книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Котляр Я. М.

К73 Методы математической физики и задачи гидроаэроди­ намики. Учеб, пособие для втузов.— М.: Высш. шк., 1991.— 208 с.: ил.

ISBN 5-06-000461-9

В пособии с единой позиции рассмотрены отдельные вопросы курсов «Тео­ рия функций комплексного переменного и операционное исчисление» и «Урав­ нения математической физики» как методы решения соответствующих задач математической физики. Каждый раздел книги сопровождается решением при­ кладных задач гидроаэродинамикн. Приведены необходимые сведения из гид­ родинамики вязкой жидкости и идеального газа.

Учебное издание

Котляр Яков Михайлович

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ЗАДАЧИ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ

Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Научный редактор Р. Я. Глаголева. Редактор Ж. И. Яковлева. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Оформление художника

Ю. Д. Федичкина. Технический редактор В. М. Романова. Корректор В. В. Кожуткина.

ИВ № 9002

Изд. № ФМ—30. Сдано в набор 19.03.90. Подп. в печать 31.08.90. Формат 60Х88!/и. Бум. офс. Ht 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 12,74 уел. печ. л.

12,99 уел. кр.-отт. 11,10 уч.-изд. л. Тираж 6400 зкз. Зак. № 288. Цена 35 коп.

Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглннная ул., д. 29/14,

Московская типография № 8 Государственного комитета СССР по печати, 101898, Москва, Хохловский пер., 7

Опыт преподавания математических курсов в инженер­ ных вузах показывает, что наибольший эффект в усвоении ма­ тематических методов и развитии навыков их применения до­ стигается, если изучение соответствующих разделов математи­ ки сопровождается решением не только формальных приме­ ров, но и прикладных задач, относящихся к области специали­ зации будущего инженера. Такой целенаправленный подход к формированию математического образования полезен и тем, что он усиливает взаимосвязь между математическими и инже­ нерными дисциплинами.

К числу математических дисциплин, изучение которых,наи­ более полно может быть увязано с прикладными задачами той или иной инженерной специальности, относится курс уравне­ ний математической физики. В данной книге изложение разде­ лов этого курса, методов решения задач математической физи­ ки ориентировано на те специальности, одной из областей ис­ следования которых является гидроаэродинамика. Каждый раз­ дел книги сопровождается решением соответствующих приклад­ ных задач гидроаэродинамики. Приведены необходимые све­ дения из гидродинамики вязкой жидкости, динамики идеаль­ ного (без учета вязкости) газа. Вместе с тем предлагаемая книга — пособие не по теоретической гидроаэродинамике, а по методам математической физики, которые используются, в част­ ности, инженером при решении задач гидроаэродинамики.

Книга написана на основе лекций, читавшихся автором в те­ чение многих лет студентам ряда специальностей Московского авиационного института. В ней для доступности и наглядности изложения в ряде случаев проводятся эвристические рассужде­ ния, позволяющие сформулировать результат, как возможный или ожидаемый, а затем уже дается его строгое доказательст­ во или в случае необходимости опустить строгое доказательст­ во указываются пути его проведения. При этом предполагает­ ся, что из втузовского курса высшей математики читателю из­ вестны разделы: дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих переменных, векторный анализ, диф­ ференциальные уравнения, ряды, элементы теории аналитиче­ ских функций комплексного переменного.

Хотя книга непосредственно адресована студентам, изучаю­ щим вопросы, связанные с гидроаэродинамикой, в ней рас­ смотрены основные общие вопросы и методы математической физики, так что книга является учебным пособием и для сту­ дентов других специальностей, изучающих курс математической физики. Автор стремился сделать эту книгу максимально ком­ пактной и доступной.

Я. М. Котляр|

Эта книга была в основном закончена, когда ее автор Я. М. Котляр скоропостижно скончался. Работа над книгой была завершена его коллегами по кафедре дифференциальных уравнений и математической физики Московского авиационно­ го института.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ И КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Математическая постановка целого ряда физических задач приводит к уравнениям, содержащим частные производные ис­ комой функции. Их называют также уравнениями математиче­ ской физики. В гл. 1 на примерах таких физических процессов, как распространение тепла, движение жидкости и колебания упругого газа, выведены типовые уравнения математической физики.

Рассмотрим основные понятия теории уравнений математи­ ческой физики. Уравнением с частными производными относи­ тельно функции и(хи ..., хп) называется уравнение, содержащее хотя бы одну из частных производных этой функции. Наивыс­ ший порядок входящих в уравнение производных называется

порядком уравнения.

Например, уравнение с частными производными относитель­ но и(х, t )

является уравнением четвертого порядка.

Функция, обращающая уравнение с частными производными в тождество, называется его решением.

Уравнения с частными производными, как и обыкновенные дифференциальные уравнения, имеют бесчисленное множество решений. Но если общее решение обыкновенного дифференци­ ального уравнения зависит от произвольных постоянных, то множество решений уравнения с частными производными зави­ сит от произвольных функций. Так, обыкновенное дифферен­

+ Ф (у) лг+ф (у), где ф(*/), ф (# )— произвольные функции.

Уравнение с частными производными называется линейным относительно старших производных, если старшие производные входят линейно с коэффициентами, зависящими лишь от аргу-

ментов функции, и квазилинейным, если коэффициенты зависят еще от искомой функции и ее младших производных.

Уравнение называется линейным, если искомая функция и ее производные входят в уравнение линейно.

Так, уравнение первого порядка относительно и(х, у)

a ^ b ^ 7 = f (1 Л >

будет линейным, если a, b, f — известные функции только аргу­ ментов х и у, и квазилинейным, если они являются функциями

X, у, и.

Уравнение второго порядка относительно и(х, у)

является квазилинейным, а в случае, когда А, В, С зависят

= 1...... n. Первая сумма в этом уравнении, содержащая все старшие производные, называется главной частью уравнения.

Уравнения (1.1), (1.3), (1.4) при / = 0 называются однород­ ными, при [ Ф 0 — неоднородными.

$ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ И КЛАССИФИКАЦИЯ

тогда как сами решения и их младшие производные остаются непрерывными. Такие линии (поверхности) называются также линиями (поверхностями) слабых разрывоё решения. Одновре-

менно введем классификацию квазилинейных уравнений второ­ го порядка, связанную с существованием у них одного или двух семейств характеристик или с отсутствием их. В гл. 2, 3, 5, 6 устанавливается, что введенная таким образом классификация уравнений второго порядка отражает наличие тех или иных свойств решений и определяет возможность постановки для дан­ ного класса уравнений соответствующих задач математической физики.

Итак, введем сначала характе­ ристики для квазилинейного урав­ нения (1.1) первого порядка

коэффициенты которого а—а{х, у, и), b—b{x, у, и) й правая часть f=f(x, у, и) предполагаются не­ прерывно дифференцируемыми в области изменения своих аргументов.

Пусть в области G плоскости XOY определена непрерывно дифференцируемая функция и{х, у ), являющаяся решением уравнения (1.1). Пусть также Г — расположенная в области G гладкая кривая, уравнение которой у= у{х ), не имеющая вер­ тикальной касательной (например, у(х) является непрерывно дифференцируемой функцией) и пусть известны значения реше­ ния на Г: и\т=и(х, у{х))= а{х).

Поставим задачу: найти на той же кривой Г значения част-

Заметим, что если будет решена эта задача, то станет воз­ можным приближенно с точностью до малых первого порядка определить значения решения в окрестности Г, поскольку зна­

продифференцируем по х заданное наГравенствоп(х,у) (х))=з s=a(x). Получим дифференциальное соотношение

которое совместно с исходным уравнением (1.1) дает систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых про-

d x

Рассмотрим два крайних случая: 1) АфО во всех точках кривой Г; 2) Л = 0 во всех точках кривой Г.

В первом случае система (1.1), (1.5) имеет единственное решение и в каждой точке кривой Г найдутся единственные зна­

по предположению решение и{х, у) в области G существует и, следовательно, система (1.1), (1.5) совместна, имеем, что в каждой точке Г

где Ai, Д2— определители, получающиеся из определителя А системы (1.1), (1.5) заменой соответственно первого или вто­ рого столбца столбцом свободных членов; тогда система (1.1), (1.5) имеет бесчисленное множество решений. Таким образом, во втором случае в каждой точке кривой Г по значениям реше-

нозначно. В этом случае кривую Г называют характеристикой уравнения (1.1), соответствующей решению, значения которого на Г заданы. Уравнение

правлений Х = ~ , называемых характеристическими. Заменив

а

Я на — у получим дифференциальное уравнение d x

общее решение которого у —у(х, с) определяет однопарамет­ рическое семейство характеристик. Если уравнение (1.1) ли­ нейное (коэффициенты его не зависят от решения и(х, у)), то характеристики могут быть найдены без предварительного оп­ ределения решения.. Если ж е уравнение (1.1) квазилинейное,