ 1)Ы !/(*+'1)> в

= '<U/(*)UlU/(*)> =

Теперь может быть сформулирован вопрос о соответ­ ствии построенных таким образом классической и кван­ товой моделей: «Каким должен быть оператор Н в представлении U = e~iH, если закон движения, записан­ ный в форме (16), имеет вид (20)?»

Для получения ответа следует воспользоваться раз­ ложением |/> по собственным векторам оператора сдви­

га т. Соответствующий базис Н задается элементарными «периодическими функциями», т. е. набором корней из единицы:

Тогда ^

т I ТЬ> = а*I Ля>» «ft = e ~ v\

и одновременно

т. е. выбранный базис .является ортонормированным; Соответственно для элемента |/> ^ II имеется теперь два представления:

Если обратиться к символике, используемой в. теории преобразования Фурье, то связь между ../, f может быть выражена равенствами

& = 0, ±’1, ..., ±Z"числовыми координатами на-некотором множестве Q и рассматривать над Q комплексное гиль­

Обратимся к выяснению вида оператора Н для дви­ жения (20). Если

i m > = 2 7kf c ( o i % > .

то

U| /( 0> =

Лф*.= (собственные значения А записаны в форме экспонент), то, в соответствии с правилами определения функций от операторов, можно положить А = ев, где действие В определено равенством 2?фь = Ялфл. Применяя

§ и МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 205

+ ev(&), можем записать

ному на г). Постоянная а, вошедшая в определение Н, является некоторой характеристикой системы, определя­

ванной системы.

Остановимся теперь на некоторых расхождениях между нашей моделью и стандартным формализмом квантовой мехайики. Результат, сформулированный в утверждении 6; расходится с предписанием классическо­ го принципа соответствия, утверждающего, что. оператор

Н для свободного движения должен иметь ^вид

(при а — 1)/что соответствует виду гамильтониана (рав­

н о г о д л я 4свободного *движения материальной точки

(см. п. 1).

Континуальным аналогом уравнения Шредингера при нашем подходе бьшо бы уравнение (для рассматри­ ваемой системы)

мосопряженный оператор, порожденный операцией диф­

получим в качестве общего решения волну f(vt + я), рас­ пространяющуюся без искажения формы. ■

Волновые функции подобного типа широко использу­ ются в качестве нулевого приближения, например, в за­ дачах рассеяния; При этом получение их из вышеупомя­ нутого, стандартного гамильтониана требует подчас нема­ лых дополнительных усилий (ср. [9], с. 62).

Остановимся, в связи со сказанным, еще на одаом важном обстоятельстве. В приведенных рассмотрениях

точке х. В конечномерной модели трудно удержаться от предложения рассмотреть, в первую очередь, оператор «плотности частицы в точке х», для которого

</1Ф(*)1/>“ 1/(*)12.

Но, как мы увидим ниже, построение содержательной теории требует привлечения значительно более сложных конструкций. В то же время, идея использовать в каче­

считать введение в рассмотрение специального класса наблюдаемых-операторов, зависящих откоординат точек пространства-времени как от параметров.

Заметим, „что под полем в КТП донимается именно та или иная совокупность {Ф (я, £)} полевых операторов,

берговского представления (см. конец п. 1*3).

Интересно отметить, что с приведенной первой чер­ той связана трактовка КТП как следующего шага в раз­ витии представлений о. понятии состояния: состояниечисло (классическая механика), состояние-функция

тировать и на следующем «этаже», соответствующем на­ блюдаемым: функция -*■ оператор -*■ операторная функцйя.

позволяющего описывать процессы рождения, уничтоже­

обходимость согласования описания процессов, даваемо­ го аппаратом ЛТ#, с постулатами специальной теории.

относительности, содержащими связь между массой и энергией й требование «релятивистской ковариантности», т. е. согласования законов преобразования, входящих в рассмотрения величин, с представлением о равноправно­ сти координатных систем, связанных преобразованием Лоренца.

208 МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ [ГЛ. IV,

Рассмотрение этой черты на конечной модели приво­ дит к заданию на М структуры векторного пространства

Пункт 4 содержит некоторый «синтез» двух предыду­ щих. В п. 5 дан набросок построения динамики на осно­ ве теории возмущений.

2.2.Пространство Фока. В КТП амплитуды поля за­

даются, как правило, в импульсном представлении. В этом^ представлении и мы будем осуществлять необхо­ димые построения. При этом удобно несколько изменить обозначения, использовавшиеся в § 1.

Пусть М — импульсное пространство, т. е. конечное множество, N точек которого снабжены числовыми коор­ динатами & = 0, ±1, ..., ±Z, iV=-2Z+l, и |/>-^ одночастичиая амплитуда, которая может рассматриваться как

Эта конструкция должна быть дополнена постулатом: П.1. Амплитуды' реальных^ физических м-частичных

состояний принадлежат либо симметрической (Sn), либо кососимметрической (Лп) тензорной алгебре над Вп

(ср. п. 3.6, гл. 1) .

Всюду в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением с и м м е т р и ч н о г о случая так называемых скалярных бозонов и соответствующих полей. Тогда базис в Sn дол­ жен состоять из сумм векторов вида (1), взятых по все­ возможным перестановкам набора (/ci, ..., kn). В соот­ ветствии с нашими установками, привёдем явное описа­ ние упомянутых базисов в случае N = 3. (Комбинатори­ ку, используемую в общем случае, можно найти в [57].)

Вектора ! —1>, |0>, |1> обозначим через ei, е2, е% соответственно. Тогда, при п — 1, 2, 3

Индексы г, /, Z принимают значения 1, 2, 3 и предпола­ гаются попарно различными. Наличие числовых множи­ телей обусловлено требованием ортонормированности;

Если принять обычные полиномиальные обозначения, то выписанные базисные элементы можно представить в виде

*КТП», чтобы иметь возможность рассматривать процес­ сы с изменяющимся числом частиц, мы должны ввести

где мы опустили векторный символ f . .. ) у /. Таким образом, элементами S являются копечные или беско­ нечные суммы, нормированные на единицу. Введенное S

называется перелятивистским пространством Фока.

в реальной ситуации, является весьма утомительным за­ нятием. Но естественное стремление ограничиться vи в процессах, допускающих изменение числа частиц, неко­ торым числом п < по приводит, как обычно, к наруше­ нию внутренней замкнутости построений. Разумпое «об­ резание по числу частиц» удается провести лишь в рам­ ках теории возмущений: оно приводит к рассмотрению фейнмановских амплитуд.

Перейдем к рассмотрению о п е р а т о р о в в простран­ ствах Фока. Начнем с замечания, что в_ общей теории гильбертовых пространств одним из важнейших типов операторов являются так называемые операторы сдвига:

раторы, так называемые операторы рождения и уничто­ жения лежат в основе важного формализма КТП.

Оператор А { уничтожения одной частицы со значе­ нием импульса, сопоставленным базисному элементу §*

причем правая часть полагается равной нулю при а, = 0;

дели. . Введение этого множителя, являющегося источни­

Соответствующие определения при произвольном N оче­ видны, но запись становится очень громоздкой. Оператор (самосопряженный)